Ibid., g 6, UiéorÈine A
0. On the cm-dinal numbers, Section III, ap, American Journal ùf Malkematics, L XXIV, n° 4 (octobre 1902).
6. Toutefois, cette démonstration suppose la proposition énoncée p. Sî, note 3, qui, si évidente qu'elle paraisse, n'est pas encore démontrée. Dans
',e classe pnite (18%), M. Bubau-Forti déduisait le principe
CoDTaiur. — Les principes des mathimt
66 LIDÉE DE NOMimE
D'ailleurs, on peut définir le premier nombre infini (a,,) sans présupposer la suite naturelle des nombres finis; par exemple, on peut dire que a^ est le nombre cardinal de toute classe m qui possède les propriétés suivantes : u est le domaine d'une relation biunil'orme M, dont le codomaine est contenu dans u mais non égal hu:u contient un élément qui est un antécédent de R sans en élre un conséquent, et contient en outre les conséquents de lotîtes les relations Jî dont elle contient les antécédents '. On voit que cette définition est purement logique, et qu'elle n'implique nullement la notion de nombre entier fini^.
L'inégalité des nombres infinis est toute différente de celle des nombres finis : on ne change pas un nombre infini en lui ajoutant ou retranchant une unité, ni par suite (en vertu du principe d'induction) en lui ajoutant ou retranchant un nombre fini. Pour que deux nombres infinis (correspondant à deux, classes a et b) soient inégaux, il ne suffit pas que la classe a soit équivalente à nue partie intégrante de la classe li : car elle pourrait en même temps (étant infinie) être équivalente à la classe h tout entière. Le nombre cardinal de a est plus petit que celui de h, si a est équivalente à une partie intégrante de b, et si h n'est équivalente à aucune partie intégrante de a. Ou a prouvé d'ailleurs que, si l'on a à la fois a équivalente à une partie intégrante de 6 et 6 équivalente à une partie intégrante de a, les deux classes « et 6 sont équivalentes, et par suite leurs nombres cardinaux sont égaux (ou plutôt identiques)'.
d'induction de la définition cardinale de l'infini, mftis au moyen du posliilaL S!P.l-i ii,K'(II-,A|.o.»<u'«
inférienr on égal à ceiui de tous les éléments de ces classes. • 1. Pour Caire mieux comprendre cette définition, on peut dire que (a
relation B est la relation d'un nombre au nombre suivant, et que par suite
le conséquent de cette relation est le « suivant • de l'antécédent (Russell,
op. cil., p. 122).
S. Cette définition est exactement éiguivalente à la définition <ie la suite
naturelle des nombres, telle qu'elle résulte des cinq axiomes de M. Peano
(RnssELL, op. cil,, p. 121); elle est également équivalente à la définition
de la progression donnée plus bas [p. 237).
3. Tbéoréme de Bernstein, démontré ap, Bohel, Leçons sur lu Ihéorie
des fonclians, Note I (Paris, 1898); Bussëlt., op. cit., p. 306.
LES NOMBRES INnNIS 67
Ces définilions de i'égalité et de l'inégalité des nombres infinis sont purement cardinales, et n'impliquent aucune référence aux nombres finis.
La théorie des nombres cardinaux peut donc être constituée tout entière d'une manière directe et indépendante, sur des bases purement logiques, sans faire appel à l'idée d'ordre, sans même invoquer la distinction des nombres finis et infinis, ni par suite le principe d'induction ', Cela est prouvé par la Logistique dans le mémoire de M. WaiTEHBAB, où l'on trouve la démonstration absolument générale de la loi associative pour l'addition et la multiplication, et de la loi distributive de la multiplication par rapport à. l'addition. On y trouve même (Section V) la définition des puissances d'un nombre cardinal, celle des arrangements, des combinaisons et des permutations d'un nombre quelconque (même infini) d'objets, et la démonstration des principaux théorèmes relatifs à ces notions, par exemple la généralisation de la formule du binôme, l'ont cela est obtenu au moyen de la Logique des relations, qui apparaît décidément comme le véritable organon des Mathématiques pures. Grâce à elle, MM. Russell et WeiTeuGAD ont pu démontrer formellement, en partantde principes purement logiques, toutes les propositions de la théorie des ensembles découvertes par Georg Cantor, confirmer ainsi la validité logique de cette théorie, et la purger de tout postulat et de tout appel à l'intuition.
■l. On poiirraiL presque dire que la tliéorie des nomhrcs infinis est plus simple que celle des nombres finis, p:iisqu'elle n'a pas besoin, comme celle-ci, du principe d'induction, et qu'on peut l'établir sans passer par la théorie des nombres finis.
