CALCUL DES

Le produit logique de deux relations /(„ It^ est la relation qui existe entre deux termes quelconques x, y, dès que les deux relations susdites existent à la fois entre eux; ce qui s'écrit :

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Bien entendu, il faut se garder de confondre le produit logique de deux relations avec leur produit relatif.

On définit d'une manière analogue la somme et le produit logiques, non plus de deux relations, mais des relations de toute une classe : ces nouvelles définitions sont nécessaires, parce que les précédentes ne pourraient s'étendre (par induction complète) qu'ai une classe finie de relations, tandis que les nouvelles valent pour une classe quelconque, infinie aussi bien que finie.

On est obligé de postuler, par des axiomes spéciaux, l'existence de la somme et du produit logiques ainsi définis pour toute une elasse de relations.

Ces principes établis, on peut démontrer les deux théorèmes suivants :

1° Le produit relatif d'une relation uniforme et de sa converse est une relation transitive et symétrique;

2° Réciproque du précédent : Toute relation transitive et symétrique non nulle peut être considérée comme le produit relatif d'une relation uniforme et de sa converse; autrement dit, peut être analysée en deux relations uniformes de même espèce et de même sens qui unissent ses deux termes à un même troisième. Cette réciproque est très importante : elle constitue le principe d'abstraction, dont on verra la portée dans la théorie du nombre '.

Citons enfin un axiome important. Entre deux individus donnés il existe une relation singulière qui n'existe pas entre deux autres individus quelconques. Cet axiome est évident au point de vue de l'extension, puisque le couple considéré suffit, à ce point de vue, à définir une relation distincte de toutes