CHAPITRE III

Nous avons dégagé l'idée de nombre de toute immixtion de l'idée d'ordre ; mais nous avons va par là même combien celle-ci a d'affinités avec celle-là. C'est que l'une et l'autre ont pour matière ou pour support des classes ou ensembles; seulement, tandis qu'une classe, dés qu'elle est donnée et déterminée, a on nombre, elle n'a un ordre que moyennant certaines relations établies entre ses éléments. L'idée d'ordre est donc moins primitive et moins simple que l'idée de nombre. Pour la définir, il convient de rechercher quelles espèces de relations établissent ou constituent un ordre entre les éléments d'une même classe.

§ A. — Les aEL.^TioNS d'ordre,

11 y a, comme on sait, deux espèces d'ordres : l'ordre linéaire et V ordre circulaire. Dans le premier, un terme est avant ou après un autre, il est ou n'est pas entre deux autres; dans le second, on ne peut plus affirmer ces relations, on peut seulement dire qu'un couple de termes a, b est séparé par un autre couple c, d, si ces quatre termes sont dans l'ordre : acbda... ou adhca... Une classe soumise à un ordre linéaire s'appelle une suite ouverte; soumise à un ordre circulaire, suite fermée^. M. Russell conclut des définitions précédentes qu'il faut trois termes pour définir un ordre linéaire, et quatre pour définir un ordre circulaire.

1. Le mot anglais i techniques suite et ses devoir Ih traduire ici i

Cela dépemi de ce qu'on entend par ordre : si l'on n'attribue aucun sens à l'ordpe, il est clair que deux termes a, 6 n'ont pas d'ordre, la disposition a6 étant indiscernable de la disposition èa ; l'ordre ne sera déterminé que si l'on introduit un troisième terme, car alors ahc (ou cba) diffère de acb {ou èca). C'est pourquoi M. Russëll fait consister alors Vêlement ordinal en un trio de termes tels que l'un d'eux est dit être entre les deux autres. De même, si l'on n'attribue aucun sens à l'ordre circulaire, trois termes a, b, c n'auront aucun ordre, la disposition abca... étant indiscernable de la disposition acba... L'ordre ne sera déterminé que par l'introduction d'un quatrième terme. C'est pourquoi M. Russell fait consister alors l'élément ordinal en deux couples de termes qui se séparent mutuellement. Mais, si Ton attribue un sens à l'ordre, deux termes pourront avoir un ordre linéaire, suivant que a est avant ou après b\ et trois termes pourront avoir uu ordre circulaire, suivant que l'on aura, dans le sens direct, la succession abc ou !a succession cha. Quoi qu'il en soit, tout ordre suppose ou implique des relations asymétriques entre deux termes quelconques, et la question de savoir si une telle relation définit déjà un ordre entre ses deux termes n'est plus qu'une question de mots. L'essentiel est d'énumérer les différentes relations génératrices d'ordre, pour pouvoir classer ensuite les diverses espèces d'ordre, et, s'il se peut, les ramener ii l'unité,

La méthode la plus simple pour définir un ordre est la suivante (que nous avons déjà reuconlrée dans la théorie des nombres finis). Soit une classe, finie ou infinie, et soit une relation 5' asymétrique et biuniforme (donc intransitive) ^. Chaque terme de la classe est un antécédent de cette relation (à l'exception peut-être d'un seul, qui sera alors le premier); et chaque terme de la classe est un conséquent de cette relation (à l'exception peut-être d'un seul, qui sera alors le dernier); on suppose en outre que, si aS b et bSc, on n'a pas : cS u (on

1. Pour plus (le clarté, on pourra lire S : « est le suivant île •.

n'a pas non plus : aSc, puisque la relation S est intransitive). On dira, dans ce cas, que b est entre a et c. La suite ainsi ordonnée peut avoir un premier et un dernier terme, ou seulement un premier terme, ou enfin n'avoir ni premier ni dernier terme. Dans le 1" cas, le nombre de ses termes est fini ; dans le 2^ cas, le nombre de ses termes est infini; dans le 3'' cas, ce nombre est inûni si la suite est ouverte, et fini si la suite est fej-mée '.

Cette première méthode fournit uniquement des suites à termes consécutifs. La seconile est affranchie de cette restriction, mais elle ne fournit pas de suites fermées. Elle consiste à donner une relation transitive asymétrique P qui existe entre deux quelconques des termes de la classe. Autrement dit, soient a;, y, z des termes différents de la classe, on a nécessairement une, et une seule, des deux relations : xl't/, yPx, et si l'on a : xPy, yPz, on a aussi nécessairement : xPz'^. On peut démontrer alors que, sur trois termes quelconques de la classe, il y en a toujours un qui est entre les deux autres (qui précède l'un et suit l'autre); par conséquent, la classe forme toujours une suite unique (ou connexe). Elle ne peut pas former une suite fermée, car, à cause de la transitivité de la relation P, on aurait alors xPx, ce qui est impossible, cette relation étant asymétrique.

