DÉFIMTION DU NOMBRE IRRATIONNEL 8B

celle-ci implique à la fois que la classe inférieure n'a pas de maximum et que la classe supérieure n'a pas de minimum. 11 faut donc revenir à l'ensemble des nombres rationnels, et dire que toute coupure de cet ensemble correspond à un nombre réel. Ou bien il faut modifier la définition de la continuité, et dire : « Si l'ensemble des nombres réels peut être réparti en deux classes telles que chaque nombre de la première soit plus petit que chaque nombre de la seconde, ou bien la première a un maximum, ou bien la seconde a un minimum, mais jamais les deux à la fois n. Mais alors l'axiome perd beaucoup de son évidence, parce que le fait de la coupure en a disparu.

Dans tous les cas, cet axiome, ou un axiome équivalent, est nécessaire pour affirmer l'existence des nombres irrationnels, et cela est fâcheux, d'abord parce qu'il conviendrait que leur existence pût se déduire de leur définition ; ensuite, parce qu'on peut toujours refuser d'admettre l'axiome ou postulat en question, qui ne se justifie que par une analogie contestable; enfin, parce que cet axiome, même quand on l'admet, produit un hiatus dans l'enchainemeut déductif des propositions, et semble constituer un appel à l'intuition, qui serait ruineux pour la thèse de la nature logique des vérités mathématiques.

M. HussELL a réussi à se passer de cet axiome en modifiant la délinition du nombre irrationnel de telle sorte qu'elle implique ipso facto l'existence de l'objet défini. Sa définition consiste, en deux mots, à identifier le nombre irrationnel à la classe inférieure qui servait précédemment k ta définir. Seulement, celte classe doit être maintenant définie par ses propriétés intrinsèques. On appellera segment ' toute classe de nombres ration, nels non nulle, qui ne comprend pas tous les nombres rationnels, qui comprend tous les nombres rationnels plus petits qu'un quelconque de ses éléments, et telle que chacun de ses éléments est plus pîtit qu'un autre de ses éléments (de

I. Celte conception du nombre irrationnel comme un segment [ZahUnslredie) est due à P.iscei, Einleilung in die Di/femUial- und bilegval-Rei:hnumj (Leipzig, 1882).

soi'le t[u'aucun, d'eux n'est le niaximuraj. Ces deux derniisres conditions s'expriment très simplement en symboles. Soit l'ensemble des nombres rationnels plus petits que i (IVactions propres) ; lix sera l'ensemble des nombres rationnels plus petits que X. Par extension, si u est une classe de nombres, Ou sera la classe des nombres plus petits que quelque u. Gela posé, les deux conditions énoncées signifient que, si u est un segment, on a à la fois : huou, et wo bu, c'est-à-dire : Om^w. Ou démontre aussitôt que 9 est un segment, et que, si x est un nombre rationnel, 'jx est un segment (ce qui Implique que Hbx = ^x]. Mais la réciproque n'est pas vraie : tous les segments ne sont pas de la forme Oa:, x étant un nombre rationnel. U y a donc, pour parler grossièrement, ^jiws de segments que de nombres rationnels. Ces segments seront, par définition, les nombres réels. On définit aisément leur addition et leur multiplication, et l'on démontre que ces opérations jouissent des mêmes propriétés que les opérations de même nom sur les nombres rationnels. Une partie des nombres réels correspondent aux nombres rationnels ; ce sont les segments de la forme bx; mais, à parler rigoureusement, ils ne doivent pus être identifiés à ceux-ci; de même qu'aucun nombre rationnel n'est un nombre entier, aucun nombre réel n'est un nombre rationnel. Un nombre rationnel est une relation de deux nombres entiers (un rapport), et un nombre réel est un ensemble de nombres rationnels. Par exemple, on distinguera trois nombres 1 : le nombre entier i ; le nombre rationnel i, qui est le rapport de 1 à 1 (ou le rapport de n à », identique au précédent); elle nombre réel 1, qui est l'ensemble des nombres rationnels plus petits que le nombre rationnel 1 (ensemble désigné par D). On voit que dans cette conception Vexistence des nombres réels ne fait pas plus question que celle des nombres rationnels : les nombres rationnels existent, en tant que rapports des nombres entiers; les nombres réels existent, en tant qu'ensembles dénombres rationnels.

La conception précédente n'est pas si éloignée qu'il semble de I.T conception ordinaire du nombre irrationnel, et c'As en

DEFIMTION nu NOMBHIi IRRATIONNEL 8T

esl directement issue. En effet, au lieu de concevoir le nombre irrationnel comme limite commune des deux classes (supérieure et inférieure) qui le définissent, il revient au même (et il est plus simple) de le concevoir comme limUe supérieure de la classe inférieure. Voici d'abord comment on définit la limite supérieure (qu'on représente par le symbole I') ;

u, V e Cls'R . gii . 3(1 : o r I'm = l'y . = . Om = 9i) Df

ic Si u et V sont des classes non nulles de nombres rationnels positifs, dire que la limite supérieure des u est égale à celle des u, c'est dire que les classes flu et Ou sont égales (identiques). » C'est là une définition par abstraction, qui consiste à définir, non pas le symbole I'm en fonction de symboles connus, mois seulement Vègalïlé de deux tels symboles. On définit ensuite les nombres réels positifs (Q) comme suit :

