RussELL, op. cil., chap. xxv

LES RELATIONS D OUDRE 73

enlre quatre lermes. Analysons d'abord la relation d'entre '. Quand on dit que le terme y est entre les lermes x et z, on veut dire que x précède y et que y précède s : soit P la relation précède, on écrira: xPy.yPz. Mais la relation précède est essenlieJlement asymétrique : on ne peut pas avoir : yPx, ni zPy, de sorte qu'on a : y-Px. z-Py. U semble qu'il faille ajouter une cinquième condition : z-Px, pour exclure le cas où la suite serait fermée; car, dans une suite fermée, on ne peut plus dire de trois termes donnés que l'un est entre les deux autres. Mais cette condition est inutile, comme on va le voir. Posons donc, pour abréger :

xyz . := . xPij . yPz . z~Py . y-Px

et voyons si la relation xijz correspond bien à la notion A'enlre. Celle-ci vérifie les deux axiomes suivants : 1° Si 1/ est entre x et :, et si z est entre y et w, alors z est entre x ti w; 2° Si y est entre x et z, et w entre x et y, alors ;/ est entre w et z. Or on peut vérifier que xijz et yzw impliquent xyiv, conformément au i" axiome, si la relation P est transitive, et alors seulement. Mais si elle n'est pas transitive (ce qui est le cas dans la 1" méthode, où P est une relation biuniforme), on peut la remplacer par une relation H qui est la somme logique des puissances de P, et qui sera transitive ^. Mais, la relation P étant asymétrique, la relation R doit l'être aussi; on ne pourra donc jamais avoir ; x^lty fou yltx), c'est-à-dire que la suite ne pourra pas être fermée ^. On voit que dans ce cas la condition a -Px devient inutile.

4. On voudrait |iouvoir rlire : - inler-ilé -, comme on dit an anglais r belweenness. On peut le dire dans une langue BrliQcielle (en iisperanto ; înlereco).

2. Voici ee que cela signifie en langage ordinaire. Soit P = procède immédiatement : celte relation est biuniforme, donc intrnnsilive : si l'on a : xPy. yPz, oa ne peut pas avoir : xP:- mais on a ■ xl'''i (P^ èlant le produit relatif de P par lui-même). On ai ra de me s ( a-P a et ainsi de suite. Les relations P^, i'',.,. P sont a e (les pu sanees succeasiïes de la relation P; toutes sont b u forn es et n ran sitires. Mais leur somme logique R est trans t e car elle s gn fe ■précède {immédiatement ou non), et l'on a iî/ yt R B yRiu,... jcBw,.,.

3. Car si l'on avait : j;% . yRi:, on aurait (R ta t a t v fi

74 L'IDEE d'ordre

D'aulre part, xyz et xict/ impliquent ivyz, conformcment au 2'' axiome, mais seulement si P n'est pas une relation biumforme. Ici encore, on n'aura qu'à remplacer P par It. Et la condition que/'" ne doit jamais être égale h^P (que la suite ne doit pas être fermée) équivaut à celle-ci, que It doit être asymétrique. On peut donc conclure finalement : » Dire que ij est entre x et z, c'est iJire qu'il y a une relation asymétrique transitive entre x et y et entre y et s. » Rien de plus, rien de moins : c'est là exactement le sens de la relation d'entre, ou, pour parler mathématiquement, c'est le, ia condition nécessaire et suffisante de l'existence de celte relation.

Nous avons là un exemple remarquable de l'analyse d'une relation à 3 termes en 2 relations à 2 termes. On pourrait faire l'objection suivante : La relation d'enti-e est symétrique par rapport aux deux termes extrêmes; dire que y est entre x et z n'implique nullement que x soit le premier et z le dernier, ni même que l'un de ces termes précède l'autre. Il semble donc que la relation à 2 termes entre x et i/, y et z, ne doive pas être asymétrique. Mais, si ellen'était pas asymétrique, il se pourrait que y eût ia même relation par rapport à a: et à :, et fût par suite « du même côté » par rapport à ces deux termes, au lieu d'être entre eux. D'ailleurs, il faut remarquer que, dans la définition formulée ci-dessus, rien n'indique le sens de la relation à 2 termes qui doit exister entre x et y, y et z : elle peut être aussi bien suit que précède. Le fait que ce sens reste indéterminé traduit précisément la symétrie de la relation à 3 termes. Il n'y a donc rien d'impossible ni de paradoxal à ce qu'une relation à 3 termes symétrique corresponde h deux relations à 2 termes asymétriques.

Passons à ia relation de séparation entre 4 termes. On va voir qu'elle est aussi réductible à une relation transitive asymétrique entre 2 termes. En effet, on peut démontrer que, s'il

à-iJire

forme. Après ii tern