CHAPITRE VI

La Géométrie passe généralement encore pour être la science de l'espace. Il semblerait donc qu'elle dût commencer, en bonne méthode, par une définition de l'espace. Or une telle définition est, d'abord, très difficile cl très compliquée; ensuite, elle est parfaitement inutile ; l'idée et le mot même d'espace ne se trouvent pas dans Euclide ni dans Arcuimédiî '. 11 en est de même des notions de ligne et de surface, qu'EucLiDK lui-même essaie de définir au début de ses Éléments. La définition de ces notions générales est extrêmement délicate, et ne peut être faite avec rigueur qu'au moyen du Calcul intégral : c'est dire que sa place n'est pas dans les élémenls ni dans les principes de la Géométrie*. Il ne faudrait donc pas croire que, si la Géométrie ne peut pas définir dès le début ces trois notions, c'est parce que celles-ci sont des notions premières, fondamentales

1. PïANO, Sui fondaiaenli délia ûeometiia, ap. Rei'ae de Malhémaliques^ t. IV, p. 52 (1894).

2. Par exemple, certains auteurs déSnissent la surface comme ce qui limite un solide. Or il existe certaines surfaces qui n'ont qu'une face, ou dont les deuï faces se relient d'une manière continue, de sorte qu'elles ne partagent pas l'espace eu deus régions séparées, et ne peuvent par

concret qu'on en cite habituellement: Qu'on prenne une bande rectangulaire ASA'B' beaucoup plus longue que large, et qu'on en colle les extrémités de telle sorte que A' coïncide avec A et B' avec B, le ruban fermé ainsi constitué n'a qu'une face, en ce sens qu'on peut passer d'une face sur l'autre sans le percer. C'est ce qu'on appelle un ruban paradroinique. V. RousE Bai.l, Problèmes et récréations malhérnatiques, trad. Fritz- Patrick (Paris, Ilermann, I89S).

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el simples ; tout au contraire, c'est parce qu'elles sont très complexes; et la Géométrie peut parfaitement se constituer sans elles, comme on le verra plus loin. Ce n'est pas sur les idées générales et vagues d'espace, de surface et de ligne que la Géométrie est fondée, mais sur les idées particulières et précises de droite, de plan et surtout de point; et c'est parmi celles-ci que se trouvent les notions premières et indéfinissables de cette science'. En particulier, le point est l'élément indéfinissable de tous les systèmes de Géométrie. Les points sont les termes individuels de toutes les relations dont l'élude constitue les diverses Géométries; el si l'espace peut être défini au début de la Géométrie, ce ne peut être que comme l'ensemble des points.

t; A. — Les Diîiknsiûns. Tofologie.

Mais ici intervient nécessairement la considération des dimensions. On peut essayer de définir la ligne, la surface el l'espace en disant que ce sont respectivement des ensembles continus de points k un, à deux et à trois dimensions. C'est cq généralisant cetle conception que RiEMAWN ^ définissaitl'espace comme un ensemble (multiplicité) à plusieurs dimensions; et il l'imaginait engendré progressivement par le mouvement d'un ensemble antérieurement formé « à travers » une nouvelle dimension. Un point, en parcourant iin ensemble continu de positions (numérotées par les nombres réels), engendre une ligne; si cette ligne à son tour parcourt un ensemble continu de positions (numérotées par les nombres réels), elle engendre une surface; celte surface, en parcourant un ensemble continu de positions, engendre un espace à 3 dimensions; et ainsi de suite, car rien ne limite rationnellement cette suite de générations progressives, et par suite le nombre des dimensions de l'espace. Si un espace est obtenu au moyen de n mouvements

1, Nous recommandons cette considération aux sectateurs de la logique afistotélicienne, qui sont liabilués à considérer les idées les plus générales comme étant aussi les plus simples et les premières dans Tordre logiijue.

2. Ueber die ll'jpothesen, welche der Géométrie lie Grunde liegen (1834).

successifs (à partir du point), il a n dimensions : cela, veul dire que chacun de ses points est déterminé par n coordonnées numériques, qui fixent respectivement sa place sur une ligne, la place de cette ligne sur une surface, la place de cette surface dans un espace à 3 dimensions, etc.

