Cctie H

léLhode 1

ist due à M. Pe.vxo, Riv

isla di Malemalka, t. li, p. il.

DEFINITIOS DU COMINU 97

transformation, qui fait image, représente une correspondance purement statique établie, par Tintermédiaire des nombres indiqués, entre deux ensembles de valeurs ou de points dont Tun constitue l'intervalle continu (0,1) et dont l'autre au contraire ne comprend qu'une partie des points de cet intervalle '. Néanmoins, celui-ci est tout aussi continu que l'autre au point de vue ordinal, puisque l'orJre de ses éléments est le même : si un nombre (ou plutôt : une expression numérique) est supérieur à un autre dans le système binaire, il loi est aussi supérieur dans le système décimal, et réciproquement ^,

Les définitions précédentes du continu ne sont guère intuitives, il faut en convenir. Néanmoins, elles suffisent à. fonder non seulement l'Analyse, mais même la Géométrie. C'est là un fait extrêmement important, et de grande conséquence en philosophie, que le continu géométrique puisse se réduire au continu tiMm^i'î^we qu'on vient de définir. Ce fait réfute définitivement toutes les doctrines qui considèrent la notion du continu comme provenant de l'intuition sensible, et comme réfractaire à l'entendement.

On verra en Géométrie des définitions plus simples et plus intuitives du continu (par exemple de la continuité de la ligne droite), mais ces définitions seront exactement équivalentes aux précédentes, et leur simplicité relative vient du fait qu'un certain nombre des conditions de la continuité se trouvent impliquées déjà dans la définition de la ligne droite.

Voir SoHÔ.VFLiBs, Beeicht ilber die )Iengenle/ii~s, ap. Jahresbenchl de>' deulscken Matheinaliker-Vereiniquiig, t. VIII, n" 2, p. S4, 98, 102 (1900).

1. Il est même nulle part rfense tlans cet intervalle. On a ainei une correspondance biimirornie entre un etiâeintile continu (ûoTm parloul dense) el un ensemble nulle part dense, de telle sorte qu'ils sont semblables. Une tellecorrespondanceaété découverte par H.ihxack {Math. Annalen, t. 2.Î).

3. Les nombres qui n'ont qu'un nombre fini de chiffres - Mmaux ■ ont deux expressions, dont l'une nu comprend que des zéros à partir d'un certain rang, landis que l'autre ne comprend que des \ à partir du même rang. Pour rendre la correspondance biuniforme, il convient de supprimer une de ces espresslons, par exemple celle qui contient une inflnité de 1, Cette remarque met en évidence la discontinuité métrique de l'ensemble des nombres décimaux correspondants ; car cet ensemble ne contient manifestement aucun point compris entre les 2 points qui correspondent à deux expressions bimales équivalentes, comme par exemple: 0,01111 .... et 0,1000 (c'est-à-dire, dans !e système décimal, entre 0,0^ et 0,1),