Op. cit., p

2. Les rapports ilc la Logique et de la Mathémalique seront priSoisés dans noire Conciusion.

4 INTRODCCTIOK

lions explicites ou implicites : si ces liypothèses sont vraies (dans tel cas particulier), le théorème est vrai (dans le même cas). Cela montre bien le caractère logique des vérités mathématiques, et l'espèce de valeur qu'elles possèdent, et qu'on peut appeler : une nécessité hypothétique. On comprend dès lors la définition par laquelle débute l'ouvrage de M. Russell : « La Mathématique pure est l'ensemble des propositions de la forme : .. p implique q », p et q étant des propositions qui contiennent les mêmes variables et qui ne contiennent que des constantes logiques » '. En d'autres termes, la Malhémalique pure est un ensemble d'imp/i'caftons/bnHe^/esJndépendan tes de tout contenu. Et cela justifie cette assertion paradoxale et humoristique, émise ailleurs par le même auteur : <■< La Mathématique est une science où l'on ne sait jamais de quoi l'on parle, ni si ce qu'on dit est vrai- ». En effet, on ne sait pas de quoi l'on parle, puisque la matière des implications est indéterminée; et l'on ne sait pas si ce qu'on dit est vrai, puisque la vérité des conséquences dépend de la vérité des hypothèses, laquelle dépend à son tour du contenu qu'on leur donne'. Les Mathématiques appliquées consistent précisément à appliquer ces implications formelles à des données matérielles; dès lors, les thèses des théorèmes deviennent vraies dans les cas et dans la mesure où leurs hypothèses sont vérifiées par ces données; mais les théorèmes eux-mêmes sont toujours vrais, en tant qu'implications formelles, qui, comme on le verra, ne supposent ni la vérité de leurs hypothèses ni celle de leurs thèses, Le^ Mathématiques appliquées comprennent la Géométrie et la Mécanique, en tant qu'elles portent sur l'espace et le monde réels (ou plutôt actueh,

\. Ces expressions de conslanLes el de variables seront expliquées dans la suite.

2. Récent viork on the principles of ilalliematics, ap. The Inlernalioiml Monilily, vol. IV, n" 1, p. 84. Biirlinelon, juillet J901.

3. Il ne faut pas en conclure, comme les Bcepiiques conlemporaîns se sont empressés de le faire, qu'il n'y a pas de véi-ilé en MalliéiiiaLique, oar, quelle que soit la vérité des hypothèses et des conséquences, les implications dont elles font partie restent vraies, et sont par suiie absolument vraies. Le sens commun a donc raison de considérer les propositions mathénialiques (entendues en ce sens) comme le type de la vérité uni-

comme on dit en anglais), mais non en tant qu'elles spéculent sur un espace idéal et un monde possible. De même, elles comprennent l'Arithmélique des nombres « concrets », c'est-à-dire toutes les applications des nombres au dénombrement d'objets réels ou à lu mesure de grandeurs réelles. Telle est la distinction nette et logique des mathématiques pures et des mathématiques appliquées, qu'on a contestée récemment à tort, nous semble-t-il '.

Cette Tusion progressive de la Logique et de la Mathématique pure, qui a été împlicitementet presque inconsciemment réalisée par les travaux de Boole, de Schroder et de Peirce, d'une part, de Weierstrass, do Georg Gantor et de Peano, d'autre part, constitue évidemment une révolution dans la philosophie des mathématiques, et par suite dans la théorie de la connaissance. Elle était mûre pour un esposé systématique qui ((\l la synthèse de tous ces travaux épars. Gette synthèse, que nous attendions impatiemment depuis quelques années, elle existe aujourd'hui. L'ouvrage de M. Russell résume et coordonne les résultats des recherches critiques des mathématiciens modernes, et les théories nouvelles qui sont nées de ces recherches. C'est une reconstruction logique de toute la Mathématique pure au moyen de la " Logistique ■> de M. Peano, complétée et perfectionnée par l'auteur dans ie domaine encore neuf de la Logique des relations ^. Get ouvrage est en somme destiné à justifier la thèse de l'identité fondamentale de la Logique et de la Mathématique, en montrant que toutes les propositions de ceUe-ci reposent sur îteu/' notions indéfinissables et sur vingt principes indémontrables, qui sont les notions premières et les principes de !a Logique même.

