LA MESURE DES GRAKDEUHS

peut construire A en parlant de B, En un mot, la proportionnalité consiste dans l'égalité des rapports entre grandeurs correspondantes des deux ensembles (lesquelles peuvent être respectivement d'espèces différentes). Or, pour que deux ensembles de grandeurs soient proportionnels, il faut et il suffit qu'à la somme de deux grandeurs quelconques de l'un corresponde la somme des grandeurs correspondantes de l'autre. C'est là un théorème assez important pour que nous en rappelions ici la démonstration ',

1° La condition est nécessaire. Supposons que les deux ensembles soient proportionnels; soient A, B deux grandeurs du premier ensemble, C leur somme, et A', B', C les grandeurs correspondantes du second ensemble. On a par hypothèse ; A-l-B = C; donc :

s du calcul des rapports. Mais on a, par hypo-

Donc on a aussi :

c'est-à-dire :

ce qui prouve que la somme de A' et de B' correspond à la somme de A et de B.

2° La condition est suffisante. Supposons en effet r]u'elle soit

1. V. NiEWENGLowsKi et GÉBAKB, Cours de Géomélrie élémentaire, t. I, Note I : Sur la mesure dea grandeurs, g 360 (C. Naud, 139S). Les énoncés classiques ajoutent cttte condition, qu'à des grandeurs égales correspondent des grandeurs égales. Mais cette condition est inutile, du moment que l'on n'admet pas de grandeurs égales, mais des quantUéB égales correspondant à une grandeur identique. De même, on ajoute partoia cette condition, qu'à des grandeurs inégales doivent correspondre des grandeurs dont l'inégalité ait le même sens. Mais celte condition est superllue, car elle est impliquée dans la condition relative à la somme, du moment que l'inégalité (avec son sens) est définie au moyen de l'addition.

i20 L'IDEE DE GHANDEDR

vérifiée par les deux ensembles. Puisque à la somme de deux (ou plusieurs) grandeurs de l'un correspond la somme des grandeurs correspondantes de Vautre, à la grandeur 7nA (somme de m quantités égales à A) correspondra !a grandeur

mA' (A' étant la correspondante de A). A la grandeur - A correspondra la f^randeur - S', car si :

B=iA B' — -A'

on a aussi :

iiB — A >,li' = A:

et si B etB' ne se correspondaient pas, A cl A' ne pourraient

pas se correspondre. Par suite, à !a grandeur — A correspond

la grandeur — A'; c'est-à-dire que le théorème est établi pour

le cas de deux grandeurs corn mensu râbles. On sait que, par un

procédé de raisonnement général, il peut alors s'étendre au

cas de deux grandeurs incommensurables. En effet, tout

nombre rationnel — inférieur (ou supérieur) au rapport -n sera

aussi inférieur (ou supérieur) au rapport ^i par conséquent

les deux rapports donneront lieu à la même répartition des nombres rationnels en deux classes, c'est-à-dire correspondront au même nombre irrationnel. Le théorème est donc démontré. Il importe de remarquer que ce théorème suppose que les deux ensembles de grandeurs vérifient les huit postulats énoncés précédemment, ainsi que l'axiome de divisibilité et l'axiome d'Archimède, qui en sont des conséquences.

Cela posé, qu'est-ce que mesurer l'ensemble des grandeurs d'une même espèce? C'est simplement établir une proportionnalité entre cet ensemble et i'ensembie des nombres réels (lequel est une espèce de grandeurs). Or cela est possible, à la condition que l'ensemble de grandeurs considéré vérifie les huit postulats (puisque nous savons que l'ensemble des nombres

LA MESURE nés GKANPECJRS 121

réels les vérifie). Ainsi les huit postulats ne sont pas autre cliose que les conditions auxquelles un ensemble de grandeurs est mesurable ; et l'on peut dire qu'ils définissent le concept de grandeur mesurable.

