BussELL, op. cit
2. Comme Rikuahn en convient lui-mÉme : « Bei der Unterauchung der Funclionen, welche aus der lalegraiion volUtândiger DifTerentialien entstehen, sind einige der Anaiysis silus aagehdrJge Satze fast unenlbehrlichi Mit diesem von Lbibhitz, wenn aucb vielleicht nictit ganz in derselben Bedeutung, gebrauciiten Naraen darf woltl ein Tlieil der Lelire von den steligeii Grosseii beieiclinet werden, weiclier die GrÔssen niclit als unabliangig von der Lage enistirend und duroh einander messbar belrachtet, sondern von den MassverliSItnissen ganz absehend, nur ilire
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tinues », considérées, non dans leurs relations métriques, mais seulement dans leurs relations de Heu et de situation réciproque. Cette définition contient un mot de trop : « grandeur », car précisément VAnalysis situs fait complètement abstraction de la grandeur; et elle ne dislingue pas suffisamment cette science de la Géométrie projective, qui est aussi une étude des relations de situation '. Pour plus de précision et de commodité, nous appellerons cette science la 7'opologie, avec certains auteurs allemands et anglais^.
M. Ehriquiîs l'appelle la théorie des connexions ^; et c'est en effet ainsi que Riemann Ta entendue; pour les besoins de sa théorie des fonctions. 11 distingue les surfaces simplement connexes et les surfaces multiplement (doublement, triplement,..,) connexes. Une surface simplement connexe est une surface telle qu'une courbe fermée tracée sur elle enferme une portion de cette surrace. Si sur une surface on peut mener n courbes fermées qui, séparément ou réunies, n'enferment aucune portion de cette surface, mais qui, avec toute autre courbe fermée, en enferment une portion, la surface est (n-[-l)-uplement connexe. Une surface (w-f-l) -uplement connexe se transforme en une surface n-uplement connexe au moyen d'une coupure quelconque, pourvu que celle-ci ne la partage pas, et par suite peut être transformée en une surface simplement connexe
Orts- und Gebietsverhâltnisse der Untersuchune unterwirft. ■ Theoi-ie der AbeUchen Functionen, §2, ap. Journal de Crelle, t. LIV (1857). Dans sa fameuse dissertalion Ueber die llypolkesen, leelcke der Geoineirie zii Gruiide liegea (IS34), Bieuann fait allusion à la même science (I, ^ 1), et dit que l'on n'y peut comparer deus grandeurs entre elles que si l'une est partie de l'autre. Ce qu'il entend par les « relations de région • (Gebietsverhaitnisse), c'est donc la relation de contenant à contenu ou de tout à. partie, qui est la relation fondamentale du Calcul des classes. Ainsi conçue, la Topologie se confondrait avec la théorie des ensembles.
i. En fait, c'est à la Géométrie projective ou à la Géométrie descriptive que correspondait VAnalysis situs de I.bibsiz.
2. II importe d'avoir un mot simple, pour pouvoir en former des dérivés {topologique). Pour la même raison, il conviendrait d'avoir un mot simple pour désigner la .théorie des ensembles (et pouvoir traduire, par exemple, l'adjeclif allemand mengentheoretisch).
3, QuesHoni riguardanti la Geometiia eîementare, art. I, g 4 (Bologna, 1900); SuUa spiegaaione iisichnlogica dei poslulali délia Geomelria, ap, Rimsta filosQ^ea (mars-avril 1901).
au moyen de n coupures. Cela posé, l'objet esseiitÎRl de la Topologie, ce sont les connexions des surfaces et, plus gcniSralement, les relations de contiguïté et de conlinuité entre les points des lignes et des surfaces, abstraction faite de la grandeur de ces figures et même de leur forme. Plus précisément, les connexions sont les invariants des transformations bioniformes et continues, de sorte que ces transformations sont les seules qu'admette la Topologie, Qu'on imagine un écheveau de fils emmêlés et noués, une ou plusieurs surfaces tordues et enchevêtrées, et qu'on les déforme sans rien couper ni déchirer (comme si ces (ils et ces surfaces étaient réalisés en une matière parfaitement ductile et élastique), sans rien coller non plus : on aura une idée des transformations qui caractérisent la Topologie. Peu importe que les lignes soient droites ou courbes, que les surfaces soient planes ou gauches; peu importe leur grandeur relative, on peut les étendre ou les rétrécir indéfiniment, pourvu qu'on n'y introduise aucune solution de continuité (ni aucune connexion nouvelle). Le nœud gordien était un problème de Topologie; tous les nœuds, toutes les « questions d'Orient» en sont d'autres'. Qu'un homme qui a les mains liées puisse retourner son gilet et le mettre à l'envers, c'est une proposition de Topologie.
Mais cette science n'a pas seulement pour objet l'élude des connexions ^, et d'ailleurs la notion de connexion ne peut être considérée comme primordiale. En effet, cette notion se définit, on l'a vu, au moyen de celle de courbe fei^viée; or celle-ci est d
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courbe plane fermée partage son plan en. deux régions séparées, c'est-à-dire telles que toute ligne conlinue qui joint un point de l'une à un point de l'autre la traverse nécessairement (a au moins un point commun avec, elle) ». Cette proposition semble élémentaire, et a longtemps été admise comme évidente; pourtant (ou plutôt à cause de cela), elle n'a été démontrée que par M, Jordan '; et ce seul fait montre quelle différence il y a entre la rigueur logique et la soi-disant évidence de l'intuition. Encore la démonstration de M. Jordan a-t-elle paru insuffisante à plusieurs mathématiciens, parce qu'elle postule la vérité de la proposition pour le cas d'un polygone simple ^. Il est vrai que, comme on le verra (p. 172,) on peut la démontrer rigoureusement dans ce cas, au moyen des axiomes de la Géométrie descriptive. On peut aussi, comme fait M. Vkblen, la démontrer d'une manière générale en donnant de la courbe simple une définition non-métrique, ce qui a l'avantage d'affranchir la Topologie de la Géométrie métrique. Enfin M. ScHÔNPLiiss a remarqué que cette propriété, qu'une courbe fermée partage le plan en deux régions séparées, n'est pas réciproque, c'est-à-dire qu'il y a des ensembles de points qui partagent le plan de cette manière et qui ne sont pourtant pas des courbes continues'; et il définit comme suit la courbe simple fermée : « C'est un ensemble de points G parfait, qui partage le plan en deux régions E (extérieure) et I (intérieure), telles que : 1° Deux points quelconques, soit de E, soit de I, peuvent être joints par une ligne simple qui ne rencontre pas C; 2° Tout point de C peut être joint à un point quelconque de E ou de I par une ligne simple contenue tout entière dans E ou dans I >i. Des conditions de l'énoncé il résulte qu'un point de E et un point de I peuvent être joints par une ligne simple qui n'a qu'un point commun avec C. Le même auteur démontre que