A vrai dire, la démonstration formelle de cette thèse (au moyen delà Logique symbolique, seul procédé de raisonnement rigoureux et sûr) se trouvera dans le second volume, que M. Russell

1. L. WEBËTi, Vers lir posUinisme absolu par VùUalisme, p. 243 sqq. Paris, Aloan, 1903.

2. Voir RcssELL, Sui- la Logique des relations, avec dfs n/iplicalions à la théorie des séries, ap. Reçue de Mathématiques de G. Peano, t. Vil, p. J13-liT. Turin, 1803.

6 IXTRODLiCTION

prépare avec la coilaboration de M. Whilehead, l'auteur d'un beau 7'railé d'Algèbre universelle'. Mais elle se trouve déjà implicitement dans les travaux de M. Peano el de son école, et notamment dans le Formulaire de Mathématiques qui en est le principal fruit.

C'est celle démonstration que nous voulons exposer sommairement, sous une forme sans doute moins rigoureuse, mais aussi moins technique et plus accessible aux philosophes non initiés à la Logistique. Mais auparavant il importe d'énumérer les principes et les notions premières de la Logique, puisque ce sont les principes et les notions premières de toute la Mathématique, et qu'en tout cas il faut, pour pouvoir juger celte thèse, connaître la méthode par laquelle elle paraît pouvoir se justifier. Au surplus, nous avons dit que la Logique classique était radicalement insuffisante à rendre compte des raisonnements mathématiques; il est donc intéressant et même nécessaire de donner un aperçu succinct de la Logique moderne, qui, tout en englobant la Logique classique, est infiniment plus vaste et plus Gompréhensive, et qui est la vraie logique des mathématiques,

1. A trealise on Univei-sal Âlgebra, t. I (Cambridge, 1S98). Cf. noire article sur L'Algèbre unieerselle de il. Whilehead, ap. Revue de Métaphysique et de Morale, t. VIII, p. 323-362 (mai 1000).

CHAPITBE I

Comme toute théorie déduclive, la Logique formeiîe repose sur un certain nombre de notions premières (qu'on ne définit pas) et de propositions premières {admises sans démonstration). L'idéal serait évidemment de réduire tes principes et les notions premières au plus petit nombre possible; et c'est à quoi M. Russell s'est efforcé dans son ouvrage. Seulement, il a été ainsi conduit, pour ramener les formules et les déductions au maximum de simpSicité formelle, à énoncer ses principes sous une forme qui parait parfois artificielle et paradoxale, et qui n'offre pas toujours l'évidence que semblerait exiger le sens commun. Il faut sans doute renoncer à cette évidence, qui non seulement n'esl pas une condition de rigueur logique, mais qui l'exclut plutôt. Combien de théorèmes d'Arithmétique et de Géométrie sont plus « évidents » que les axiomes sur lesquels on les fonde! Jamais les Mathématiques ne se seraient constituées comme sciences déductives, si l'on avait accepté toutes les propositions reconnues évidentes, et s'il ne s'était trouvé des esprits pointilleux pour démontrer des vérités de bon sens, comme « 2 et 2 font 4 ». Quand on cherche, suivant le précepte de Leibniz, à " démontrer les axiomes », il est iné-

I. Cf. notre article sur La Loffique inathémaliqne de M. Peano, ap. RevJie de Métaphysique, t. VIT, p. 616-646 (septembre 1899). Nous (levons dire, toutefois, que nous ne souscririons plus à toutes les conclusions critiques de cet article.

8 l'RIKClfES DE LA LOGIQUE

vitable qu'on aboutisse à déduire des propositions évidentes de propositions qui le sont moins, e^ qu'on paraisse, par suite, justifier le clair par l'obscur, le certain par le douteux. Mais l'essentiel est de déduire logiquement l'ensemble des vérités admises du plus petit nombre possible de principes; il faut donc faire bon marché de l'évidence, condition toute subjective, donc variable, et psychologique, donc étrangère à la Logique; d'ailleurs, les principes participent de l'évidence que le sens commun attribue à leurs conséquences.

