LES DIMENSIONS. TOI

voisin qu'on voudra de Q, car ce point devrait se trouver sur CD, ce qui est contraire à l'uniformité de Ja correspondance (les points de CD correspondant déjà tous aux points de AB ne peuvent pas correspoudre à d'autres points du carré). Si donc celle-ci est biuniforme, elle ne peut pas être continue '.

D'ailleurs, la correspondance de M. Peano n'est continue que dans un sens; à des points voisina du segment correspondent des points voisins du carré, mais non inversement ; à une

ligne continue tracée dans le carré correspond sur le segment un ensemble de points qui n'est dense nulle part, et qui par conséquent ne peut élre ni continu ni composé d'éléments continus. En un mot, nue telle correspondance ne peut pas conserver toutes les relations de voisinage entre les points du carré; elle en conserve quelques-unes (et c'est ce qui fait que la courbe est continue), mais elle en détruit d'autres. Chacun sent, plus on moins confusément, qu'un point d'une surface a plus de points voisins qu'un point d'une droite. C'est ce fait qu'exprime la démonstration de M. Jùrgens.

Ainsi les <îontinus d'un nombre différent de dimensions ne

1. Cf. L, Mh,bsi, SuUa impossibile coesislenza délia unioodlàe delta coiUlnuità nella coii-ispondeiisa cke si puo stabilire fra due apuzi continui ad tin H'imero différente di dimensioni, ap. Rivista di Matematiea, E. Il, p. 103 (1892).

sonl équivalents et indiscernables qu'au point de vue du nombre cardinal de leurs éléments; ils se distinguent au contraire les uns des autres par leurs propriétûs ordinales. Un segment, un carré, un cube ne diffèrent nullement l'un de l'autre comme classes de points; ils ne différent que par l'ordre et l'arrangement de leurs points, c'est-à-dire en définitive par les relations établies entre eux, puisque tout ordre consiste en un système de relations. Par conséquent, ce qui constitue proprement et easentiellemeal les continus à plusieurs dimensions (comme le continu linéaire), ce n'est pas un ensemble de points, mais un ensemble de relations. Ce fait a une portée philosophique manifeste; il signifie, en somme, que l'espace n'est pas une simple « multiplicité », maïs bien une multiplicité ordonnée; et il justifie la conception de Leibkiz, qui voyait dans l'espace, avant tout, un ordre.

Voici donc comment il convient de définir les ensembles à plusieurs dimensions. Un ensemble à nue dimension est une suite simple, dont les éléments sont des individus absolus (des points). Un ensemble à. deux dimensions est une suite double. c'esl-à-dire dont les éléments sont à leur tour des suites simples. Un ensemble à trois dimensions est une swiie triple, dont les éléments sont des suites doubles; et ainsi de suite. Ou plutôt, puisque toute suite consiste, au fond, en une relation asymétrique transitive qui en ordonne les éléments, un ensemble une dimension est une relation de ce type dont les termes sonl des individus absolus (ne sont pas des relations). Un ensembli à deux dimensions est une relation dont les termes sont eux' mêmes des relations, c'est-à-dire une relation de relations. Ui ensemble à trois dimensions es tune relation dont les termes son des relations de relations; et ainsi de suite. L'ensemble sera con tinu, si chacune des suites ou dos relations qui le composent e( continue. El comme la continuité est définie d'une manière pure ment ordinale, on voit que cette définition n'implique que des notions ordinales, et consiste entièrement en des relations'.

