Nous devons dècla

S C. — Calcul des IIelations'.

Les deux Calculs des propositions et des classes ne suffisent pas encore à l'analj'se logique des Mathématiques. Il faut leur adjoindre le Calcul des relations, qui est beaucoup plus général et plus important à cet égard que les précédents. C'est la partie la plus originale et la plus neuve de l'œuvre de M. Russell. En eCfet, il a été obligé, d'une par!, de compli';ter sur ce point le symbolisme de M. Peano, et, d'autre part, de réformer radicalement le symbolisme de Peirce et de Scbrijder, qui sont les fondateurs de ce nouveau Calcul. Ces deux auteurs se plaçaient au point de vue de l'extension, et considéraient une relation comme un ensemble de couples. Voici ce que cela veut dire. Soit une relation binaire (à deux termes) R, nous écrirons (avec M. Russell) « xRy » pour exprimer qu'elle existe entre les individus x et y, c'est-à-dire que a; a la relation /{ avec y. Supposons qu'elle existe aussi entre w et v, entre z et w, etc. Nous écrirons : uliv, zllw, elc.

Au lieu de cela, Peirce et Schrôder, faisant abstraction de la relation, la considéraient comme définie uniquement par les couples {x,y), (w, n), (:, w] entre lesquels elle existe, et la représentaient simplement par l'ensemble de ces couples, qu'on peut appeler Vexl^nsion de la relation. Or cette méthode donne lieu àddfiu gqDa s relations

m R d 1900). Les

goureux, et 1 forme. La déjà dans

(lisparaia, eriiiil j 1. Russell, op. cit., g§ 31-31): Sur la Lo/fi'/un des i-elatio

peuvent avoir mùme extension sans être identiques, c'est-à-(!ire sans avoir le même sens. Mais cela n'est pas un vice rédhibitoire, car dans la Logique des classes on admet que deux concepts sont équivalents dès qu'ils ont la même extension, ce qui conduit à égaler entre eux des concepts de compréhension différente (par exemple triangle el trilalire). La dilficulté la plus grave est celle-ci : les couples par lesquels on prétend définir la relation ne sont pas des classes, car ils comportent un ordre déterminé : il n'est pas permis, par exemple, d'intervertir x et y, et d'écrire (y, x) au lieu de [x, y). Or la notion d'oi-rfi-c est elle-même une relation, ou du moins suppose une certaine relation entre x et y. il y a donc une sorte de cercle vicieux, (philosophique, sinon logique) à déllnir une relation par des couples ordonnés '.

On peut ajouter qu'en Mathématiques, où l'on étudie constamment des relations ou des types de relations, il est nécessaire de représenter chaque relation ou type de relations par un symbole spécial facilement maniable et reconnaissable; cela suffit à assurer une supériorité pratique au symbolisme de H. Russell, en dehors même de ses avantages théoriques. D'ailleurs, même en Logique, nous avons eu à considérer diverses relations, figurées par les symboles ^, o, e; il est naturel de généraliser celte notation si commode, et de représenter une relation quelconque entre deux termes x eiy par une lettre (majuscule) intercalée entre eux.

Dans cette conception unitaire des relations, une relation peut servir à définir des classes, au lieu d'être définie pai elles. Toute relation a un sens, de sorte qu'on peut et doit distinguer son premier terme et son second terme, son antécédent et son conséquent -. On appelle domaine d'une relation

1. Selon la remarque de M. Russell, cette erreur vient du préjuge traditionnel, liérité de la Logique classique, qui considéra les relation» des classes comme antérieures auï autres relations. C'est en \ciiu du même préjugé qu'on réduisait tous les jugements à des jugements de prédication. Cf. Russell, A o-iticat exposition of ilie phitosopliy of Leibniz, i 10 (Cambridge, 1900).

