LU NOMBRE ORDINAL

On a par exemple : aj'b^, «ïP''j. et d'autre part : n,Sn^, È|S/ij. On peut définir la relation Q au nioyeïi (en fonuLion) des relations P et S; en eiTet:

a,Q/>^. = .a,''Sa,. a,Pb, . b^SK D'où:

On remarquera en outre que le domaine de la relation S est la première suite : a^, l)„ c,, .... c'est-à-dire le champ de la relation P. On peut donc dire que deux relations P, Q sont semblables, s'il existe une relation biuniforme 5 dont le domaine est le champ de i*, et telle que P::^'^S* P«5. Telle est la définition de la similitude formulée dans la Logique des relations '.

La relation de similitude est symétrique et transitive. Dès lors, elle donne lieu, en vertu du principe d'abstraction, à une relation uniforme qui unit toutes les classes (ou relations) semblables entre elles k un même terme. Ce terme unique sera, au point de vue de l'extension, la classe des classes semblables entre elles; et, au point de vue de la comprébension, la propriété commune à toutes ces classes, c'està-dire leur type d'ordre ou leur nombre ordinal.

Pour une classe finie d'un nombre n de termes, toutes les suites qu'on peut former avec ses éléments sont semblables, et elles ne sont semblables à aucune suite de (n -+~ i) ou de {n - 1) éléments. Par conséquent, le nombre ordinal d'une telle classe est déterminé d'une manière univoque et réciproque par son nombre cardinal. Cette correspondance biuniforme entre les nombres ordinaux et cardinaux finis espUque qu'on les confonde couramment. Le nombre ordinal usuel, le numéro d'ordre {« le n" ») est une autre idée : c'est l'idée du

I. RussELL, op. cii., p. S42, 262. M. Bussell remarque que la similitude est, entre les relations, l'analogue exact de l'équivalence entre les classes. De même qu'une classe de classes équivalentes est un nombre, une classe de relations semblables est un nombre-relation, et l'on peut étudier sur ces nombres-relations des propriétés analogues à celles des nombres, qui font l'objet d'une Arilhméiique des relations {op. cit., g 2S3, 21li)).

terme qui, dans une suite, en a (n — 1) avant lui. C'est, comme on voit, un mélange d'idées cardinales et ordinales, puisqu'elle implique, d'une part, une suite d'au moins n termes (donc le nombre ordinal n), et d'autre part le nombre cardinal n — 1.

La définition qu'on a donnée des nombres ordinaux s'applique également aux nombres finis et infinis, et rien jusqu'ici ne permet de les distinguer. Pour y arriver, il faut définir un nombre ordinal spécial, w, qui est le nombre ordinal des progressions; ou, ce qui revient au même, il faut définir une classe spéciale de suites, qu'on appelle les jjrogressions '.

Pour le dire d'avance, une progression est une suite semblable à la suite des nombres cardinaux finis. Mais, ai l'on veut se passer de l'idée de nombre, on peut définir directement les progressions comme suit :

H Une progression est une classe u contenue dûns le domaine d'une relation biuniforme, qui possède les propriétés suivantes : 1" l'ensemble des conséquents est contenu dans l'ensemble des antécédents sans lui être identique; 2" si s est une classe quelconque qui contient au moins un des antécédents qni ne sont pas conséquents, et qui contient le conséquent de chacun des h qu'elle contient, elle contient tous les u. »

La première condition entraine l'infinité de la classe u; la seconde exprime le principe d'induction. Ainsi celui-ci est une partie essentielle de la définition des progressions, et c'est pour cela que les progressions sont semblables à la suite naturelle des nombres. On démontre alors que dans une progression il n'y a qu'un antécédent qui ne soit pas conséquent; ce terme unique (qui est le premier) sera le zéro de la progression considérée. Le «« sera le conséquent de zéro (il est unique, puisque la relation génératrice est biuniforme); et en général, Le suivant d'un terme a; (seq x) sera le conséquent de ce terme. En vertu de lal^^ condition, tout terme a un conséquent.

1. Bien entendu, il faut dépuuiller ce mol du sens qu'on lui donne en Arithmétique élémentaire (progressions arithmétiques et géométriques). La théorie des progressions a élé esposée par M. Russell dans son mémoire Sur la Logique des i-elatiom, S 3, ap. Revue de Mathématiques, 1. VU (IMf).