VIII.SiA = BetB>G, on a : A > C

De ces axiomes on peut déduire qu'une grandeur peut toujours être substituée à une grandeur égale dans une égalité ou une simple inégalité ', et que l'on a : A:= A pour n'importe quelle grandeur A. Cela fait présumer que l'égalité de grandeur n'est en réalité qu'une identité, et c'est ce que le principe d'abslraclion permet d'afflrmer. Le bon sens confirme cette conclusion : il est raisonnable d'admettre que les grandeurs égaies ont en commun quelque chose de plus que les autres grandeurs de la même espèce, qui leur sont inégales; et il est

1. On sait que celte propriété (possibilité de substitutioa) était pour Leibniz la définitioa de l'égalité logique ou identité : • Eadera sunt, quorum uiium in alterius locum substitui potest salva veritate. • (Phil. Sc/trifien, t. VII, p. 219.) Mais le principe de ta siibsiUulion des équivalents

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paradoxal de soutenir que deux grandeurs égales ne diffèrent de deux grandeurs inégales que par le fait m^me de ia relation extrinsèque qui les unit : égalité pour les premières, inégalité pour les secondes. Leibniz eût dit que c'est contraire au principe de raison, suivant lequel toutes les relations d'un objet doivent avoir leur fondement dans ses propriétés intrinsèques. Mars ce principe de raison est trop général et trop vague, et il est remplacé avec avantage par le principe d'abstraction '.

La théorie absolutiste doit donc être préférée, d'autant plus que, comme on va le voir, elle repose sur des principes plus simples et réalise une notable économie de postulats. Dans celte théorie, répétons-le, deux grandeurs ne peuvent pas être égales, ou alors elles sont identiques (cette thèse est parfaitement conforme à la thèse analogue en Arithmétique, suivant laquelle il n'y a pas de nombres égaux, mais bien le même nombre incarné dans des collections différentes)^. Par conséquents, deux grandeurs différentes sont nécessairement inégales; et cette relation d'inégalité sert à caractériser les grandeurs d'une même espèce : deux grandeurs sont de même espèce, quand l'une peut être dite plus grande ou plus petite que l'autre. Les axiomes nécessaires pour constituer cette théorie sont au nombre de quatre seulement, à savoir :

ï. Aucune grandeur n'est plus grande ou plus petite qu'elle-

II. De deux grandeurs A, B dilî'érentes), ou bien A > lî, ou bien A < B.

m. Si A > B, on a : B < A.