I-E NOMBRE ORDINAL

On peut alors démontrer que deux progressions quelconques sont semblables, et, réciproquement, que toute suite semblable à une progression est une progression. Il en résulte que les progressions forment une classe unique de classes semblables, ce qui justifie la définition du nombre ordinal o> comme la classe des progressions. On démontre en outre que tout terme d'une progression diffère du suivant; qu'il diffère aussi de tous les précédents, de sorte que le même terme ne peut jamais revenir; enfin, que si l'on supprime 1, 2, .... n (nombre fini) termes au commencement d'une progression, le reste est encore une progression. On définit ensuite l'addition et la multiplication des nombres ordinaux finis, et l'on démontre leurs propriétés formelles, y compris la commutativilé, car celte fois les opérations impliquent un ordre entre les nombres combinés. On peut donc constituer, au moyen du calcul des relations, toute l'aritbmétique des nombres ordinaux finis, sans jamais invoquer la notion de nombre cardinal.

11 n'en est pas moins vrai que la notion de nombre cardinal est antérieure à celle de nombre ordinal, parce qu'elle est logiquement plus simple : elle n'implique en effet qu'une seule relation biuniforme entre deux classes, tandis que la notion de nombre ordinal implique, en outi-e, une relation génératrice d'ordre dans chacune de ces classes. En d'autres termes, la relation de similitude est plus eompréhensive que la relation d'équivalence : elle implique l'équivalence, et quelque chose de plus.

La même méthode logique permet d'expliquer la généralisation du nombre. Et d'abord, les nombres rationnels (ou fractions) seront considérés comme des relations entre nombres entiers, comme des rapports. On dira, par exemple, que le nombre a a la relation B avec le nombre c [aBc) si l'on a : ab = c, c'est-à-dire si a multiplié par h donne c. Ainsi à chaque nombre entier b correspond un rapport ou une relation B. Par suite, étant donnés deux nombres entiers a et d, on dira qu'il y a entre eux la relation complexe 5«'=C [a B *'^C d), si le produit de a par b est égal au produit de d par c {aà = cd},

80 l'idée D'OHDRF-

b cl c étant aussi des nombres entiers. Et cette relation B *"€ sera le rapport 6/c. Gomme, en Mathémaliqiiea, les relations s'expriment par des opérations, on peut dire que le rapport bjc est le symbole des opérations à efTeetuer sur a pour obtenir d (à savoir, une multipliciition par b suivie d'une division par c ; car l'égalité ah = cd équivaut à : a X bjc r=. d). Ainsi les nombres rationnels ne sont pas des nombres, mais des opéralions sur les nombres entiers; de sorte qu'on ne doit pas identifier aux nombres entiers les nombres rationnels qui leur correspondent (les fractions à dénominateur 1) '.

De même, les nombres positifs et négatifs seront conçus comme des opérations sur les nombres absolus (enliers ou rationnels). Considérons d'ahord un nombre entier, a. Soit R la relation biuniforme qui existe entre chaque nombre et son suivant (et par suite "M celle qui existe entre chaque nombre et son précédent). Le nombre positif + a indiquera l'opération qui correspond à la relation Ji", et le nombre négatif — (i l'opération qui correspond à la relation "1/ . En d'autres termes, + a signifie qu'on doit avancer de a rangs, et — a qu'on doit reculerde a rangs dans la progression ^. Celte conception est, on le voit, tout à fait conforme au sens commun, et aus considérations intuitives par lesquelles on explique, dans les éléments, la différence du positif et du négatif; mais elle est néanmoins indépendante de toute notion géométrique et de toute intuition.

De même, les nombres rationnels positifs et négatifs seront des opérations sur les nombres rationnels absolus. On a défini l'inégalité et l'addition des nombres rationnels absolus, et on sait que, si la fraction p est plus petite que la fraction q, celle-ci est la somme de p et d'une 3° fraction r. La fraction positive + r désignera l'opération par laquelle on passe de p à g, et la fraction négative — r l'opération inverse (par laquelle

1. On retrouve ainsi, en somme, la conception de la fiacUon comme symbole opératoire, proposée pai- SI. Mébaï [Les fractions et les quantités négatives, 1890).

2. On a défini plus haut les puissances cnlitres d'une relation (p. 73, noie 2).

yGoosle

on passe de q à p). Ainsi toutes les espèces du nombre généralisé sont, non pas des nombres, mais des opérations, ou mieux des relations entre les nombres entiers absolus, et ne doivent pas être identifiées, même partiellement, à eeux-ci. Cette conception introduit une clarté et une rigueur parfaites dans rArithmétique générale, et prévient radicalement les confusions d'idées qui s'y glissent trop souvent.

Il convient de remarquer, avec M. Russbll, que, si les propriétés cardinales des nombres finis sont les plus importantes dans les applications (dénombrement et mesure), leurs propriétés ordinales sont les seules que l'on ait à considérer dans les Mathématiques pures, de sorte qu'on peut, dans ce domaine, se contenter de la définition ordinale du nombre, c'est-à-dire considérer les nombres finis comme formant une progression '. C'est ce qui explique que d'éminents mathématiciens aient cru pouvoir réduire l'idée de nombre à celle de nombre ordinal ^. Cela explique aussi que ceux qui considèrent le nombre ordinal comme seul a priori croient que l'expérience ou l'intuition est nécessaire pour engendrer le nombre cardinal. Mais c'est là une erreur, car le nombre cardinal, on l'a vu, est plutôt antérieur au nombre ordinal, et par suite au moins autant a priori que lui.

Pour compléter la généralisation du nombre, il resterait à définir les nombres irrationnels et les nombres complexes. Mais la théorie des nombres irrationnels est inséparable de la notion de continu, qui demande une étude spéciale; et la théorie des nombres complexes implique la notion de dimension, qui appartient à la théorie de l'espace. Ainsi la généralisation du nombre nous conduit à deux théories nouvelles, qui feront l'objet des chapitres suivants.