LE CONTINU

supérieur (postÉrieur) à tous les termes de S est supCricui' (postérieur) à a:. Cela posé, on dit qu'un ensemble est parfait, si toutes ses suites fondamentales ont des limites, et si tous ses termes sont des limites de suites fondamentales.

On remarquera que ta notion de limite, et par suite celle de parfait, sont maintenant définies d'nae manière purement ordinale, et de plus intrinsèque, c'est-à-dire sans considérer aucun élément extérieur à l'ensemble en question. Mais l'attribut de parfait ne suffît pas encore à. définir un ensemble continu : il faut y ajouter ce fait, que cet ensemble contient un ensemble du type d'ordre -r^. On est ainsi amené à la définition suivante du type d'ordre 6 du continu linéaire i

« L'ensemble 6 est parfait, et contient un ensemble dénoaibrable E tel qu'entre deux termes de il y a au moins un terme de E. »

Cette définition est suffisante, car on peut démontrer que l'ensemble E caractérisé par ces trois propriétés (d'être dénombrable, d'être contenu dans un ensemble parfait, et d'avoir un terme entre deus termes quelconques de celui-ci) possède le type d'ordre ïj.

On remarquera l'analogie de cette définition du continu avec celle des nombres irrationnels. On peut rendre cette analogie plus étroite encore en substituant les segments aux suites fondamentales dans la définition du continu. Étant donné un ensemble E ordonné du type d'ordre ï], c'est-à-dire dénombrable et compact, on peut y définir des segments, comme dans l'ensemble des nombres rationnels. Un segment sera un ensemble S qui contient quelques termes de E, mais non tous, qui ne contient pas de dernier terme, et qui contient tous les termes de E qui précèdent un terme quelconque de S. Celte définition est, comme on voit, purement ordinale. Or chaque segment contient virtuellement une infinité de suites fondamentales ayant pour limite sa propre limite supérieure. Dire que toute suite fondamentale a une limite, c'est dire que tout segment a une limite supérieure; et comme celle limite supérieure doit, par hypothèse, être contenue dans l'onseinblo total (où