IV. Si A > B et B > G, on a : A > C

On voit à quoi tient la plus grande simplicité de ce système ; c'est que tous les axiomes relatifs à l'égalité eu ont disparu, et cela se comprend, puisque dans cette théorie l'égalité n'est

1. En vertu de cepnncipe, une grandeur est (au point de vue de l'extension) une classe de quantités égales, et (au point de vue de la compréhension) l'état commun de toutes ces quantités (leur qualité commune).

2. Cf. HÔLDEB, die Axiome dei Quaiihtût und die Lehie mm Hass, p. 4, note 1; ap. Berichte der knn siichi Ge elLiha/t dei ni'atnicha/'len zu Leipzig, math.-phvs Classe, t 53 (ISOI)

pas une relalioa originale et indéfinissable, mais simplement l'égalité logique ou idenUtè '. Quant à l'inégalité, seule notion indéfinissable de cette théorie, elle se Irouve définie implicitement par ses propriétés : c'est une relation asymétrique transitive (en vertu des axiomes III et IV).

Nous avons défini en passant ce qu'on appelle une espèce de grandeurs, en disant que deux grandeurs sont de même espèce, si l'une est plus grande que fautre. C'est là une définition par abstraction qui est insuffisante. Mais, toujours en vertu du principe d'abstraction, il doit exister un terme commun auquel toutes les grandeurs d'une même espèce sont rapportées, et c'est leur relation h ce terme qui permet de dire qu'elles sont de cette espèce particulière. C'est là un nouvel axiome de la présente théorie. La relation d'une grandeur particulière à son espèce est la relation d'un individu à une classe à laquelle il appartient, ou (en compréhension) au concept aous lequel on peut le subsumer ''. Toutes les espèces de grandeur, à leur tour, peuvent être sabsumées sous le concept général de grandeur, et sont des individus de la classe grandeur. Celle-ci est donc une classe du second ordre (une classe de classes) par rapport aux grandeurs particulières,

II reste à formuler un dernier axiome, qu'on peut appeler le principe des indiscernables appliqué aux grandeurs. Il peut s'énoncer ainsi : « Deux grandeurs (différentes) de même espèce ne peuvent coexister dans les mêmes relations entre les mêmes termes ». Autrement dit, puisque les grandeurs concrétisées dans l'espace et dans le temps se nomment des quantités, une même quantité ne peut correspondre h deux grandeurs différentes de la même espèce; ou encore, la relation d'une quantité à la grandeur correspondante est uniforme -. chaque quantité détermine d'une manière onivoque la grandeur cor-

1. C'est ce qui juslilie l'emploi du même signe (^ pour les deux égalités. Cr. p. 40, note 4.

2. C'est en ce sens qu'il faut inlerpréter les locutions comme : une grandeur de plaiùi: Il n'y a pas là deux objets, un plaisir et une grandeur, mais un seul objet, à savoir un plaisir qui est une grandeur de l'espèce plaisir (Rcsselt., op. cit., g 163).

DËFINiTlON DF, LA GBANDECR 103

rcspondante, et cela se comprend, puisque celle grandeur est tirée par abatraclion de celle quantité.

La théorie que nous venons d'exposer esl très générale : elle porte sur toutes les espèces de grandeurs, aussi bien intensives qu'extensives, par le fait même qu'elle n'implique entre les grandeurs de même espèce qu'une seule relation, celle d'inégalité. Or, comme le remarque M, Rcssëll, on considère habituellement les grandeurs comme caractérisées par deux propriétés : l'inégaHlé d'une part, et la divisibilité d'autre part. De ces deux propriétés, l'inégalité est la plus générale, car ce qui distingue les grandeurs intensives des extensives, c'est justement qu'elles soutiennent entre elles des relations d'inégalité sans être divisibles, sans que les plus grandes puissent être conçues comme contenant les plus petites ou comme composées par l'addition des plus petites (que l'on pense, par exemple, aux degrés de température) '. On pourrait définir les grandeurs intensives i celles qui sont susceptibles d'inégalité, mais non d'addilion; et les grandeurs extensives : celles qui sont susceptibles à la fois d'inégalité et d'addilion. Or, tandis que dans les grandeurs intensives la relation d'inégalité est nécessairement prise comme indéfinissable, dans les grandeurs extensives elle peut se définir au moyen de l'addition. On peut donc faire une théorie différente et spéciale pour les grandeurs extensives, qui sont les grandeurs proprement mathématiques. C'est cette théorie que nous allons maintenant exposer^.

i. Rigoureusemenl pariant, od doit dire, avec M. Russell (op. cit., % 162), qu'aucune grandeur n'est divisible ; chaque grandeur est un tout unique. Quand on dit qu'une grandeur est divisible, on veul liire qu'elle est égale à la somme de plusienrs grandeurs de la même espèce. La divisibilité revient donc au fond à 1' > addibilité ■.

2. D'après les travaux de ii. Bubau-Forti ; Formulaire de Malkémaliques, t. I, ch. IV : Théorie des grandeurs (1895) [il esl & remarquer que celte théorie est absente des éditiona ultérieure du Fofmulmre\; Les propriétés formelles des opérations algébriques, ap. Revue de Mathématiques., t. VI, p. 141-177 (1900); Sulla Teoria générale délie Grandesze e dei Nmneri, ap. Alii delta B. Aceademia délie Scienze di Torino, t. XXXfX (1904).

g B, — TnÉOBIE DES (iRAiVriEURS KXTENSIVES.

On considère une classe G, et une opération qui, effectuée sur deux éléments de cette classe, produit un élément de cette classe (identique ou non à l'un des deux premiers). Pour élucider cette notion d'opération, il suffit de dire qu'une opération binaire (comme celle dont il est question ici) est une relation ternaire qui k deux éléments de la classe fait correspondre un élément de la même classe. Bien entendu, ce dernier élément, appelé résullat de l'opération, est déterminé d'une manière univoque, c'est-à-dire qu'il est unique pour chaque couple d'éléments donnés. On dit alors que la classe G est une classe homogène par rapport à l'opération considérée. Kous pourrions continuer à raisonner in abstraclo sur cette opération et sur ses propriétés formelles, en la représentant par un symbole spécial ' ; mais, pour simplifier les écritures et les énoncés, et rendre la lecture plus facile, nous appellerons cette opération addition, son résultat somme, et nous représenterons la somme des deux grandeurs a et ^ par le symbole connu a-f-6. Seulement il ne faut pas oublier qu'il s'agit de grandeurs, et non de nombres, et que l'opération-h, bien distincte de l'addition arithmétique, est uniquement définie par les propriétés formelles que nous allons énoncer. Notre exposition gagnera ainsi en clarté ce qu'elle perdra en généralité et en pureté théorique.

On peut étendre le sens et l'usage du symbole H-, en le faisant porter, non plus sur des individus ou éléments, mais sur des classes. Soient w, v deux classes de grandeurs G; (ii + v) représentera ta classe des grandeurs obtenues eu additionnant une quelconque des grandeurs ii et une quelconque des grandeurs V. En particulier, si a est une grandeur individuelle, (a + u) désignera l'ensemble des sommes de a et des diverses grandeurs v; et («-!-«), l'ensemble des diverses grandeurs m

•A- des ouvrages eilés, que