Néanmoins, pour ne pas rebuter ou scandaliser le lecteur, nous nous écarterons ça et là de l'énoncé des principes de H. Russell'. On sait du reste qu'il est toujours possible de remplacer par d'autres les principes d'une théorie déductive : il suffit souvent, pour cela, de changer le choix ou l'ordre des notions premières^. Des ensembles tout difl'érents de principes peuvent donc engendrer le même système de conséquences. Dès lors l'essentiel, dans une théorie logique, est moins l'ensemble nnriahle des principes que l'ensemble permanent des conséquences. Qu'il suffise au lecteur de savoir que les principes que nous substituerons, pour plus de clarté, à certains principes de M. Russell se déduisent formellement de ceux-ci, de sorte que, s'ils ne sont pas nécessaires, ils sont en tout cas suffisants pour fonder la Logique, et par suite la Mathématique pure''.

SA. — C.\LCOL DES Pboi'ositio.->is'.

La partie fondamentale de la Logique est le Calcul des propositions. En effet, si l'on voulait commencer par une autre

i. Op. cit., ch. II : Sijmho/ic Logic.

2. Cf. G. Peaso, Les définitions mathéHialii/ueB, ap. ISibUothét/ue du Cangi-ès de P/iilosapkie, t, III, p. 2S0 ; A. Padoa, Introduoiion loi/iqiie à une théorie déduatiae quelconque, ibid., p. 3lii.

3. Pour on exposé plua détaillé des principes de la Lo^'ique, nous renverrons le lecteur S notre Traité de Lofjistique, dont le présent chapitre est le résumé.

4. Russell, op. cit., gg U-10; notamment S IS, énumérotiun clos dix s du Calcul dea propositions.

théorie quelconque, on ne pourrait rien détiuirc des principes de cette théorie tanl qu'on n'aurait pas admis les principes du Calcul des propositions, qui sont le nerf de tout raisonnement. La relation principale de ce calcul est la relation d'implication entre deux propositions : c'en est la première notion indiilïnisaable. On désignera les propositions par les lettres p, q, r,... et l'on écrira <t p implique q » sous la forme suivante : p^q

Celle formule signiiie que « si p est vraie, q est vraie »; ou que i< si q est fausse, p est fausse »\ ou que u ^ ne peut être vraie et q fausse » ; ou que « ou bien p est fausse, ou bien q est vraie » '. Toutes ces assertions équivalentes (mais dérivées) ne peuvent servir qu'à expliquer l'implication p oq, mais non à la définir.

M. Russell définit les propositions comme suit : " Une proposition est ce qui s'implique soi-même, » Autrement dit, il prend pour définition de la notion de proposition le principe d'iden- Hlé. Pour dire que^, q,... sont des propositions, il écrit ; pj ap, q o q, etc. On voit déjà ici la différence entre tes définitions mathématiques et les définitions philosophiques. Au point de vue philosophique, la notion d'ivipHcation parait supposer celle de proposition, précisément parce que seules les propositions peuvent impliquer ou être impliquées ^.

Vient ensuite la définition du produit logique de deux propositions. Nous l'omettons, à cause d3 son obscurité et de sa complication; nous préférons admettre celte notion comme indéfinissable, et l'expliquer verbalement. Le produit logique de deux (ou plusieurs) propositions p, q,... est l'affirmation simullanÉe de ces propositions i il consiste à dire que p, q,. .

i. La deriiiÈi'e i1e ces interprétations verbales esL prcCérablG, parce CjU'elle est la moins équivoque.

2. M. Russell est ainsi amené à formuler deux autres principes qui nous seniljletil philosophiquement inutiles ou insigiiilian!.s : psq. a. pop

sont toutes vraies à la fois. 1! s'écrit p^^, ou bien simplement pq, comme un produit arithmétique.

L'équivalence de deux propositions peut maintenant se définir comme suit' :

p=^q .=^.p o q. q op

<< Dire que p égale q, c'est dire que p implique q et que q implique p''. »

Nous pouvons maintenant énumérer les cinq principes suivants en donnant leur formule symbolique (dans ce qui suit, nous supposerons une fois pour toutes, pour simplifier les formules, que jj, g, r sont des propositions) :

1° La loi commulative :

k/oi

«SlOtil

jïiue :

3" le principe de simplification ;

