THKOIUI-: DES GRANDEURS EXTENSIVES

entiers, mais entre les grandeurs d'une espèce quelconque'. Les mêmes considérations s'appliquent aux nombres réels, quand ce ne serait que pour cette raison bien simple, que, de quelque façon qu'on les définisse, on ne peut les définir qu'an moyen des nombres rationnels. Si donc on croit devoir regarder ceux-ci comme des opérations sur les grandeurs ou comme des relations entre grandeurs, on devra nécessairement attribuer la môme nature aux nombres réels. Cela sera évidemment vrai si l'on conçoit, avec M. Russiîll, les nombres réels comme de simples ensembles de nombres rationnels. Mais cela sera encore plus vrai si on les conçoit, avec MM. Peano et BuRALi-PûHTi, comme des limites supérieures de ces mêmes ensembles. En effet, Texistence de ces limites supérieures résulte uniquement du postulat de la continuité. Or c'est là un postulat de la définition de la grandeur, et non pas un postulat du nombre. H n'y a donc aucune raison, dans le domaine du nombre, pour y introduire des nombres irrationnels, tandis qu'il y a une raison, dans la théorie des grandeurs, pour admettre ces mêmes nombres comme représentant les rapports des grandeurs incommensurables, dont !e postulat de la continuité afiirme ou implique l'existence. 11 convient doue de concevoir les nombres irrationnels, eux aussi, et en général les nombres réels, comme des opérations sur les grandeurs, ou comme des relations un ^'ap'porls enlre des grandeurs de même espèce-.

1. C'est la thèse soutenue par JI. Fheoe dans ses Grundgesetze der Aritkmetik, l. II (1903), à savoir que les nombres réels sont des rapports de grandeur. C'était déjà, nous l'avons dit, la conception de Newtos.

2. Une remarque intéressante a été faite par M, Bubali-Fomi {Sulla teoTia générale délie grandexze, p. 15, note) ; les nombres entiers vérifient les 4 premiers postulats de la définition des grandeurs; les nombres rationnels vérifient en outre les postulats V et VI et l'axiome do divisibilité; enfin le-! nombres réels vérifient en outre l'axiome de continuité. Ain.'i la généralisatioa du nombre s'effectue par des étapes successives qui consistent â attribuer progressivement nu nombre les propriétés de la

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g C. — La mesl'he des grandeurs.

Les considérations précédentes nous amènent à étiidief ce qu'on appelle la mesure des grandeurs, et à en préciser les conditions. En effet, la mesure des grandeurs consiste à établir entre les grandeurs d'une même espèce et les nombres une relation telle que l'on puisse substituer ceux-ci à celles-là. Plus exactement, mesurer une espèce de grandeurs ', c'est établir entre cette espèce de grandeurs et l'ensemble des nombres réels une correspondance biunivoque telle, qu'à la somme de deux grandeurs quelconques corresponde la somme des deux nombres correspondants. Bien entendu, le mot somme est pris ici dans deux sens différents : la première fois il désigne l'addition spéciale aux grandeurs considérées, la seconde fois il désigne l'addition arithmétique. Il n'y a donc aucune nécessité à ce qu'à la somme des grandeurs corresponde la somme des nombres: il n'y a là qu'une raison de commodité et de convenance.

Pour mieux comprendre cette raison, il convient do faire appel à une idée plus générale que celle de mesure, à la notion de proporliomialilé. Étant donnés deux ensembles de grandeurs (de môme espèce dans chaque ensemble, mais non pas nécessairement de l'un à l'autre ensemble), on dit que ces ensembles sont proportionnels ^, s'il y a entre eux une correspondance biunivoque telle, que le rapport de deux grandeurs quelconques de l'un soit égal au rapport des deux grandeurs correspondantes de l'autre. On sait, d'après ce qui précède, ce qu'il faut entendre par rapport de deux grandeurs A et B (prises dans cet ordre) ou rapport de A àB : c'est le nombre (rationnel ou irrationnel) par lequel on doit " multiplier » B pour obtenir A"; autrement dit, l'opération par laquelle on

1. On remarquera que l'expression mesin'er est appliquée, non â une grandeur en particulier, mais à toutes les grandeurs d'une même espèce.

2, On remarquera que l'épîthète proportionnel est appliquée, non aux grandeurs particulières, mais au.'; deux ensembles.

S. Nous mettons muttipliei- entre guEliemels, pour rappeler que c'est 11 un sens spécial et symbolique du mol multiplier.