Cette conception de l'espace est en quelque sorte classique, et a passé dans beaucoup d'ouvrages élémentaires, soit de géométrie, soit de philosophie. Malheureusement, elle est insuffisante, non seulement parce qu'elle fait appel à l'idée peu claire de variation ou de mouvement, mais parce qu'on ne voit pas la possibilité des variations indiquées, ni comment elles « engendrent » de nouveaux ensembles. Par exemple, un plan peut se déplacer d'une manière continue tout en restant identique à lui-même. Dira-t-on encore que sa variatiou engendre une multiplicité à trois dimensions'î D'une manière générale, on ne peut rien définir ni expliquer par génération, car toute variation, tout mouvement, présuppose défini et donné l'ensemble des valeurs que la variable doit prendre, l'ensemble des positions que le mobile doit occuper. Pour qu'une ligne puisse engendrer une multiplicité à deux dimensions, i! faut qu'elle puisse sortir d'elle-même, c'est-à-dire qu'il y ait déjà une deuxième dimension; et de même, il faut une troisième dimension pour qu'une surface puisse se déplacer en sortant d'elle-même, au lieu de glisser simplement sur elle-même en se reproduisant indéfiniment.

En outre, cette conception présente des difficultés qu'on ne pouvait soupçonner du temps de Riiîmanw. On croyait alors qu'une ligne et une surface, par exemple, ne pouvaient être équivalentes, comme ensembles de points, qu'elles étaient " incommensurables ». Si la ligne était un ensemble infini de points, la surface devait être un ensemble infiniment plus infini, et ainsi de suite. Cela vient de ce qu'on n'avait que des notions vagues de l'infini numérique et du nombre des éléments du continu. M. Georg Cantor a démontré, au contraire, que tous les continus sont équivalents, quel que soit le nombre de leurs dimensions, c'est-à-dire qu'on peut établir entre eux une cor-

LES DIMENSIONS. TOPOLOGIE 129

rcspondaiice biuniforme, point par point, de sorte que rien ne les distingue au point de vue du nombre de leurs éléments. Il y a " autant » de pointa dans un aegnoent rectiligne {ou curviligne) que dans un carré ou dans un cube, voire dans un espace à n dimensions et même h u» dimensions. Cette vérité paradoxale a été illustrée par M. Peaho, lorsqu'il a inventé une courbe qui remplit un carré, c'est-à-dire qui passe par tous les points de ce carré'. Pour définir cette courbe, M. Peano a employé son ingénieuse méthode de transformation arithmétique dont nous avons vu déjà une autre application (p. 96); pour plus de clarté, nous nous bornerons à la décrire géométriquement ^. Soit un carré de côté 1; on partage d'abord ses côtés en un nombre impair de parties (égales ou inégales); supposons, pour simplifier, que ce nombre est 3, et que les parties sont égales. Le carré se trouve par suite partagé en 9 carrés égaux. On mène alors une ligne brisée continue qui les Iraverse tons diagonalement en allant d'un sommet du carré au sommet opposé (fig, 3). Numérotons de à 9 les sommets par lesquels elle passe successivement. Prenons d'autre pari un segment rectiligne quelconque, partageons-le en 9 segments contigus et consécutifs (égaux si l'on, veut), et numérotons les points de division de à 9, Ce numérotage établit une correspondance uniforme (mais non biuniforme) entre ces points de division et les sommets successifs de la ligne brisée. Cela posé, on effectue dans chacun des carrés partiels une construction semblable (géométriquement) k celle qu'on a effectuée dans le carré entier, et dans chacun des segments de la ligne droite une subdivision semblable à la première. On établit ainsi une correspondance uniforme entre 82 points de la ligne droite et les 82 sommets successifs d'une ligne brisée qui traverse les 81 nouveaux carrés. Il est à remarquer que, dans celte nouvelle correspondance, les points correspondants suivant l'ancienne

1. G. Pkano, Sw une courbe gui remplit tonte une aire plane, ap. Mutli. Annalen, t. XXXVI, p. 4S7-160 (1890).

2. D'après Sohôkflcbs, BericM ilber die Mengeniehre, ap. Jahresbericht der Mathemaliker-Vereinigung, t. VIII, 2, p. ISl (1900).

