THÉORIE DES GRANDEURS EXTENSIVES

définirons le n" multiple (le n-uple) de a par induclion complète, en posant :

Ces deux formules suffisent à définir l'expression na pour toutes les valeurs entières de n, c'est-à-dire pour l'Infinité des nombres entiers '. Cette expression n'est pas à proprement parler un produit, car elle est hétérogène : «est une grandeur, tandis que n est un nombre, un « coefficient », qui indique combien de quantités égales à a on doit additionner. En un mot, c'est une somme abrégée.

Nous pouvons supposer définies les opérations sur les nombres entiers, et démontrées leurs propriétés essentielles, notamment les lois associatives et commutalives de l'addition et de la multiplication arithmétiques. Il convient de rappeler que pour l'addition des grandeurs on a postulé la loi associative, mais que la loi commutative n'est pas encore établie.

On démontre alors les théorèmes suivants (où a désigne toujours une grandeur, et wi, n des nombres entiersj ^ :

ma -l- na = »a -+- ma

leiix dertiiei'a théorèmes signiftent que deux quLinlitéa

j nombres se clérmit par l'atlâilion des classes correspouflanles, iii des grandeurs (et par suite leur multiplication par des nombres) 1 de l'addition des quantilés correspondantes. Cela

explique comment une grande

:ur peut être multiple d'une autre, et néan-

moins îniliTiBible, comme noi

us le soutenons avec M. Russell (v. Russell,

op. cit., % 166, p. ns).

1 Cf Hi-Mnoiiv op il

2 Cf HoiDKB, lûc e<( , M

3 II importe de remarquer

C[ue les deux signes + n'ont pas le même

spos celui du 1" membre i

Ddiqiie une somme de grandeurs, celui du

2' membre une somme de ne

unijtes Ce théorème «ignifle que l'addition

des grandeur- multiples d un

" mem' !,randpur correspond à Taddilion

dL leuih codlicienls

multiples d'une même grandeur sont égales quand leurs coeflîcients sont égaux, et alors seulement; et que leur inégalité est de même sens que rinégalite de leurs coefficients- La seconde des formules ci-dessus esprime la loi commutative de l'addition pour les multiples d'une même grandew\ De là on peut déduire, en vertu des postulats de la grandeur, la loi commutative pour Taddition de deux grandeurs quelconques '. Les huit postulats permettent de démontrer deux propositions qui oui été souvent prises pour axiomes. L'une d'elles est ce qu'on appelle Vaxiome d'Arckimède; elle se formule comme suit :

rt,è.G-0.o.gN-H3(«a>6)

« a et é étant des grandeurs non nulles, il y a un nombre entier » tel que na est plus grande que b. »

L'autre proposition est ce qu'on appelle Vaxiome de la divisibilité; elle se formule comme suit :

a,G.n^N,.o.-^Gr,x-3{nx = a)

V Étant donnée une grandeur « et un nombre entier non nul H, il existe une grandeur x telle que iix égale a. « Cette grandeur X (dont on démontre l'unicité) s'appelle le n' sous-multiple (ou simplement le «') de a. La proposition précédente affirme donc l'existence des sous-multip!es de tout ordre pour chaque grandeur de l'espèce de G. C'est ce qu'on appelle vulgairement la divisibilité indéfinie de la grandeur, 11 est d'ailleurs inutile de discuter si cette divisibilité doit être dite indéfinie ou infinie: ce qui est sûr, c'est que l'axiome de la divisibilité implique l'existence d'un nombre infini de sousmultiples pour chaque grandeur, puisque ces sous-multiples correspondent à tous les nombres entiers ^.

i. HuMIKaTOK, op. cit.

2. Ce théorème de la divisibilité ne contredji nullement la thÈse philosophique selon laquelle chaque grandeur est indivisible, c'est-à-dire une et simple. Dire qu'une grandeur est divisible, c'est aflirmer qu'il existe des grandeurs de même espace qui en sont dos sous-multiples, mais non qu'elle les contienne réellement ou en soit réellement composée; c'est afiirmer nue relation entre des grandcji's dont chacune peut Être une et simple.

