THEORIE DES GRANDEURS ESTEKSIVES

et de a. En outre, jusqu'à preuve du contraire, on doit, supposer que les « sommandes » ont un ordre délerminé et ne peuvent pas être échangés; autrement dit, que la somme de a et de 6 peut n'être pas égale (identique) à la somme de b et de a. Cela est évident, étant donnée l'indétermination formeiie de l'opération en question, qui peut n'être pas symétrique.

On définit alors dans la classe G Vêlement nul (ou les éléments nuls) par rapport à l'opération -+-; nous le représenterons par (par analogie avec le nombre 0, dont la grandeur nulle est néanmoins bien distincte). Voici cette définition ;

" Zéro est une grandeurs telle que la somme de x et d'une grandeur quelconque y est égale à y. » C'est, comme on dit, le module de l'addition. Il importe de remarquer que cette définition, comme toute définition, n'implique ni l'existence ni l'unicité de l'objet défini; cette existence et cette unicité devront être la matière de propositions spéciales (postulats ou théorèmes). Pour le moment, est défini comme une classe qui peut être nulle (vide) eu qui peut contenir plusieurs éléments.

On définit ensuite la relation d'inégalité entre les grandeurs de la classe G, et cela, comme nous l'avons annoncé, au moyen de l'addition. Plus exactement, on définit d'emblée la classe des éléments inférieurs à un élément donné a. que l'on représente par 6(ï (« plus petit que a ») :

aiG.o.l>a — G^X7[ui3;-h (G-0). ^. a e (G-0) -+- x,

« a étant une grandeur de la classe G, 6« est l'ensemble des grandeurs w de la classe G telles que a est la somme de x et d'une grandeur G non nulle'. » Comme la notion de somme, la notion plus petit que s'étend d'un individu à une classe quelconque. Soit u une classe de grandeurs G : ^u représentera

I. Cette somme doit être entendue dans un sens quelconque, afin de ne pas impliquer la loi commuiative. Cette formule a été corrigée en conaéquence par M. Bl'hali-Korti lui-même, d'après M. Humtinoton : A complète set of postulâtes for the ïheory of absolute continuons magnitude, op. Transactions of ihe Americim Matkematical Sooieiy (1902).

106 L'iDlie DE GRAKDEUR

la classe des grandeurs plus petites qu'une quelconque des grandeurs u. Comme les autres, cette définition est susceptible d'une expression formelle :

u -. Gls'G . o . 0» = a^ 3 [a « - y s (x s 9»/)] Br

(i 11 étant une classe de G, <iu est l'ensemble des x plus petits que quelque élément y de la classe w '. <>

Bien entendu, la relation n'est définie que par rapport à l'opération désignée par -t- et dans ta classe G. Si la classe G est celle des nombres réels positifs, et si l'opération -+- désigne leur addition, bx désigne les nombres plus petits que x. Mais si la classe G est celle des nombres entiers, et si l'opération x est la multiplication, ^x désignera les sous-multiples de x; et si l'opération + est la division, Oa; désignera les multiples de x. Cela montre la généralité formelle de ces définitions, que la particularité de nos signes ne doit jamais faire oublier.

Enfin on définit une classe limitée de grandeurs G de la manière suivante :

Gis lim' G = CIs' G o « 3 [gi! . 51 G-Ûw] Df

'< Une classe limitée de G est une classe de G, u, telle qu'il y a des M, et qu'il existe des grandeurs G non inférieures à un « quelconque. » Quand on aura prouvé que « non inférieur à » équivaut à « supérieur ou égal à », on pourra dire qu'une classe limitée de G est une classe non nulle telle qu'il y a des grandeurs G égales ou supérieures à un w quelconque.

Cela posé, voici comment on définit !a notion de grandeur, ou, plus exactement, d'une espèce de grandeurs :

Une espèce de grandeurs est une classe G homogène par rapport à une certaine opération +, et qui vérifie les huit postulats suivants :

i. Il est iniiUle de spécifler que ces 3: sont des G, car celle condition est impliquée dans la définition de 0, et par suite dans la proposition r 3! E Èa, joiute à l'hypothèse : u G.

THEOIUE DES GRANDEURS EXTEXSIVES 107

<■< Si l'on a, entre grandeurs G, l'égalitc : £-\-z^:y-\-:, on a aussi i'égalitc : x^y'. n