Une fois ces conditions remplies, on peut appliquer à !a mesure des grandeurs le théorème relatif à la proportionnalité en général, et dire que : pour qu'un ensemble de grandeurs soit mesurable, il faut et il suffit qu'à la somme de deux grandeurs quelconques on puisse faire correspondre la somme des nombres réels correspondants. On peut prendre pour cas particulier la somme de 2 ou de n quantités égales ; la condition Sfi réduit alors à cet énoncé courant : 11 faut et il suffit qu'on puisse définir la grandeur double ou «-uple d'une autre. Hais on ne doit jamais oublier que cette condition présuppose que les huit postulats sont vérifiés par l'espèce de grandeurs considérée.

Bn vertu de la définition de la proportionnalité, lorsqu'un ensemble de grandeurs est mesurable (ou plutôt mesuré), le rapport de deux grandeurs quelconques est égal au rapport des nombres réels correspondants. On voit quel intérêt il y avait à concevoir que les rapports entre nombres ne sont pas des nombres (de la même espèce), puisque les mêmes rapports qui existent dans l'ensemble des nombres réels existent dans chaque ensemble de grandeurs mesurable. Le rapport de

2 mètres à 3 métrés est identique au rapport de 2 grammes à

3 grammes, ou à ceiui du nombre entier 2 au nombre entier 3 ; et c'est pourquoi tous ces rapports peuvent se représenter par la fraction 2/3 '.

Nous pouvons enfin (et seulement à présent) définir la mesure d'une grandeur particulière. On appelle mesure d'une gran-

I. Il en résulte que !eâ nombres rationnels sont essentiellement at)s- Iraits. On ne devrait pas dire : 2/3 de mètre, mais : une longueur qui esE au mètre dans le rapport 2/3. On ne devrait pas dire non plus ; 3 mètres, mais : une longueur qui est au mètre dans le rapport de 3 à 1. On voit bien que le nombre 3 n'est plus ici un nombre cardinal, ni même un nombre entier (désignant une collection), mai* une mesure, c'esL-à-dire

iS2 L'IDEE DE GRANDEUR

deiir (par rapport à une grandeur de même espèce) le rapport de la première à la seconde, ou, comme on dit vulgairement, ]e nombre par lequel il faut mulliplier la seconde pour obtenir la première. Dans le cas où les deux grandeurs en question sont identiques, la mesure do cette grandeur est le nombre 1

(plus exactement, le nombre rationnel j=:^^ ...^ -j. C'est

pourquoi la seconde grandeur, par rapport à laquelle est définie la mesure, s'appelle grandeur-unité ou unité de mesure. Le choix de cette grandeur- unité est nécessaire et suffisant pour déterminer la mesure de toutes les autres grandeurs de la même espèce '. Cette définition appelle deux observations importantes. La première, c'est que la mesure est toujours un rapport, donc un nombre rationnel ou réel. La seconde, c'est que !a mesure est essenliellement relative au choix de la grandeur-unité; or ce choix est absolument arbitraire, étant donné que l'ensemble de grandeurs considéré est continu (par hypothèse); rien ne distingue la grandeur-unité de toutes les autres, rien ne la désigne à notre choix, et la correspondance entre les grandeurs et les nombres serait toute semblable et tout aussi parfaite si l'on choisissait pour unité n'importe quelle autre grandeur. Pur conséquent, la correspondance de tel nombre à telle grandeur est toute fortuite et conventionnelle, et en ce sens on peut dire que la mesure des grandeurs comporte un élément d'arbitraire. Mais il n'en faut pas conclure (comme les nominalistes semblent le faire) que la mesurubililé des grandeurs soit arbitraire, et dépende d'un n libre décret •>. Cette mesurabilîté repose sur les propriétés que nous avons énumérées, et ces propriétés sont objectives et indépendantes de nous. Le fait même de la proportionnalité des grandeurs aux nombres n'est pas une convention : les rapports qui existent entre les grandeurs sont aussi réels et objectifs que les grandeurs elles-mêmes, et ne dépendent nullement du choix de l'unité. L'élément arbitraire et subjectif réside uni-

J. De même, et plus généralement, il suffit d'un couple de grandeiu'j

LA MESOlîE DES GlUNDEL'dS 123

quemenldans le passage du rapport à la mesure, c'est-à-dire dans l'adoption d'une seule et unique grandeur comme second terme de tous les rapports. (C'est pourquoi il importe de définir la mesure par le rapport, et non pas, comme on le fait quelquefois, le rapport par la mesure.) Ainsi, dans cette théorie de la mesure des grandeurs, que les ircationalistes exploitent si complaisaniment en faveur d'on ne sait quelle « liberté » chimérique et absurde, il n'y a rien qui autorise à considérer la mesurabilité des grandeurs comme dépendant à un degré quelconque de nos « conventions » et de nos « décrets ».