Q =^ 1' ;cis'îi - «3 (a« . aiï-'«Oj ^f

« Un nombre réel esl la limite supérieure d'une classe non nulle de nombres rationnels u, telle qu'il y a des nombres rationnels non inférieurs à quelque u *, »

Il importe de remarquer que celte formule définit en bloc tous les nombres réels (et non pas seulement les nombres irrationnels) comme limiles supérieures d'ensembles de rationnels. Si l'on veut faire rentrer l'ensemble des nombres rationnels dans le nouvel ensemble des nombres réels, il faut recourir à une nouvelle définition, qui fixe l'égalité et l'inégalité d'un nombre rationnel par rapport à une limite supérieure :

M:Cls'R.aea.o:(i<l'M. = .«sOtt Df o:a = \'n. = Aa—nu Df

Il Si a est un nonibi'e rationnel et u un ensemble de nombres rationnels, dire que a est inférieur à Vu, c'est dire que a est inférieur à quelque m; et dire que a esl égal à Vu, c'est dire que les classes fia et Or; sont égales (identiques). » II en résulte

que a est la limite supérieure lIu segment 6«, c'est-à-dire de l'ensemble des nombres rationnels plus petils que lui. Mais, on le voit, c'est moyennant une convention qui identifie un nombre rationnel à une limite supérieure. Sans elle, rien ne permet d'affirmer que le nombre rationnel a est la limite supérieure des nombres rationnels inférieurs à lui. Or les deux définitions précédentes sont défectueuses, car ce sont encore des définitions par abstraction : elles ne définissent ni a ni l'w, mais leur égalité ou inégalité. Et ce qu'il y a de plus grave, c'est qu'elles établissent ces relations entre des notions déjà déflnies séparément- En vertu de la définition de la limite supérieure, on a :

et, en rapprochant cette égalité de celle-ci ; ar=\'u, ou en conclut immédiatement : a^Va, ce qui est une autre forme de la même convention. Rien ne justifie cette identification du nombre rationnel a h une limite supérieure quelconque, fût-ce à celle de l'ensemble formé du seul nombre rationnel a.

Mais, d'autre part, la limite supérieure n'ayant été définie que par abstraction, rien ne permet d'affirmer l'existence ni l'unicité de cette entité nouvelle. Pour cela, il faudrait en avoir une définition nominale. Or, puisque l'égalité I'm:::^!'!) équivaut à l'égîililé 6i( = 0y, et qu'elle n'a même pas d'autre sens, il est tout naturel de poser par définition :

Vu — Ou

c'est-à-dire de supprimer la notion de la limite supérieure et déconsidérer uniquement les segments. En efïet, quel que soit l'ensemble u, on a :

c'est-à-dire que l'ensemble (jw est un segment. On est ainsi conduit à identifier le nombre irrationnel au segment dont il est la limite supérieure, et plus généralement, à concevoir tous les nombres réels comme des segments de nombres rationnels, ce qui est la théorie de M. Russell. Seulement alors il ne faut

DKFIMTION DL' KOMBRIÎ

plus poser la définition :

a = Yu. = .'la = ')u

c'esl-à-dire identifier un nombre rationnel à une limite supérieure, car on serait amené à l'identifier à l'ensemble des nombres rationnels plus petits que lui (a =;!'!(. Yti^^Qu . Iiîi^&a . . «^Oa). Ou bien il faut entendre par o, non plus le nombre rationnel a, mais le nombre réel a qui lui correspond. C'est ainsi, en particulier, qu'on pourra dire que le nombre réel 1 est l'ensemble des nombres raiionnds plus petits que 1 (nombre ralionnel)^.

Bien que la définition formelle de la limite supérieure exclue le cas oii la classe considérée comprend la totalité des nombres rationnels, on est conduit, par une généralisation naturelle et légitime, à concevoir Viiifim comme la limite supérieure de l'ensemble des nombres rationnels (ou mieux comme cet ensemble même, ce qui supprime la question d'existence). Il importe de remorquer que c'est \h l'infini comme nombre réel, distinct de finfini ratioimel (rapport d'un nombre entier non nul à 0) et de l'infini entier (nombre cardinal (£„ ou nombre ordinal (o); de même que le séro réel (limite inférieure des nombres ralionnels positifs non nuls) se distingue du zéro rationnel (rapport du zéro entier à un nombre entier non nul) et du zéroentier. Toutes ces distinctions sont analogues à celles que nous avons établies entre les divers nombres 1, et tout aussi justifiées.

Mais, d'autre part, comment s'expliquer ta confusion constante et traditionnelle qui s'est établie entre ces diverses généralisations du nombre, qui ne sont même pas, à vrai dire, des nombres, ce terme devant, semble-t-il, être réservé aux nombres entiers? Il ne suffit pas d'invoquer le soi-disant principe de permanence de Hakkel, qui d'abord est faux, attendu t|oe

i. Formulaire de Malltématiques (1003), g 42; cf. Pea %îonali {Revae de Mathématiques, t. VI, p. 126-140), où breusee indications liislopiques et bibliographiques si le résumé des principales théories proposées.