LES RELATIONS D'ORDRE

existe une relation transitive asymétrique entre deux termes quelconques (l'une suite de quatre termes au moins, les termes de cette suite, pris quatre k quatre, présentent la relation de séparation, caractérisée par les cinq axiomes de Vailali. Inversement, M. Vailati a démontré que, s'il y a relation de séparation, c'est-à-dire si les cinq axiomes sont vérifiés par cinq termes quelconques d'une suite, il existe entre deux termes quelconques une relation transitive asymétrique (précède), de sorte que la relation de séparation entre quatre termes «, b, c, d se réduit aux trois relations binaires : a précède è, b précède c, c précède d. L'existence d'une relation binaire transitive asymétrique, étant à la fois la condition nécessaire et suffisante de l'existence d'une relation de séparation, lui est exactement équivalente, et peut lui être substituée dans tous les cas. Toutefois, il faut remarquer que cette réduction repose sur la considération de trois termes fixes (par exemple o, b, c) par rapport auxquels est définie la relation binaire (entre d et e, considérés comme variables).

Ainsi toutes les méthodes génératrices d'ordre ont été ramenées à deux relations, l'une ternaire {entre), l'autre quaternaire {séparation), et ces deux relations à leur tour peuvent se réduire à un seul et même type de relation binaire, à savoir à une relation transitive asymétrique. C'est donc dans une telle relation que consiste l'essence de l'orJre; et toutes les espèces d'ordre que nous avons distinguées se trouvent ramenées à l'unité. Ce qui est particulièrement remarquable dans cette conclusion, c'est qu'on a pu ramener à l'unité l'ordre linéaire et l'ordre circulaire, autrement dit les suites ouvertes et les suites fermées. Et en effet, il suffit do couper une suite fermée pour la transformer en une suite ouverte, c'est-à-dire de prendre pour point de départ de la relation binaire un terme quelconque qui sera le premier. Toute la différence est que, dans une suite fermée, le premier terme est en efi'et un terme quelconque, tandis que dans une suite ouverte ii est unique et déterminé.

§ B, — Le nombre obdinal.

Lii tliéûrie de l'ordre engendre naturellement la théorie des nombres ordinaux. Par « nombres ordinaux » il ne faut pas entendre les numéros d'ordre des éléments d'une suite {premier, deuxième, troistÈme...), mais les types d'ordre des classes bien ordonnées, suivant l'expression de Georg Cantor. Comme les nombres cardinaux, les nombres ordinaux sont définis par abstraction. Mais auparavant, il importe de définir la similitude des suites. I^a similitude est, pour les classes ordonnées, la relation analogue de VéquivalenRe des classes i l'équivalence est cardinale, la similitude est ordinale.

On dit que deux classes ordonnées ou suites u, v sont semblables ', lorsqu'il y a entre elles une relation univoque et réciproque telle que, si dans u l'élément a, précède l'élément à„ dans»! l'élément a^ précède l'élément 6j {a^,. ij étant respectivement les corrélatifs de a,, b,). Plus exactement, la relation de similitude existe, non entre les classes, mais entre les relations ordinatrices dont elles sont les champs; en effet, tout ordre est engendré par une relation, et la môme classe peut recevoir divers ordres, en conséquence de relations différentes. On dira donc que deux relations P, Q sont semblables, lorsqu'il y a entre leurs champs respectifs une correspondance univoque et réciproque telle, qu'à deux éléments qui ont entre eux la relation l' correspondent deux éléments ayant entre eus la relation Q, Un peut enfin exprimer cette définition sous une forme symbolique : soit S la relation biuniforme qui fait correspondre les éléments de v. et les éléments de v chacun à chacun; on aies relations figurées dans le schéma suivant :

a,Ph,P c,P d,

(',Q KO c,Q d,

■I. En anpl.ii^ -. UUp, likciiesH (disLincl de simila>\ simitaridj). V. p. 4",