Une troisième méthode consiste à ranger tous les termes d'une classe suivant leurs distances à un même terme .i : ces distances sont des grandeurs inégales, et on peut ranger les termes par ordre de distance croissante (ou décroissante). Si le terme x n'est pas le premier (ou le dernier), il y aura des distances négatives, qui seront considérées comme plus petites que zéro' et que toutes tes distances positives. En outre, les distances doivent avoir un sens déterminé, c'est-à-dire être

1. Nous supposons qu'elle esl connexe, c'est-à-dire ne se décompose pas en plusieurs suites n'ayant aucun ternie commun et aucune relation entre leurs termes respectifs,

2. La relation F peut se lire : • précède -; la relation converse '^P se lira

3. Le zéro de distance est la distance d'un lernie à lui-même.

LEâ RELATIONS D'ÛRDHE 71

des rcialions asymétriques. Pour que Tordre soit, indépendant du terme {x) pris pour point de repère, il faut que l'axiome suivant soit vérifié : « Si xz est plus petite que xw, ijz doit être plus petite que yw ». Ce cas peut se ramener an précédent en prenant pour la relation xPij la relation : jt|/ > (dire que x précède y, c'est dire que la distance xij est plus grande que zéro). Cette réduclion postule un nouvel axiome : « Si Ton a xz=:.yio, et xy=zw', les termes ta et w' doivent être identiques. »

Une quatrième méthode consiste à donner une relation à trois termes yJ{(x, s), qui signifiera que y est entre x et z. Cette relation sera symétrique par rapport à. a et z, c'est-à-dire que: y It{x, z)=ii y R(z,x). Écrivons, pour rendre la notation plus simple et plus intuitive : {xyz). Il faut postuler les deux axiomes suivants : « Si l'on a : (xyz) et {yzw), on doit avoir aussi : (xytp) et (xztu). » — a Si l'on a : {xt/w) et {yzw), on doit avoir aussi : [xzw] et {xyz). »

Les mélliodes précédentes ne peuvent donner naissance à des suites continues fermées, ce qui est au contraire le propre des deux suivantes. La cinquième méthode consiste à établir «ne relation asymétrique H entre des relations asvmétriques x,y, z^... formant une classe; cette relation It est telle qu'elle existe entre deux relations quelconques x et ij, à moins que y ne soit la converse de x, et que, si elle existe entre x et y, elle existe aussi entre y et "x. La suite ainsi définie est fermée : car xlty . o. y/t^x. a. "x R"y . o . r.y lix. Deux termes converses l'un de l'autre, comme ''x et x, -'y et ;/, sont dits oppos/is. Dans une suite de ce genre, on ne peut pas dire qu'an terme est entre deux autres; mais ou peut dire que deux couples de termes se séparent mutuellement. Un exemple de cette espèce d'ordre est fourni par les angles (qui sont des relations entre les demi-droites issues d'un même point dans un même pl.n).

La sixième et dernière mélliode, qui engendre aussi des suites fermées, consiste à ctaltlit- directement entre les termes d'une classe la relation à 4 termes qui signifie que deux couples

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se séparent mutuellement. Pour dire que les couples (a, b) et (c, d) se séparent mutuellement, on écrira : ab |] cd. Cet ordre postule les cinq axiomes suivants ;

1° ah\\rA . ^= . cd\\ ab (la relation est symétrique par rapport aux deux couples) ;

IL- ab\\cd. = .ab\\dc (la relation est symétrique par rapport aux deux termes de chaque couple) ;

3° ab II cd exclut ac || bd\

4° Pour -4 termes quelconques «, b, c, d, on a, soit ab || cd, soit ac II bd, soit ad\\ bc;

5" Si l'on a i dfi II cd, et ad \\ be, on a aussi : ad \\ ce.

Ces cinq axiomes sont suffisants', et en outre ils sont indépendanls dans l'ordre ofi ils sont formulés, c'est-à-dire que chacun d'eux est indépendant des précédents'.

Telles sont les six méthodes qu'on peut employer, et qu'on emploie en fait pour définir un ordre. On remarquera que la plupart des auteurs qui ont traité de l'ordre n'en connaissent qu'une ou deux ; si cette énuméralion est complète, c'est qu'elle repose, non sur des vues a priori, mais sur l'étude des Mathématiques modernes. Cela prouve, en passant, qu'il y a plus d'enseignements, d'exemples et de documents relatifs à la méthode dans les livres des mathématiciens que dans tous les traités de Logique. Reste à savoir ce qu'il y a de commun entre ces six méthodes; car, bien qu'elles aient chacune leurs caractères spéciaux, la nature de l'ordre défini ne dépend pas de la méthode employée ; le même ordre peut être défini par plusieurs méthodes. Il s'agit de découvrir ce qui constitue l'essence de l'ordre, et de ramener autant que possible ces six méthodes à un fondement commun ^

En premier lieu, on peut ramener toutes les relations génératrices d'ordre à deux, que nous avons déjà mentionnées : la relation cVentre entre trois termes, et la relation de séparation