/> 1 g o p (( L'affirmalion pimnllanéc de p et de q implique l'afllrmaiion de p. »

i k j lin ipe cl r pot'l'o i

p o j po , o paq j

1 Lls poinh dans lis toniiults Kunanies remplacent (a\ec aianlige) des patenthèses Ils serrent a séparer les diverses parties d une formule On doit d abord unir les parties séparées par un seul point pui>j «.elles séparées par dciit point'* et ainsi de siitc 1! en résulte que la copule principale (celle [|i i .)nïtitiie la proposition totale) est celle f|ui est encadrée du plus ^rand nombre de points On économise des points au mo\en de i-irtaines conventuns par exemple en admettant que p? o i signilie Ipq) o i on pourra ecriie p q a > a.a lieu de p ; o j

2 11 ne faut pas croire que cette formule constitue un cercle vicieux parce qu on v emploie comme copule principale le signe a définir ^ Le ïigne 11 a pas le même sens dans les deui cas Comme copule principale, il signifie ' ét,a}e ] ai de/in (loi • et celte espèce d égalité conventionnelle el aibitraire en quelque soile est bien différente de lequnaleiice Une deflnilion en Matliematique et en Logistique consiste Ji donner un sens è, un sjmbole qui nen a pas encme en le posant comme équivalent il un ensemble de symboles ou il ne figure pas et qui a Uéji un sens Aussi une définition mathématique ou logique n'est-elle qu'une convention d'écriture, une abrévîalion. Ce n'est pas une proposition (qui serait nécessairement vraie ou fausse), encore moins un principe. Ct. ia-.Mélkadologie.

<c Si l'i implique ç, et si p implique r, p implique (j - v {l'affirmalion simultanée de q et de )■). »

3° le principe du syllogisme {hypothétique) :

« Si /( implique q, et si q implique r, p implique r. n Dons le langage de la Logique des relations, ce principe signifie que la relation d'implication est transitive.

On considère généralement le principe du syllogisme comme le fondement ou le type de toute déduction. Hais lous les autres principes de la Logique, qui sont indépendants de celui-là, peuvent servir, et servent en fait, de type et de fondement à des déductions. Il y a plus : le principe du syllogisme, comme les autres, ne peut justifier une déduction particulière quelconque qu'en vertu d'un autre principe, qui s'énonce : « Si l'on a une implication (vraie) p a q, et si l'hypothèsep est vraie, la thèse } est aussi vraie, de sorte qu'on peut l'affirmer isolément». Et en effet, en quoi consiste une déduction, par exemple une déduction syllogistique? Elle ne consiste pas simplement à constater et à affirmer une relation d'implication entre les prémisses et la conclusion : elle consiste en outre à constater que les prémisaus sont vraies (ou supposées telles), et à affirmer la conclusion « absolument », c'est-à-dire isolément. Or cela ne peut se faire qu'en vertu du principe précédent. Ce principe est donc indispensable et fondamental en Logique : c'est le nerf de toute déduction, puisque seul il permet de passer des prémisses a la conclusion : de remplacer celles-là par celle-ci, et par suite à'avani;er par étapes dans un raisonnement. Pour cette raison, nous l'appellerons désormais le principe de déduction '.

11 est remarquable que ce principe ne peut pas s'exprimer symboliquement. On pourrait être tenté de l'écrire :

p.poq.

yGoosle

12 l'RlN'CIPES ni! LA LOGIQUE

mais cette formule est indissoluble, et ne permet pas d'affirmer séparément q. Pour pouvoir le faire, il faudrait pouvoir supprimer l'Iiypotlièse f. p o </, ce qui ne se peut qu'en vertu du principe en question. Comme le remarque M, Rusaell, ce principe marque la limite du symbolisme. Il n'y a rien d'étonnant, d'ailleurs, à ce que le symbolisme ne réussisse pas à traduire tous les principes, car il faut évidemment définir verbalement les premiers symboles et les premières formules.

Ce n'est pas tout ; h ce principe il faut adjoindre le principe desuèstitulion, qui s'énonce : n Dana une formule générale, à un terme général ou indéterminé on peut substituer un terme particulier ou individuel n. Gela est évident, puisqu'une formule générale n'a de valeur et même de sens qu'en tant qu'elle peut s'appliquer à des termes particuliers. Ce principe, comme le précédent, ne peut pas se traduire en symboles, justement parce qu'il fonde l'emploi des symboles; et, en effet, on ne pourrait l'exprimer, y compris la notion de « terme particulier ■>, qu'au moyen de symboles généraux; mais, pour l'appliquer à des termes réellement particuliers, il faudrait pouvoir substituer ceux-ci aux termes généraux qui les i-e présenteraient dans la formule, ce qui ne se peut qu'en vertu du principe lui-même'.