yGoosle

THEORIE DES GnANDEUtSS

On peut maintenant se demander quelle est la portée exacte de cette théorie de la grandeur. On a là une définition par postulats, qui a été transformée en une définition nominale. Au lieu de dire : « Une classe G est une classe de grandeurs homogènes par rapport à l'opération +, quand cette opération efTectuée sur deux de ses éléments produit un de ses éléments », et d'ajouter que celte classe vérifie les postulats I-VIIl. on dit à présent : i< Une classe de grandeurs homogènes est une classe G dans laquelle on peut effectuer l'opération -I-, et (|ui en outre vérifie les postulats l-VIII ». [l semble qu'il n'y ait guère là qu'un changement de forme, qui sans doute conslitue nn notable progrès logique, mais qui ne change rien à la nature de l'idée définie. Dans tous les cas, la définition nominale, pas plus que la définition par postulats, ne permet d'affirmer l'existence (et encore moins l'unicité) de l'objet défini. On peut bien dire : " J'appelle espèce de grandeurs une classe qui possède telles ou telles propriétés», mais rien ne nous assure qu'il existe une espèce de grandeurs, c'est-à-dire une classe possédant ces propriétés. Ou du moins on n'en connaît qu'une : et c'est précisément la classe des nombres réels. Ainsi la seule espèce de grandeurs que l'on connaisse, en Mathématique pure, n'est pas autre que l'ensemble des nombres réels. Et ce qui confirme cette assertion, c'est que, pour démontrer l'indépendance mutuelle des huit postulats, on ne peut recourir qu'à des exemples empruntés à l'ensemble des nombres réels. L'existence des grandeurs n'est donc garantie que par l'existence des nombres réels; et c'est, on le sait, la principale raison pour laquelle nous n'avons pa-5 voulu faire reposer la notion de nombre sur celle de grandeur, bien qu'elle y rentre comme cas particulier, et que les nombres puissent et doivent être considérés comme une espèce de grandeurs.

D'autre part, rien ne dit que l'objet défini soit unique, c'est-à-dire qu'il n'y ait qu'une espèce de grandeurs; et le contraire est même avéré : il y a diverses espèces de grandeurs qui correspondent exactement à la même définition et qui

CoUTUPAT. — Les principes des raathématJquas. 8

ni l'idée de grandeur

concordent par toutes leurs propriétés. Est-ce ïi dire que la définition de la grandeur soit équîvoquo? Nullement, cela signifie qu'elle ne définit pas les espèces concrètes de grandeurs, mais l'idée abstraite et générale de grandeur. Or, si l'on applique le principe d'abstraction à ce cas, et si l'on cherche ce qu'il y a de commun k toutes les espèces de grandeurs (jui vérifient cette définition, on ne trouve que ceci : qu'elles correspondent toules à l'ensemble des nombres réels. C'est cet ensemble qui représente leurs propriétés formelles et qui est en quelque sorte leur portrait commun, leur schème générique. Dès lors, on comprend que le nombre réel soit le type de la grandeur, et que toutes les autres espèces de grandeurs puissent se ramener à celle-là, dès qu'on les réduit à leurs propriétés abstraites et formelles.

Tout cela explique comment on a pu, dans le Formulaire de Mathématiques, supprimer la théorie des grandeurs ; c'est la théorie des nombres réels qui la représente et la remplace. Plus généralement, cela explique que la plupart des mathématiciens identifient les deux concepts « grandeur » et « nombre réel », et réduisent la Mathématique à la science dn nombre (du nombre généralisé, il est vrai). En tout cas, cela semble prouver que {comme le soutient M. Russbll) l'idée de grandeur est étrangère à la Mathématique pure, non pas qu'on ne puisse en donner une définition nominale et purement logique (H. BuRALi-FuBTi a prouvé le contraire), mais parce qu'on ne peut connaître que par l'expérience (ou l'intuition) l'existence de telle ou telle espèce de grandeurs. On peut bien dire, in aèslraclo : « J'appelle espèce de grandeurs toute classe d'objets qui vérifiera tels et tels postulats », mais, pour avoir des grandeurs concrètes, il faut qu'une telle classe d'objets soit donnée dans l'expérience, comme par exemple des longueurs ou des poids. On conçoit nettement la différence qu'il y a entre l'idée de nombre, construite entièrement par l'esprit, et l'idée de grandeur, qui implique un élément empirique, une donnée concrète. C'est pour cela, du reste, qu'il n'y a qu'un ensemble de nombres (réels), tandis qu'il y a plusieurs espèces de grandeurs.

