CHAPITRE IV

Ll-: CONTINU

Les nombres irrationnels, avona-nous dit, impliquent l'idée de continuité, ils ne paraissent pouvoir s'expliquer et se justifier que par elle; mais, en revanche, cette idée ne devient précise et rigoiireuse que lorsqu'on la représente par les nombres réels, qui comprennent nécessairement les nombres irrationnels. C'est ce qui fait croire h certains mathématiciens que l'idée de continu procède de l'idée de nombre, et est engendrée par la création des nombres irrationnels. Quoi qu'il en soit, que les nombres réels soient l'original ou la copie du continu, il est incontestable qu'il y a une analogie et un parallélisme parfait entre les deux notions, et qu'on ne peut expliquer l'une sans l'autre. Analyser le continu, c'est définir les nombres irrationnels. Commençons donc par cette définition.

îi A. — DÉPiMTiotJ DU NOMitm; iruatio^.vel.

On a proposé diverses manières de définir les nombres irrationnels. La conception qui devait se présenter le plus aisément à l'esprit des mathématiciens est celle qui considère les nombres irrationnels comme des /imites de suites ou de séries convergentes qui n'ont pour limite aucun nombre rationnel. Mais les théories de ce genre ne prouvent nullement Texislence (logique) des nombres irrationnels : elles la postii-

DEFINITION DU nombue ihrationnel 83

lent au contraire '. En outre, il y a quelque chose de paradoxal et de choquant pour l'esprit à dire : « Telle suite ou série n"a pas (le limite (pai-mi les nombres rationnels); elle aura, par définition, pour limite un nombre irrationnel »; en d'autres termes, à dire qu'un nombre irrationnel est la limite d'une suite qui n'a pas de limite ^. Enlin, il y a quelques précautions h. prendre pour définir l'égalité (ou identité) des nombres irrationnels, car le même nombre irrationnel peut être défini par une infinité de suites ou de séries toutes différentes; il faut quelque soin pour reconnaître que leurs limites, données d'abord comme distinctes, sont réellement identiques.

Une autre manière de définir les nombres irrationnels est celle de MM, Dedekiso et J. Tannerï '. Elle a l'avantage de se passer complètement de l'idée de limite, et de situer d'emblée les nombres irrationnels par rapport aux nombres rationnels. Elle part de ce fait que l'ensemble des nombres rationnels offre une infinité de coupures. On sait ce qu'il faut entendre par là. Chaque nombre rationnel partage l'ensemble des autres nombres rationnels en deux classes : celle des nombres plus grands que lui, et celle des nombres plus petits que lui ; on les appelle, pour abréger, classe supérieure et classe inférieure. Il est clair que chaque nombre de la classe inférieure est plus petit que chaque nombre de la classe supérieure. En outre, étant donné qu'entre deux nombres rationnels il y en a toujours un autre (supérieur au plus petit et inférieur au plus grand) ', il n'y a dans la classe inférieure aucun nombre plus grand que tous les autres, ni dans la classe supérieure aucun nombre plus petit que tous les autres. Tout cela résulte des

i. D'après M. Georg Castor, Weieralrass Berait le premier gui aurait évité ce cerele vicieux (Grundlagen einer ailgemeinen MannichfaUigkeitslekre, p. 22).

2. M. Freob s'élève avec beaucoup de force et de justesse contre celte sorte de • déQaitions créatrices >, et soutieat qu'une délinition mattié malique, n'étant proprement qn'une imposition de nom, ne peut pas créer aon objet, et ne peut dispenser d'en démontrer l'existence {Grundgeselze der Aritlimetik, t. Il, 1903; Function und Begriff, 1891).

3. Voir notre ouvrage De l'Infini malhémaliqiie, 1" partie, livre I, chap. iv.

4. Propriété qu'on exprime en disant que l'ensemble est compact.