Il convient d'introduire dans le Calcul logique deux termes particuliers, le vrai (V) et le faux (a)- On peut les définir formellement comme suit ;

A o a' , ic o V quelle que soit la proposition x; autrement dit, a le faux implique tout, et le vrai est impliqué par tout ». On peut démontrer que les termes ainsi définis sont uniques. Celte

loUeiis (a or g est fausse; donc p est fausse i>) se tléduit du precédcnt au moyen du piincipe <k conlraposHiùn (voir plus bas).

1. Quanl au principe de la siibstituUon des équicalents, mis en avant par Staklsy Jevoss, ce n'est pas un axiome, mais un théoi'Ëme ou plutôt un ensemble de théorèmes qu'on démontre pour cbaque relation ou opération particulière. 11 constitue en elTet une propriété spéciaie tte certaines relations ou opérations, Èi savoir Viinifo'-mitg. far exemple, l'axiome d'EuoUde r ■ Égal ajouté à éRai donne égal - signirie que l'addition est une opération uniforme; et ainsi de suite.

définition un peu paradoxale se justifie par toutes les conséquences qu'on en déduit formellement.

On peut définir la somme lo^içue de deux propositions comme suit : La somme logique de deux propositions p el q est nne proposition s qui est impliquée par chacune d'elles, et qui implique toute proposition impliquée par chacune d'elles. Celte définition formelle se traduit par les formules :

pos . /j os : pox . 1] ox .0 . sox

On s'aperçoit aisément que la somme logique de deux propositions est leur alternative :» oa p est vraie, ou g est vraie », ou simplement : « p oa q ». Gala représente parp^ç. Les formules précédentes deviennent en conséquence :

Les deux premières s'appellent, par analogie, principe de simpH/icatioH ; la dernière, principe de composition.

On peut maintenant définir formellement la »égation. La négation (ou mieux, Ib. riégaiive) d'une proposition p se représente par -p, qui s'énonce : non-p. C'est, par définition, une proposition qui vérifie avec p les deux relations suivantes :

Il L'affirmation simultanée de p et de non-^ est fausse; l'aUernative de p et de non-p est vraie, n La première de ces formules est leprincipe de contradiction : « p et non-;j no peuvent être vraies à la fois ». La seconde est le principe du milieu exclu : « ou p est vraie, ou non-p est vraie ». Ainsi ces deux « principes )i constituent en réalité, réunis, la définition de la négation. Ils sont donc indépendants l'un de l'autre, et indépendants chacun du principe d'identité '.

Pour démontrer que la négative d'une proposition est unique,

I. Toutes les démonstrations par lesquelles on a prétendu déduire ces deuK principes, soit l'un de l'autre, soit du principe d'identité, présupposent la notion de négation, et constituent par conséquent un cercle

f4 PRINCIPES DE LA LOGIQUE

il faut ad mettre encore une proposition première, le principe

de cûiitraposUîon ' :

po q .0 .- qo-p

« Si p implique q, non-q implique tion-p », d'où l'on déduit la loi de double négation :

« La. négative de noti-p équivaut à p », ou, comme on dit vulgairement : Deux négations valent une affirmation .

Pour compléter le Calcul des propositions, il faut introduire un dernier principe, que nous appellerons le principe d'assertion, et qui s'énonce par l'une ou l'autre des formules suivantes ^ :

quelle que soit la proposition ;j. En d'autres termes, une proposition quelconquep équivaut à l'affirmation : n p est vraie >i, ou à l'aflirmalion : « non-p est fausse » ■'.

Du principe d'assertion on peut déduire le principe d'importation et d'exportation, que M. Peano prend pour proposition première :

p.o.qor:=.pr.qor

« Dire que p implique que q implique r, c'est dire que p et q réunies impliquent r. » Ce principe peut se décomposer en deux implications inverses, le principe d'importnlion :

p .a .qor:o .p r.qor

en vertu duquel on peut importer dans l'implication qor

i. Ainsi appelé parce qu'il est le fondement de la conlraposition classique (par laquelle de - Tout a est 6 » on déduit" Tout -non-b est non-n -). C'est aussi, comme nous l'avons dit, le fondement du raisonnement tiypo. thétique {modus tollens), et par suite de tous les raisonnements dits pur l'absurde, si fréquents en Matliématiques.