2. Les mots anglais sont ; réfèrent et relatum. On ne peut les tiaduiie en français que par les barbarismes : relatant et retalé. Mais dan-, une

CALCUL DES HELA.TIOiMS 29

l'ensemblo de ses antécédents. Nous proposons d'appeler c.odomaine de la relation l'ensemble <te ses conséquents '. L'ensemble des antécédents et des conséquents sera le champ de la relation : c'est donc la somme logique de son domaine et de son codomaine.

Un exemple simple fera comprendre ces définitiona. Soit la relation père : son domaine est l'ensemble des pères, son codomaine est l'ensemble des enfants (fils ou filles). On voit immédiatement qu'ils ne sont pas égaus. Qua-nt au champ, il est la somme logique des deux ensembles, c'est-à-dire l'ensemble des hommes (ici égal au codomaine). La relation mari a pour domaine l'ensemble des hommes mariés, pour codomaine l'ensemble des femmes mariées, et pour champ l'ensemble des gens mariés.

Un premier axiome du Calcul des relations est le suivant : (1 Si H est une relation, xRij est uue proposition pour toutes les valeurs de x et de y ». Bien entendu, cette proposition peut être vraie pour certains couples de valeurs et fausse pour les autres.

Un second axiome est celui-ci : « Toute relation a sa converse ». Cela veut dire que, si la relation It existe entre deux termes quelconques x et y, il existe entre y et x (pris dans l'ordre inverse) une relation "R, appelée la converse de R\ et que, R étant la même, '^11 est toujours la même. Convertir une relation, c'est remplacer ar/fy par y'^Rx. La conveision s'exprime, en langage symbolique précis, par la formule suivante :

xRy.^r.'j- y^Rx

qui signifie que j;7('/ implique i/^ffic, et réciproquement, quels que soient x et y. La conversion ayant pour effet d'intervertir les antécédents et les conséquents, le domaine de la relation

langue artificielle comme VEsperanto, c (ce participe passit serait d'autant i verbe rilati peut être employé comme 1. Parce que le codomaine est, comm de la relation co»vase.

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primitive devienl le codomaine de la relation converse, et inversement.

Un troisième axiome est le suivant : « Toute relation a sa négative, qui est une relation ». Cela signifie que nier la relation xR;/, c'est affirmer une relation xR'y entre les mêmes termes, et que la relation 11' esl la même tant que R reste la même. Symboliquemenl, on a, en représentant la négative dey; par- ft:

Naturellement, la relation négative est convertible comme la relation positive; et l'on démontre aisément que la converse de la négative est identique à la négative de la converse.

Les relations sont susceptibles d'une combinaison spéciale qu'on appelle la midliplicalion relative. Soient deux relations quelconques R, S; si l'on a entre les individus x, y, z les relations xRy. ySz, on a entre les individus i et î une relation complexe qu'on représente par R'S et qu'on nomme le produit relatif de R et de A', Cela implique un axiome, qu'on formule comme suit :

" Le produit relatif de deux relations est une relation. »

lîn d'autres termes, s'il y a une relation entre x et y et une autre entre y et a, il y a entre a: et ; une troisième relation qui est uniformément déterminée par les deux premières. Cette opération est très connue et très fréquente dans la pensée la plus vulgaire. Les relations de parenté en offrent des exemples nombreux et variés. Si 37 est le frère de y, et y le père de z, x est l'oncle de s. Ainsi la relation oncle est le produit relatif des relations /'rèfe et juèce, ce qu'on exprime dans le langage en disant : « l'oncle est le frère du père ».

11 importe de remarquer que la multiplication relative n'est pas commutative comme la multiplication logique : on n'a pas, en général : R' S = S' R. Par exemple, le père du frère n'est pas l'oncle, mais le père ou le beau-père^.

1. Nous avons appliqué par avance cet axiome quand nous avons fail porter le signe de négation sur la copule e, et non sur ia proposition tout enllÈL-e (p. 20, note 1).

2. Nous passons sous silence, comme M, Russell, l'aihlUion relatwe.