LK CONTINU

les opérations arilhméliques ne conservent pas, d'une espèce à l'autre, kmles leurs propriétés, et qui, fût-il vrai, n'aurait que la valeur d'un motif esthétique d'analogie et pour ainsi dii-e de sentiment'. Il ne suffil pas non plus de dire, avec M. Russiîll, que les mathématiciens ont, en vertu du caractère formel de leur science, une tendance invincible à identifier deux ordres d'enlilés entre lesquels ils découvrent on établissent uns correspondance univoque et réciproque. La vraie raison est la suivante : toutes les espèces de nombres ont ceci de commun, qu'elles servent h la mesure des grandeurs, et c'est pourquoi on les appelle toutes du même nom. Le nombre est, au sens le plus général, le symbole d'une grandeur, ou plutôt du rapport de deux grandeurs (d'nne grandeur quelconque à l'unité de grandeur de son espèce) ^, C'est là, en tout cas, l'origine historique, de la généralisation du nombre. Les nombres irrationnels étaient inconnus d'EuCLiDË, et ce qui lui en tenait lieu, c'était les rapports de grandeurs (livre X des ICUnifinis). Par conséquent, ce qu'on appelle le continu numérique est né, hutoriquemeDl, du continu géométrique, notamment du fait des grandeurs incommensurables. Mais il faut se garder de tirer de là des conclusions coatraires à Vajmorité des Mathématiques pures. D'ailleurs, iors même que le continu numérique serait dérivé du continu géométrique, il ne s'ensuivrait pas qu'il procède en quoi que ce soit de l'intuition spatiale (pure ou empirique, peu importe ici). Ku effet, le continu géométrique n'est pas et ne peut pas être un objet d'intuition. On parle quelquefois du continu physique comme du modèle (imparfait) d'après lequel l'esprit humain aurait créé le continu mathématique; mais il n'y a pas, il ne saurait y avoir Je continu physique. Ce que l'on appelle ainsi, c'est (tout au plus) des suites compactes de points, analogues à l'ensemble des nombres rationnels. Or, en admettant mémo (ce qui est déjà excessif) qu'une suite compacte soit donnée dans l'intuiliou, rien

DEFINITION Dtl COSTINU 91

n'oblige ni même n'autorise à compléter une telle suite par des points irrationnels, de manière à la rendre continue. Jamais aucune expérience ni aucune mesure ne nous révélera un point irrationnel ou une grandeur incommensurable. De telles notions ne peuvent donc être qu'a priori, et indépendantes de toute intuili.on.

§ B. — Définition nu continu.

Celte conclusion, qui nous parait déjà suffisamment établie par les arguments négatifs qui précèdent, se trouve confirmée par un argument positif péremptoîre, qui est que l'on peut construire logiquement et de toutes pièces la notion du continu, non seulement sans invoquer le continu géométrique, mais même sans faire appel à l'idée de grandeur, uniquement avec des considérations d'ordre. C'est là une des conquêtes les plus importantes de la philosophie des Mathématiques; nous avons déjà eu l'occasion de la signaler', mais M. Russisll en a fait ressortir toute l'importance en l'incorporant à son système. En deux mots, elle consiste en ceci, qu'un peut (et qu'on doit même) définir le continu d'une manière purement ordinale, sans faire intervenir aucune notion métrique (de grandeur ou de distance).

C'est à M. Georg Castor qu'appartient le double mérite, d'abord, d'avoir donné la première déOnition logique et précise du continu, ensuite, de l'avoir dégagée de toute considération de grandeur. Pour bien comprendre la définition ordinale du continu, il faut partir de la définition métrique qui en a été donnée en premier Heu^. Aux termes de celle-ci, un ensemble continu est un ensemble parfait et liien eiichiiiné {zusammmbangend). Rappelons brièvement la définition de ces ath-ibuls. Un ensemble !i de points (ces points n'étant pas autre chose

1. Stir la définilion du conliiiii, ap. TIeviie de Métnitltysii/ui: et de Morale, t. VIII, p. 137-168 [mars J90Û).

2. G. Cantoh, Grwidlagen eiiier atlgemeinen Manniclifaltii/keitslekre, ap. Math. Anmlen, t. XXI (188^).