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Mais, par cela même, cette définition implique un ordre diHerminé entre les dimensions : seules, les suites correspondant à la i" dimension sont des suites simples; à la 2' dimension correspondent des suites doubles, à la 3° des suites triples, etc. Et c'est une question de savoir si les mêmes éléments (pointa) peuvent former des suites simples par rapport à la^", à la 3',.., dimension.! Cette propriété consiste en ce fait, que le champ d'une relation de relations peut être le champ d'une autre relation de relations; en d'autres termes, le même ensemble qui a pu être ordonné d'abord suivant une dimension, puis suivant une autre, pourra être ordonné d'abord suivant la seconde et ensuite suivant la première ; de sorte que les dimensions seront commutables. Par exemple, un ensemble à 2 dimensions pourra être considéré, soit comme une suite U de suites M, «2 M,..- correspondant à la 1" dimension, soit comme une suite V de suites VjV^Vj... correspondant à la 2', Or l'ensemble peut être considéré comme constitué par l'entre-eroîsement des suites de premier ordre : u, Mj u^... et o, v^ n,..., au lieu d'être constitué par la succession des unes ou des autres. Pour plus de clarté, nous appellerons ces suites des lignes, et l'ensemble qu'elles composent une surface. Soit donc une surface S qu'on peut constituer, soit avec le faisceau des lignes u, soit avec le faisceau des lignes v ; ces deux faisceaux, par cela seul qu'ils appartiennent à la même surface, auront les propriétés suivantes ' :

i" Tout point de S appartient à une ligne m et à une ligne a. En effet, l'ensemble S peut être défini, soit comme suite des w, soit comme suite des v : i! faut dune que chacun de ses points appartienne à une des lignes m et à une des lignes v.

2" Réciproquement, une ligne u et une ligne v ont toujours un point commun. Car si un point de S appartenait à une ligne w, par exemple, sans appartenir à une ligue v, cela signifierait que l'ensemble des lignes v n'épuise pas l'ensemble des points de S, contrairement à l'hypothèse.

1. F. EnRiouBS, Sulle ipotesi chè permeltorw Vinti-oduzione délie nate m una varielà .a ptù dinieimoni, ap. Remlicanti del Circolo ' ' di Palermo, t. XII (1898).

3° Soient «1 îïj deux lignes du faisceau ti, a, h, c,... des points de Up a,ijCj... les points où Uj rencontre les lignes u qui passent respectivement par a, 6, C[...; l'ordre des points a^ b^ c,.,. est le même que celui des points a, b, c^.. En effet, il est le même que celui des lignes i* correspondantes. En somme, chaque ligne u établit entre les lignes v le même ordre que la suite V, et ctiaque ligne v établit entre les lignes u le même ordre que la suite U. Chaque ligne u rencontre en un seul point chaque ligne V : on dit que les deus faisceaux sont unisécanls.

Cela posé, on peut faire correspondre l'ensemble des nombres réels tant aux points d'une ligne u (soit u„) qn'aiix points d'une ligne v (soit «„), de telle sorte que l'ordre des nombres soit le même que celui des points (ces deux ordres étant continus). C'est lit, comme on sait, le procédé habituel pour représenter les points d'une surface au moyen de deux coordonnées : chaque point de S étant l'intersection d'une ligne m et d'une ligne o, ses coordonnées seront les deux nombres réels qui correspondent respectivement à ces deux lignes. Mais la correspondance ainsiêtablie n'est pas nécessairement continue'; pour qu'elle le soit, il suffit d'admettre que la surface S porte un troisième faisceau de lignes îo, qui est unisécant par rapport aux deux premiers u, v. C'est à cette condition que l'ensemble des points de la surface S pourra être représenté d'une manière continue par l'ensemble des systèmes de deux nombres réels, en d'autres termes, que la surface S pourra être représentée par deux coordonnées.

1. Une correspondance entre deus ensembles ordonnés est continue, si à des points voisins de l'un correspondent des pointa voisins de l'autre; autrement dit, si aux points de l'un rjui ont pour [imite le point P, correspondent des points de l'autre ayant pour limite le point P' correspondant à P. Par exemple, on peut concevoir sur la surface une ligne qui soit continue en soi, c'est-à-dire un ensemble de points possédant entre eux un ordre continu, mais qui ne soit pas continue sur la surface^ c'est-à-dire telle que les points voisins sur la ligne soient aussi voisins sur la surface. Une ligne sera continue sur la surface, si elle a un point cornmun avec cliaque ligne u et avec chaque ligne u, et si les lignes de chaque faisceau qui passent par certains de ses points ont, dans leur faisceau, le même ordre que ces points (Ekrcques, op. cit., % 3). Ou voit que cette nouvelle espèce de continuité est encore définie d' purement ordinale.

