VIII. u È CIs iim' G . o„ . [.[G r.x^{ltx = Oh

« Si !( est une classe limitée de G, il y a une grandeur x telle que i)x^z!iu, c'est-à-dire que l'ensemble des grandeurs plus petites que x est égal (identique) à l'ensemble des grandeurs plus petites qu'un u quelconque. » Ce dernier postulat affirme l'existence d'une limite supérieure x pour toute classe limitée de grandeurs G (et par suite aussi l'existence d'une limite iuférieure pour toute classe de grandeurs G non nulles). Comme nous le savons déjà, ce postulat équivaut à afflrmer la continuité de l'ensemble des grandeurs G '.

On peut prouver que ces huit postulats sont absolument indépendants les uns des autres, c'est-à-dire qu'aucun d'eux n'est une conséquence logique des autres, ou que chacun d'eux peut être faux alors que tous les autres sont vrais, ce qui est la forme la plus parfaite d'un système de postulats.

On a vu que le postulat II affirme l'existence d'une grandeur nulle. On démontre aisément, au moyen du postulat I, que cette grandeur nulle est unique. Alors, mais alors seulement, on peut parler de la grandeur nulle comme d'un individu.

De l'ensemble des huit postulais énoncés on peut déduire toutes les propriétés d'une classe de grandeurs absolues, y compris zéro ^. On définit l'inégalité (comme relation de deux grandeurs) de la manière suivante ;

x,^/tG.^:x<y. — .x^<)il Df

1. Jl importa de remarquer que la continuité est un aîlribiit, non d'nne grandeur particulière, mais d'un ensemble de grandeurs. Quand on dit qu'une grandeur particulière est continue, on veut dire qu'elle appartient à un ensemble continu, ou tout au moins que Ua grandeurs de la même espèce et plus petites qu'elle forment un ensemble continu.

2. Les six postulats de M. Hustisoton (op. cit.] ne perlent que sur un sjslème de grandeurs absolues différentes de zéro, de sorte qu'on est obligé de lui adjoindre ensuite la grandeur nulle. Dans son mémoire Les propriétés formelles... (comme dans le Formulaire, t. 1), M. Bubali- FoBTi a eu le soin d'indiquer pour chaque théorème les postulats dont il dépend, ce qui permet de constater d'un coup d'ujil la portée dèduclive de chaque postulat.

THKOftlË IlES GRAMJEUKS EXTËNSIVES 109

c'est-à-dire, en vertu de 3a définilion de ^ :

u Dire que x est plus petit que y, c'est dire que ;/ est la somme de x et d'une grandeur non nulle. » On pose naturellement :

œ, y i G . o : X > ij . ^ . y < X Df

« Dire que x eal plus grand que y, c'est dire que ;/ est plus petit que x. »

On dÉmontre alors que la relation < est transitive, c'est-àdire :

et qu'il y a disjonction complète entre les 3 alternatives' :

Enlin on définit la différence de deux grandeurs comme suit : «>6.o.a— 6 = G-a73{6 + a^=:a) Df

« Si a est égale ou supérieure à ^, la différence (a — b) est une grandeur x telle qne ii -\~ x := a » \ et l'on démontre que la grandeur ainsi définie existe et qu'elle est unique.

Dans celte théorie des grandeurs on n'a pas jusqu'ici fait appel k la notion de nombre. Celte notion s'introduit nécessairement dès que l'on conçoit les grandeurs multiples d'une même grandeur. M. Buralc-Forti emploie même la considération des grandeurs multiples pour obtenir une définition nominale des nombres entiers. 11 délinit les multiples d'une même grandeur comme les sommes obtenues en ajoutant successivement cette grandeur à elle-même ; cette définition nominale n'implique pas l'idée de nombre, mais bien la loi d'induction complète. Puis il définit les nombres entiers comme les opérations par lesquelles on obtient les multiples d'une grandeur donnée en partant de cette grandeur^. Nous n'adop-

1. Le postulat VI énonce ces trois allecnalives, mais n'affirme pas qu'elles sont disjointes, c'est-à-dire exclusives les unes des autres.

2. Voir son mémoire sur Les propriétés formelles des opérations aîné-

110 l'idée de grandeur

tons pas cette défiaition, bien qu'elle soit logiquement correcte, parce qu'elle nous parait détournée et inutilement compliquée. En effet, elle fait dériver l'idée de nombre de l'idée de grandeur, alors qu'on peut obtenir, on l'a vu, une définition nominale du nombre indépendamment de la notion de grandeur. En outre, elle exige qu'on démontre que l'ensemble d'opérations ainsi défini est le même pour toutes les suites de grandeurs multiples (de même espèce ou d'espèce différente), sans quoi l'on aurait autant de systèmes de nombres qu'il y a de grandeurs différentes, et non l'ensemble unique des nombres entiers. Enfin cette définition ne permet pas d'établir l'existence des nombres ainsi détinis, attendu que, comme nous le disons plus loin, Vexistence des grandeurs elles-mêmes n'est pas logiquement établie, ou ne peut l'être qu'au moyen de l'existence des nombres mêmes; tandis que la définition nominale des nombres entiers que nous avons donnée (d'après M. Russell) permet d'établir leur existence. Pour toutes ces raisons, nous pouvons admettrd la notion de nombre comme indépendante de celle de grandeur, et introduire sans scrupule les nombres dans la théorie des grandeurs ^

Nous définirons donc directement les grandeurs multiples d'une même grandeur a en disant que ce sont les sommes de 1, 2,3,... «...quantités égales à «{^). Plus rigoureusement, nous

lémoîre Sur les diverses définitions du nombre s de Philosophie, t. 111. Une théorie analogue des nomores, lonaee sur la considération des grandeurs, se trouvait déjà dans Bettaïzi, Teoi-ïa délie Grandexie, ouvrage couronné par l'Académie des Lincei (Pisa, 1890]. Cet ouvrage contient d'ailleurs, en Appendice, une théorie analytique du nombre, indépendante de l'idée de gran-

1. D'ailleurs, M, Bobali-Foeti lui-même, dans son mémoîi'e Le classi finite (Atti deW Aceademia délie Science di Torino, 1896) a montré qu'on peut définir le nombre entier (cardinal) sans faire appel aux notions de grandeur ni d'ordre, au moyen des seules notions de classe et de correspondance (comme dans la théorie (|ue nous avons esposée précédemment), il est vrai qu'il n'obtenait ainsi qu'une définition par abstraction, et non une déflnilion nominale.

2. Nous disons ' quantités égales ", car il n'y a pas, dans notre théorie, de " grandeurs égaies ", chaque grandeur étant unique. PUis exactement, une «randeur double d'une antre est la grandeur de la qiiantilé obtenue en additionnant deux quantités égales h. cette autre. De même que l'addi-