2, GefideuK formules sont équivalentes, car on peut démontrer, au moyen des principes pricédenls, que -V = a. et que :

l'hypothèse p qui en est la condition; et le principe d'expor-

laliun :

p '-^ qor . : p . D .qor

en verlu duquel on peut exporter de l'implication p "■ qo r inie de ses hypothèses, |>.

Le principe d'assertion permet encore de réduire une implication à une alternative, su moyen de l'équivalence :

poq . = .-p-.,j

« Dire que p implique q, c'est affirmer non-;j ou g »>, c'est-àdire iKoap est fausse, ou ^ est vraie ». On se rappelle que c'est par cette alternative que nous avons expliqué plus haut l'implication.

Le principe d'assertion a encore une fouie de conséquences importantes, dont les unes sont évidentes et conformes au bon sens, et les autres paradoxales. En vertu du principe du milieu exclu, on peut affirmer que toute proposition est vraie ou fausse, et, en vertu du principe de contradiction, qu'elle ne peut être à la fois vraie et fausse '. Le vrai et le faux sont donc deux valeurs exclusives l'une de l'autre, et les seules que puisse prendre une proposition quelconque.

Mais de ce truisme résultent îles conséquences comme celles-ci :

c'est-à-dire : Une proposition quelconque équivaut à une autre proposition quelconque ou à sa négative (et, en effet, de deux propositions qui sont la négative l'une de l'autre, l'une est vraie et l'autre fausse, nécessairement). Toutes les propositions vraies sont équivalentes; toutes les propositions fausses sont équivalentes. Chaque proposition fausse implique toutes les propositions {vraies ou fausses); chaque proposition vraie est impliquée par toutes les propositions [fausses ou vraies). Ces

1. Seul, le principe d'assertion permet de démontrer que - le vrai n'est pas le faux -, en symboles : V-^a- Celle formule ne peut pas se déduire des autres principes, comme le prouve le Calcul des classes.

16 PiilNCIPEa DF LA LOGIQUE

paradoxes inévitables (car ce sont des conséquences nécessaires du calcul, el cela dans n'importe quel système de Logique) s'expliquent par le fait que l'implication ici considérée est Vhnplication matérielle, et non pas VimpHcalion formelle, qu'on définira plus loin, et à laquelle tout le monde pense quand on parle d'implication. L'implication matérielle (poq) ne signifie rien de plus que ceci ; » Ou p est fausse, ou q est vraie ', » Peu importe que les propositions pelq aient entre elles un rapport logique ou empirique quelconque; rimplicalion est vérifiée dés que p est fausse (quelle que soit q) ou dès que q est vraie (quelle que soit p). Voilà pourquoi on arrive à ce résultat paradoxal, que le faux implique le vrai.

Ces vérités paradoxales servent d'ailleurs à résoudre correctement certains paralogismes ou certains paradoxes où le bon sens vulgaire risquerait de s'embarrasser. Tel est, par exemple, le problème de Lewis GarroU: « ^impliquer; mais p implique que q implique non-j'; que faut-il en conclure? » Un raisonnera comme il suit : ;) implique non-^ ou non-c; or non-c implique non-ç, donc p implique non-y, c'est-à-dire la vérité de p implique la fausseté de (/. Mais Lewis Carroll raisonne autrement Si q implique r, il est impossible que q implique non-i- ; donc p implique l'impossible, et par suite est faux. Celte concluMon est fausse, parce qu'il est possible que q implique à la fois)' et non-!'; seulement alors ij- est faux (comme impliquant deux propositions contradictoires)".

§ B. — Calcul ces Classiîs^

Tandis que Boole et Schroder, sous l'influence de la Logique classique, considéraient le Calcul des classes comme antérieur au Calcul des propositions, M. Russell le considère comme postérieur. Pour lui, l'idée de classe est une notion dérivée,

I. Cette équivalence est bien connue en Logique classique, car c'est elle qui sert à Iransformei' un jugement hypoihéiiiiue en jugement disjoncliT, ou inversement.

3, Voir le Mind (l'avril et juillet 190Ô (p. 293, iOD).