CHAPITRE V
La conception traditionnelle desMalhcmatiqucs, i|ui a régné jusqu'au milieu du xix^ siècle, faisait de la grandeur l'objet essentiel de cette science; le nombre lui-même était considéré comme une espèce de j^randeur, la grandeur discrète, par opposition à la grandeur continue. Depuis lors, c'est devenu un dogme universellement accepté, que la Mathématique pure repose entièrement et uniquement sur l'idée de nombre, et même de nombre entier. Or noua avons vu, d'une part, que l'idée d'ordre est un objet de la Mathématique pure, et qu'elle est irréductible à l'idée de nombre, puisque celle-ci (en tant que nombre cardinal) ne contient aucune considération d'ordre; et, d'autre part, que les nombres en tant qu'objets de la Mathématique pure peuvent se réduire à leurs propriétés ordinales, et que le continu lui-même, qui semblait l'attribut caractéristique de la grandeur, peut se déflnir d'une manière purement ordinale. Il semble donc que l'objet essentiel ou principal de la Mathématique pure snit, non plus l'idée de grandeur ni l'idée de nombre, mais plutôt l'idée d'ordre, et que celle-ci oit détrôné les deux autres, qui ont si longtemps occupé le premier rang. Dans tous les cas, il y a un résultat certain, c'est que l'on peut concevoir et délinir le continu sans aucune considération de grandeur : et c'est pour mieux marquer cette indépendance que nous avons traité la notion du continu avant celle de la grandeur. Selon M. Russell, l'idée de grandeur serait iiiLitile et mùme éti-angère a la Mulhématiquii pure, prtrce
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qu'on ne pourrait pas la définir sans quelque appel à l'intuition ; ou du moins, on ne pourrait la définir que par postulats, ce qui ne permettrait pas d'affirmer l'existence de l'objet défini; celte existence ne pourrait être donnée que par l'expérience '. Pour comprendre et apprécier cette thèse paradoxale, il convient d'exposer la théorie de la grandeur de M. Russell,
^ A. ■ — Dl^FlNlTlON Dli LA GSANItEUR.
11 y a d'abord une distinction capitale à établir entre la grandeur et la quantité. La grandeur est la quantité abstraite, la quantité est la grandeur concrète; la première est ce qu'on appelle un état de grandeur, la seconde est l'objet lui-même auquel on attribue cet état. Ces deux notions sont constamment confondues dans le langage et dans l'usage, de même que sont confondus, en général, le sens concret et le sens abstrait d'un même terme ^. Il n'en est que plus utile de ies distinguer soigneusement; et cette distinction a une grande importance théorique. En effet, on congoil fréquemment les ijrandiurs comme pouvant être égales aussi bien qu'inégales (c'est même une des façons banales de définir la grandeur) ; or, au point de vue logique, des grandeurs différentes ne peuvent pas être égales; ce qu'on nomme vulgairement des grandeurs égales, ce sont des quantités égales, c'est-à-dire qui possèdent lamême grandeur. Seul, l'empirisme peut refuser d'admettre que, si deux objets sont égaux, c'est en tant qu'ils représentent et incarnent une même grandeur abstraite. Hais, du moment qu'on admet entre quantités concrètes une relation symétrique
1. Oïl pourrait croire que la même objeclion vaut contre les diverses espèces de nombres que nous avons définies précédemment. Ce serait une erreur, car les déflniUons que r noiiiinaies, et montraient par suit défini. On a vu que c'est préciséi les définitions de cette rorme,
2, La rougeur et une rougeur, la longueur et une Ionique qu'on pourrait dire ; la longueur d'une longueur). Une langv comme l'Espéranto permet de faire celte distinction logi( langues naturelles, parce qu'elle est inconnue du viilgui
cl Lransitive appelée égalité, on peut, en vertu du principe d'abslraclion, la ramener à une identité de relation. Le terme unique auquel toutes les quantités égales seront alors rapportées sera par définition leur grandeur commune, et ainsi leur égalité se réduira à une identité de grandeur.
Cette distinction permet de décider entre deux théories de la grandeur que M. Russell appelle la théorie relativiste et la théorie absolutiste. Dans la théorie relativiste, les grandeurs sont susceptibles des deux relations d'égalité et d'inégalité, ou pins précisément des trois relations : égal à (^, plus grand que (>), plus petit que (<). Cette théorie a besoin pour se constituer des huit axiomes suivants (A, B, C étant des grandeurs d'une môme espèce) :