Au surplus, il faut se garder d'exagérer la portée de la théorie de la mesure des grandeurs, et de croire que les grandeurs n'aient droit de cité en Mathématique qu'à, la condition de passer sous les Fourches Caudines du nombre. La mesure des grandeurs a une valeur pratique bien plutôt que théorique, comme l'a bien montré M. Russell '; elle a en somme pour but de rendre les grandeurs plus maniables, en permettant de les représenter par des nombres et de les soumettre au calcul algébrique (c'est-à-dire arithmétique). Mais si une telle représentation est commode, économique en quelque sorte, elle n'a rien de nécessaire; et la Mathématique moderne traite bien des espèces de grandeurs qui ne sont pas proportionnelles à des nombres {par exemple les vecteurs et autres grandeurs géométriques). Elle en est quitte pour inventer des calculs nouveaux, différents du calcul algébrique, qui s'appliquent directement à ces espèces de grandeurs : calcul de Grassniann. calcul des quaternions, etc. Bien mieux, elle invente, pour représenter certaines espèces de grandeurs non mesurables (à plusieurs dimensions) des symboles qu'on appelle encore des nombres, par analogie, à .savoir les nombres complexes. Ce dernier fait confirme notre thèse, h savoir que, dans la généralisation du nombre, c'est le nombre qui se modèle sur !a grandeur, et non la grandeur sur le nombre. Mais c'est là un sujet réservé au chapitre suivant.

. Op. i

yGoosle

I2i L'IDKF, 1)Ë GliA\DEUK

Poui" conclure celui-ci, nous avons distingué tlcux sortes de grandeurs : les grandeurs intensives, pour lesquelles il n'y a pas d'addition, de sorte que leur relation d'inégalité est primitive et indéfinissable; et les grandeurs extensives, pour lesquelles il y a une addition, notion primitive et indéfinissable, au moyen de laquelle on peut définir leur inégalité. Mais il ne faut pas croire que toutes les espèces de grandeurs extensives vérifient nécessairement les huit postulats de M. Burau-Forti : ceux-ci ne sont vériûés que par les grandeurs continues mesurables, qui constituent le type le plus complet et le plus parfait de la grandeur, et qui sont notamment la plupart des grandeurs géométriques et physiques, il peut y avoir des ensembles de grandeurs extensives qui ne vérifient que les quatre premiers postulats : lisseront alors semblables à l'ensemble des nombres entiers, c'est-à-dire que toutes les grandeurs non nulles seront les multiples d'une d'entre elles, qui sera la plus petite '. Il peut y en avoir d'autres qui vérifient les six premiers postulats et l'axiome de divisibilité ; ils seront semblables à l'ensemble des nombres rationnels, et par suite compacts, c'est-à-dire qu'entre deux grandeurs quelconques il y en aura toujours une autre (d'où résulte le postulat VII : qu'aucune grandeur non nulle n'est la plus petite des grandeurs non nulles). En somme, les huit postulats réunis constituent le maximum des conditions que peut vérifier un ensemble de grandeurs, mais ils peuvent ne pas l'être tous par tel ou tel ensemble ^, C'est k l'expérience ou à l'intuition de constater, pour chaque espèce de grandeurs donnée, quels postulats elle vérifie.

Cette observation nous permet de répondre à la question suivante : La théorie des grandeurs fait-elle partie des Mathématiques pures, autrement dit, est-elle entièrement a prionl La réponse est double Oui si 1' n con idèi des ensembles de