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De même, étant donné un ensemble à 3 dimensions défini (à la manière de Riemaun) comme une suiLe simple de surfaces (ensembles continus à 2 dimensions), on peut montrer d'abord qu'il est constitué par 3 faisceaux de surfaces a, p, y (les surfaces a et p se coupant suivant les lignes c, les surfaces [i et y suivant les lignes a, et les surfaces f et a suivant les lignes 6), car, si); est le faisceau générateur, chaque point d'une surface a est l'intersection d'une ligne b et d'une ligne c de cette surface (dont les faisceaux entre-croisés la constituent), et se trouve en même temps sur une des lignes a qui correspondent à la troisième dimension. Or cette ligne o détermine avec cette ligne à une surface du faisceau y, et avec cette ligne c une surface du faisceau p. Cet ensemble étant ainsi délini, on pourra le représenter d'une manière continue par trois coordonnées (attachées respectivement aux surfaces a, p et y), s'il existe un quatrième faisceau de surfaces 3 qui coupent les surfaces a, p, y suivant des lignes, et les lignes a, b, c en des points uniques '.

Telle est la condition (suffisante, sinon nécessaire) pour qu'un ensemble à plusieurs dimensions défini par des suites linéaires continues soit lui-même continu. Il nu suffil pas, en effet, qu'il soit constitué par des faisceaux séparément continus : il faut encore qu'il y ait continuité entre les divers faisceaux, et cette continuité est assurée ou manifestée par celle d'un faisceau supplémentaire qui coupe obliquement les autres, et établit par là entre eux une correspondance pour ainsi dire diagonale.

La correspondance établie entre chaque point d'un ensemble à plusieurs dimensions et le système des nombres réels qui sont ses coordonnées est, sinon l'origine, du moins la raison d'être des nombres complexes. Un nombre complexe à » dimensions, en effet, est, comme on dit, le système de n nombres réels pris dans un ordre déterminé; or, quelle raison aurait-on de former et de considérer de tels systèmes, si ce n'est pour représenter les éléments d'un ensemble à n dimensions? L'ordre

■I. Eniuqubs, ûp, cit., g 14.

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qu'on leur assigne n'a d'autre but que de déterminer à quelle dimension chacun d'eux correspond. On y arrive aussi en considérant chacun d'eus comme le coefficient d'une unité spéciale, qu'on peut alors permuter avec les autres (tout en lui conservant son indice ou numéro), et concevoir ainsi les nombres complexes comme relatifs « k n unités principales ». Dans tous les cas, ce qui fait l'unité du nombre complexe et le lien entre les nombres réels qui le composent, c'est le fait qu'il représente un élément unique et déterminé d'un ensemble à n dimensions. Il convient de définir plus rigoureusement les nombres complexes; en effet, dire qu'un nombre complexe est le système de n nombres réels, c'est exclure, semble-t-il, le cas où 2 ou plusieurs de ces nombres seraient égaux (c'eat-à-dire identiques). Il vaut donc mieux dire qu'un nombre complexe est une relation couniCorme entre les nombres réels et les n premiers nombres entiers (ou une relation uniforme entre les n premiers nombres entiers et les nombres réels). En effet, dans un nombre complexe {x„x^,... xj, chaque élément est un nombre réel fonction de son indice (1, %... n), et cette fonction est couniforme, c'est-à-dire qu'à chaque indice correspond un seul nombre réel; mais un même nombre réel peut correspondre à plusieurs indices '.

Nons avons dit que la Géométrie élémentaii'e n'a pas besoin des notions de ligne et de surface en général. Il y a pourtant une branche de la Géométrie oh l'on considère les lignes et les surfaces comme telles; c'est ce que Riemakn appelait l'Analysis situs, d'un terme emprunté à Leibniz, mais employé dans un autre sens ^. Il entendait par là l'étude des « grandeurs con-