i GRANDEUIIS EXTEKSIVES US

H n'en est pas moins vrai que l'on peut logiquement définir les nombres entiers, puis les nombres rationnels, et enfin les nombres réels, par l'intermédiaire des grandeurs. Et alors se pose une question qui dépasse le ressort de la Logique, et qui est proprement épiatémologique : Laquelle de ces deux notions, nombre et grandeur, est le fondement de l'autre? Il ne s'agit pas ici d'une question psychologique d'origine ou d'antériorité chronologique : l'ordre Ingique des notions peut être différent ou même inverse de leur ordre historique ; à plus forte raison leur ordre rationnel. La question est exactement celle-ci : on peut, logiquement, définir le nombre par la grandeur ou la grandeur par le nombre; laquelle de ces deux méthodes est la plus rationnelle, c'est-à-dire laquelle de ces deux idées est la raison d'être de l'autre?

La réponse à cette question est moins simple et moins tranchée qu'on ne pourrait le croire d'après son énoncé- Pour le dire tout de suite, elle nous paraît être la suivante ; L'idée de nombre entier (cardinal) est indépendante de l'idée de grandeur; mais les autres espèces de nombres {les nombres généralisés) procèdent de l'idée de grandeur.

Le premier point nous semble établi par tout ce qui précède. Nous avons pu définir le nombre entier, comme nombre cardinal, au moyen de la seule notion de classe ou de collection, sans avoir à faire appel aux propriétés de ces classes spéciales qu'on nomme des espèces de grandeurs. O'esl comme nombre cardinal que nous avons introduit l'idée de nombre dans la théorie des grandeurs (par la définition des multiples). Au contraire, la définition des nombres entiers au moyen des grandeurs, comme coefficients, ou plutôt comme numéros d'ordre des multiples d'une même grandeur, nous a paru détournée et compliquée. Ajoutons qu'elle est beaucoup trop particulière et spéciale; car le nombre cardinal s'applique à bien d'autres objets qu'aux grandeurs. Une fois défini le nombre cardinal pour une classe quelconque, il est aisé de l'appliquer à «ne classe de grandeurs; mais il est beaucoup

116 L'IDEE DE GIIANDEUR

plus difficile, quand on l'a dcfloi dans une classe de grandeurs, de l'étendre à toute espèce de classes; en tout cas, cela n'est pas naturel ou plutôt rationnel. Enfin, quand on délïnit les nombres entiers au moyen des grandeurs, l'unicité de leur ensemble n'apparait pas d'abord et demande une démonstration assez pénible, fondée sur la correspondance biunivoque de toutes les suites de grandeurs multiples; c'est en somme une application du principe d'abstraction : la suite des nombres entiers est ce qu'il y a de commun à toutes les suites de grandeurs multiples. Au contraire, la définition logique du nombre entier (comme nombre cardinal] en établit immédiatement l'unicité.

Mais la thèse que nous venons de soutenir pour les nombres entiers, à savoir qu'ils sont indépendants de la notion de grandeur, ne nous parait plus soutenable pour les autres espèces de nombres. Encore une fois, il ne s'agit plus ici de Logique, et les arguments logiques pour et contre cette thèse se neutralisent, ou plutôt ne portent pas. Il est bien vrai que l'on peut définir formellement les nombres rationnels comme relations {rapports) entre les nombres entiers : mais c'est qu'alors on considère les nombres entiers comme une espèce de grandeurs; et ce qui le prouve, c'est que ces mêmes rapports se retrouvent dans toutes les autres espèces de grandeurs. La fraction m/n n'est pas seulement le rapport du nombre m au nombre ii, mais encore le rapport de deux grandeurs X el y d'une espèce quelconque, dès qu'il existe une grandeur z de même espèce telle qu'on ait : x=:mz, y^nz, ou, plus simplement, dés qu'on a entre ces deux grandeurs la relation : nx=my. C'est bien là. ce qu'on entend lorsqu'on dit que a; est les m/n" de y; et c'est en ce sens que le nombre m lui-même est les m/n" du nombre n. Le symbole vi/n est donc en réalité le symbole d'une opération à effectuer sur la grandeur y pour obtenir la grandeur x. Ainsi se justifie la conception (de MM. Méraï et Burali-Forti) des nombres rationnels comme opérations, c'est-à-dire en définitive {suivant M. Russbll) comme relations, non seulement entre les nombres