I.B CONTINU

que des valeurs numériques) a pour point-limite un point x (appartenant ou non à l'ensemble), si dans le voisinage cle x il y a une infinité de points appartenant à E, c'est-à-ilire, plus rigoureusement, ai, étant donné un nombre e, si petit qu'il soit, il existe au moins un point de E dont la distance à x soit moindre que e. Un ensemble parfait est un ensemble qui contient tous ses points-limites, et dont tous les points sont des points-limites; en d'autres termes, puisqu'on appelle dérivé d'un ensemble l'ensemble de ses points-limites, on ensemble parfait est un ensemble identique à son dérivé : il le contient et y est contenu à la fois. D'autre part, un ensemble E est dit bien enchaîné, si, étant donnés deux points quelconques de E, ;j, et i),on peut trouver dans E une suite de points :p„ jj^,... p,, (en nombre fini n) telle que les distances de deux points consécutifs, à savoir : poP„ PiP^f- pnP, soient toutes inférieures à un nombre donné s, et cela si petit que soil ce nombre (il est clair que, plus e est petit, plus n grandit, mais il ne doit pas cesser d'être fini).

Ou voit que les deux attributs qui servent à définir le continu impliquent l'idée de grandeur ou de dislance. En outre, celte définition de la continuité est essentiellement relative : on ne définit en effet un ensemble continu que par rapport à un autre ensemble, déjà continu (qu'on appelle métaphoriquement Vespace), où il e&t supposé plongé, et où il peut posséder des points-limites qu'il ne contient pas. Par suite, cette définition de l'ensemble continu présupposait la notion générale d'espace continu, c'est-à-dire une autre notion, antérieure et absolue, de la continuité. Or il se trouve que la définition absolue du continu au moyen de ses propriétés intrinsèques est en même temps affranchie de toute considération de grandeur, et implique uniquement des relations d'ordre. C'est celle définition ordinale qu'il nous reste à exposer '.

I. G. Castor, BeUrâge zur Begrûndung der Iransfiniteii Meiifjenlehre, ap. Math. Annalen, L 46 (1S93) et 49 (1891); Irad. par MarolLe sous le titre : Sur les fondemenls delà théorie des ensembles Irmu^iis (Paris, Hermano, 1S99). — Toutefois, nous devons menlionner que, clèa 1894, M. Enbtques donnait une défmilion purement ordinale de la coiilinuile de la ligne

DE^'INITION DU CONTIKU 93

De mémo que la définition des nombres irralioauels repose sur la considération des nombres rationnels, la défmition ordinale du continu repose sur la considération d'un ensemble semblable à l'ensemble des nombres rationnels, c'est-à-dire possédant les mêmes propriétés ordinales. Ces propriétés sont les suivantes :

1° C'est un ensemble dénombrable ;

2" Il n'a ni premier ni dernier terme;

3" II est compact, c'est-à-dire qu'entre deux termes quelconques il y en a on autre.

Ces trois propriétés sont purement ordinales ; car la première (la seule pour laquelle cela n'est pas évident) équivaut à ceci : « l'ensemble peut être rendu semblable à une progression »; or on a défini la progression indépendamment de l'idée de nombre cardinal'. Ces propriétés définissent le type d'ordre t; de l'ensemble des nombres rationnels, et par suite de tout ensemble semblable à celui-là^.

Dans l'ensemble -i] ainsi défini, on peut considérer co que M. Cahtor appelle des suites fondamentales ascendantes ou descendantes. Une suite fondamentale est une progression {du type d'ordre w) dont les termes se suivent dans le même ordre que dans l'ensemble -r^, auquel cas elle est dite ascendante, ou dans l'ordre inverse, auquel cas elle est dite descendante. On peut se borner à considérer les suites fondamentales ascendantes, et cela sera sous-entendu désormais. Une suite fondamentale S a une (imite, si dans l'ensemble i) il y a un terme qui est le premier après tous les termes de S. Autrement dit, un terme x est la limite de la suite fondamentale S, si tous les termes de S sont inférieurs (antérieurs) à x, et si chaque terme

droite : Sui fondamenti delta Geomelria pfoj'elliva, postulat VU, ap. Rendieonti del H. Istiluto Lombarde, aer. II, vol. XXVil.

i. Comme le remarque M. Rbssëll, cea trois pronriétÉs sont relatives à deuK manières diiTérenies d'ordonner les nomljres rationnels : les deux dernières les supposent rangés par ordre ° de grandeur >, tandis que la première les suppose rangés sous forme de progression (op. cit., g 2"8].

2, Le type d'ordre étant, par définition, le concept obtenu par l'abstriclion eltecluée sur lous les ensembles semblables à un même ensemble,