DÉFINITION DU CONTINU

l'ensemble E se trouve compris), c'est dire que cet ensemble tolal est semblable à l'ensemble des nombres réels, et par conséquent continu.

M. Whitëhead a simplifié celte détïnition en la remplaçant par la définition équivalente que voici : « Une suite est con-

tinue : 1° quand elle a un premier et un dernier terme, et quand tous ses segments (tant supérieurs qu'inférieurs) ont une limite; 2° quand elle contient une suite déoombrable compacte telle qu'il y ait un terme de celle-ci entre deux termes quelconques de ia première ' ».

Pour montrer ia différence des deux déiînitions de la continuité {la définition ordinale et la définition métrique), il sufifit d'analyser quelques exemples simples. Considérons d'abord l'ensemble des nombres réels compris entre et 2; il esl figuré par le segment —2, c'est-à-dire par un ensemble de points linéaire et continu (fig. i). Coupons ensuite ce segment immé-

iliateinent avant le point 1, et séparons les deux tronçons : !'un composé de tous les points compris enlre inclus et 1 exclu, l'autre composé de tous les points compris entre 1 et 2 indus (fîg. 2), L'ensemble des deux tronçons ne sera plus continu au sens métrique, puisqu'il n'est plus bien enchaîné : il y a une distance finie entre le point 1 et l'un quelconque des points (de l'ensemble) situés à sa gauche. Mais il sera encore continu au sens ordinal, car le point 1 est toujours la limite (au sens ordinal) des points qui le précèdent, il est toujours (dans l'ensemble) le premier après tous les points du premier

i, Hi'ssKLL, op. cil., p. ayg, note.

tronçon ', Au lieu de considérer des poinLs que nous déplaçons dans l'espace, c'est-à-dire une image géométrico-pljysîque, nous pourrions considérer des nombres purs et fixes : l'ensemble des nombres réels compris entre incius et I exclu, et entre 2 et 3 inclus, est continu au sens ordinal sans l'être au sens métrique : car s'il y a un intervalle fini (> i) entre le nombre 2 et chacun de ceux qui le précèdent, il n'en est pas moins le premier après ceux-ci, et il est leur limite ordinale, au même litre que le point \ est leur limite métrique. On voit par ces exemples quelle est la différence essentielle entre les deux eontiouilés ; la continuité ordinale est intrinsèque, elle repose uniquement sur les relations internes des éléments de l'ensemble, et ne tient aucun compte des éléments étranjçers; tandis que la continuité métrique est relative à la skualion de l'ensemble considéré au sein d'un antre ensemble, qui est continu, et dont les éléments entrent en considération. La continuité ordinale est donc la seule primitive et absolue.

On pourrait imaginer des ensembles plus compliqués, qui seraient continus au sens ordinal tout en étant absolument discontinus au sens métrique. Yoici un procédé très générai et 1res simple pour construire de tels ensembles. Concevons que Ions les nombres réels compris entre et 1 soient écrits dans le système binaire, c'est-à-dire sous forme de nombres « bimaux » dont les cbiffres seront tous ou 1 ; on a évidemment ainsi un ensemble continu (tant au sens métrique qu'au sens ordinal). Lisons maintenant tous ces nombres dans le système décimal (ou dans tout autre système de numération non binaire); leur ensemble cesse d'être continu au sens métrique, puisque alors le segment (0 — 1) comprend d'autres nombres décimaux (par exemple ceux qui contiennent 2 parmi leurs chiffres décimaux); mais il reste continu au sens ordinal, attendu que l'ordre relatif des nombres (ou des points correspondants) est resté exactement le même ^ En réalité, cette