LE CONTINU

propriétés mêmes des nombres rationnels. Le phénomène de la coupure consiste en ceci, que la totalité des nombres rationnels peut être répartie (d'une infinité de manières) en deux classes possédant les mêmes caractères, sans qu'il y ail entre les deux classes aucun nombre rationnel qui les sépare et les détermine. On est ainsi amené k concevoir un nombre (irrationnel) qui serait à la fois plus grand que tous les nombres de la classe inférieure et plus petit que tous ceux de la classe supérieure, et qui comble en quelque sorte la coupure, de même que dans le cas précédent elle était comblée par un nombre rationnel. Toute la différence consiste en ce que le nouveau nombre est déterminé et défini par la coupure, au lieu de la déterminer, comme fait le nombre rationnel. Mais, une fuis que les nombres irrationnels sont définis et ajoutés à l'ensemble des nombres rationnels, on peut confondre les uns et les autres, sous le nom de nombres réels, car ils jouissent en somme des mêmes propriétés.

Cette définition n'a qu'un défaut, qui lui est commun avec la précédente : elle ne permet pas de prouver l'existence des nombres irrationnels. M. Dedekind a dû postuler cette existence, en formulant pour l'ensemble des nombres réels un axiome de eontînuité, analogue à l'axiome qui caractérise la continuité géométrique (de la ligne droite) : « Si l'ensemble des nombres réels peut être réparti en deux classes telles que chaque nombre de la première soit plus petit que chaque nombre de la seconde, il existe un nombre réel, et un seul, qui produit cette répartition ', » Cet énoncé est un peu vague : que faut-il entendre par le nombre qui produit une répartition? Ce ne peut être un nombre intermédiaire entre les deux classes, puisque par hypothèse celles-ci comprennent ensemble la iotalilé des nombres réels. 11 faut donc que le nombre en question soit le plus grand de la classe inférieure ou îe plus petit de la classe supérieure. Mais alors, c'en est fitit des propriétés caractéristiques de la coupure, puisque la définition de

1. DinœtinD, Sietigkeil und irratiomle Zahteii, p. 18 (1872).