CouTUBAT. — Las piindpas des matliénmtique?. 9

LA GEOMETHIE

sont encore correspondants, et que l'ancienne ligne brisée se trouve tout entière contenue dans la nouvelle, mais en tronçons séparés ; la diagonale 0-9 se trouve décomposée en 3 segments 0-1, 4-5, 8-9 auxquels correspondent des segments séparés de la ligne droite (et même le segment 4-3 a son sens interverti dans cette transformation). On continue ainsi indéfiniment à subdiviser le carré, d'une part, et le segment recti-

Fis- 3,

ligne, d'autre part, chaque segment partiel correspondant à un carré partiel de la subdivision cori'espondante. On établit ainsi une correspondance entre tous les points du segment et tous les points du carré dont les coordonnées peuvent s'exprimer en une fraction systématique dans le système de numération ternyire, c'est-à-dire en une série de la forme :

Tous les autres points (rationnels ou irrationnels) du carré peuvent être définis comme limites par rapport à l'ensemble des points précédents, A chacun d'eux on fera correspondre

LES DIMENSIONS. TOPOLOGIE 131

sur le segment le point-limite de la suite des pointa correspondantB. Autrement dit, si un point x du carré n'est le sommet d'aucun carré partiel, il sera contenu dans une suite infinie de carrés partiels appartenant respectivement à toutes les subdivisions successives. A cette suite de carrés (contenus les uns dans tes autres) correspondra, sur la ligne droite, une suite infinie d'intervalles de plus en plus petits (et contenus les uns dans les autres), qui déterminent un point-limite ; ce point sera, par définition, le correspondant du point x. En résumé, on a une correspondance unifot^ne entre tous les points du segment et tous les points du carré, et cette correspondance est en outre continue, c'est-à-dire qu'à des points voisins sur le segment correspondent des points voisins dans le carré. En définitive, on a établi entre tous les points du carré un ordre linéaire et continu, et c'est ce qu'on exprime en disant qu'on a une ligne continue qui remplit le carré '. Mais cette correspondance n'est pas biuniforme, et sa converse n'est pas continue : car on voit qu'à chaque sommet des carrés partiels correspondent dp.ux points distincts du segment (par exemple, 1 et 5, 4 et 8) et, à plus Torte raison, à deux points voisins du carré ne correspondent pas deux points voisins du segment (exemple les points 1 — e et S + £.) En général, à chaque sommet d'un carré partiel correspondent 2 points; à chaque point d'un côté d'un carré partiel (c'est-à-dire d'une ligne de subdivision) qui n'est pas un sommet correspondent 4 points; et à chacun des autres points correspond un seul point '.

Nous avons exposé en détail le paradoxe de M, Pëano, parce

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qu'il a une grande portée au point de vuti philosophique. 11 prouve d'une façon saisissante l'insuffisance ou plutôt l'incompétence de l'intuition en matière de Géométrie', et particulièrement dans la Topologie, qui parait cependant relever essentiellement de l'intuition. Toutefois, il ne faut pas exagérer cette portée, et croire qu'il supprime toute possibilité de distinguer les ensembles ou espaces d'après le nombre de leurs dimensions. En effet, on a démontré qu'une telle correspondance entre deux continus d'un nombre différent de dimensions ne peut pas être à la fois biunifoime et continue. Si elle est continue, comme la précédente, elîe peut bien être uniforme, mais non biuniforme. Si elle est biuniforme, c'est-à-dire si elle manifeste l'égalité de nombre des éléments des deux continus, elle ne peut pas être continue, c'est-à-dire qu'elle ne conserve pas les relations de voisinage entre les points; elle ne respecte pas leur ordre et leurs connexions. Cette proposition a été démontrée successivement par MM. THOîIAB^ Nëtto ^ G. Gantor *. Ces démonstrations ont paru insuffisantes à M. JCikgens ■*, qui les a récemment complétées et corroborées. On peut présenter sa démonstration sous une forme élémentaire et presque intuitive. Il ne peut pas y avoir de correspondance biuniforme et continue entre les points d'un segment rectiiigne et ceux d'un carré :

telle est ia proposition à prouver. En effet, supposons qu'au point F du carré corresponde le point Q du segment (flg. 4); à un segment quelconque AB tracé dans le carré et contenant le point P devra correspondre sur la droite un segment CD contenant le point Q et continu (en vertu de la continuité supposée de ia correspondance). Mais alors, si l'on considère un point M du carré aussi voisin qu'on voudra du point P, mais non sur AB, il ne pourra pas lui correspondre un point aussi

i.C{.ScuO:ffuea,BeitMgezwTheoriederPunklmen/}en,a,p.Maih.Annaien, t. LVIII, p. 295-334 (1904).