RuBSELL, op. cil., U

subordonnée h colle de proposilion, et même à celle ile fonction. On appelle fonction, en Logique comme en Mathômalique, toute expression contenant une ou plusieurs variables'. Mais la notion logique de fonction est beaucoup plus étendue que la notion mathématique, car elle comprend même les relations affirmées ou propositions {ce que l'on appelle en Mathématique les équation?). Par exemple, en Mathématique, <■ sin x » est une fonction, " sin a; =; 1 » est une équation ; mais, en Logique, ces deux expressions sont des fonctions.

Maintenant, qu'est-ce qu'une variable? La réponse à cette question est très difficile : on peut dire, en gros, qu'une variable est un terme indéterminé auquel on peut substituer un terme déterminé quelconque, qu'on appelle une valeur constante de la variable. On appelle fonction proposilionnelle une fonction logique qui, pour toute valeur attribuée à la variable (ou ans variables), dément une proposition. Une fonction propositionnelle n'est pas par eile-méme une proposition, car elle n'est ni vraie ni fausse, elle est indéterminée. Elle ne devient une proposilion vraie ou fausse que lorsqu'on en détermine le sens en substituant à la variable une valeur particulière.

Cela posé, soit ^ aa; une fonction proposilionnelle d'une variable x. Celte fonction a un sens (est une proposition] pour chaque valeur attribuée kx\ elle est donc (en général) vraie pour certaines de ces valeurs, et fausse pour les autres. Elle détermine ainsi une classe, c'est-à-dire l'ensemble des valeurs de X pour lesquelles elle est vraie. Cette classe sera désignée par le symbole : xs^x, qui peut se lire : n l'ensemble des x qui vérifient ax ». Le signe s est donc un symbole opératoire qui fait correspondre une classe à une proposition'. Il donne lieu à un axiome qui se formule comme suit :

1. V, FnaoE, Fmclian uml Begri/f{lsna, Polile, 1891), et Was isl eitte Funklion ? op. Boltzinann-Festachrifl (Leipzig, Bartli, 190i).

2. Nous désignerons les foDCtions par des leltres grecques, pour ne pas les confondre avec les propositions et avec les classes (voir p. 18, noie i).

3. Ce symbole se traduit dans le laugage par gui, tel qiie, etc. : « les œ qui vérifient çir; les x tels que ^œ est vraie, etc. . On voit qu'il est

CouïUfl^T. — Les principes des mâtln^matiqUGS. 3

ce qui signifie : «■ Si les deux fonctions proposilionnelles t^x et ■Ifx sont équivalentes, les classes correspondantes sont égales (identiques) ». En termes mathématiques, cela veut dire que la correspondance des classes aux fonctions propositionnelles est uniforme. ■

Le symbole inverse e fait inversement correspondre une proposition à une classe. li signifie qu'un terme particulier (un individu logique) appartient à une classe; soit a une classe', la formule : k sa signifie que l'individu k appartient à la classe a ou, comme on dit, « est un a » ^.

Combinons maintenant les deux symboles inverses z et a, et écrivons, par exemple :

Celte proposition signifie que k appartient à l'ensemble des valeurs qui vérifient la fonction ax, et par suite vérifie i^x; autrement dit, que ^k est vraie. On peut donc ccrire l'équivaience :

k e (x s ax) = -i/;

Inversement, il est aisé de voir que l'expression :

représentant l'ensemble des valeurs de a; qui vérifient la p) cposilion V xsa», représente la classe a elle-même; on peut donc

et dire, grosso modo, que les deux symboles x z at x t &e détruisent mutuellement^.

indispensable pour traduire en formules les propositions . relalives -, qui échappaient entièrement à, la Logique classique.

1. Nous désignerons les classes par les preuiiËres lettres de l'alpiiabct : a, b, c,... les individus déterjninés par les lettres h, l, m, n,... et les individus indéterminés (variables) par x, y, i.

2. De là vient le clioiï de la lettre e, initiale du mol èd-ii.

3. L'ordre logique attribué par M. Hussell à ces symboles est l'inverse de celui que leur assigne M. Peano. Celui-ci commence par poser comme indéllnissable la relation s: ta, puis il définit la relation inverse a en posant :

Mais cela suppose qu'a toute fonction propositionnellc de j: eorres]jond

La correspondance ainsi établie entre les fondions propositionnelles et les classes permet de définir entre les classes des relations analogues à celles qui existent enlre les propositions. Ce sont d'abord la relation d'inclusion, qui correspond à l'iîiiplicatio'i :

a lib . =^ : 31 ^ a . . X tb

« Dire que la classe a est contenue dans la classe b, c'est, par définition, dire que » œ est un a » implique « x est un b ». »

Et la relation d'égalité, qui correspond à Véquivale»ce des propositions :

a:=l>.=^: xsa.=:.xtb

« Dire que les classes a et b sont égales, c'est dire que les propositions n x est un a » et « x est un b » sont équivalentes'. » On a par suite l'équivalence ;

a := h .^.ao b .1 o a

entre classes comme entre propositions.

Deux classes égales sont identiques, puisque, en vertu de l'équivalence précédente, tout élément de l'une appartient à l'autre, et vice versa.

On peut définir ensuite la multiplication logique des classes :

a r, b . = . x'^ {.£ s a .X i b] n Le produit logique des classes a et 6 est l'ensemble des x qui sont à la fois des a et des b. » D'où, en opérant sur les deux membres par xt, on tire :

une classe, c'est-i-dire que toute assertion relative à x revient a affirmer que a; appartient à une classe déterminée au moins implicitement. Or c'est ià une hjpothÈse gratuite (c'était le postulat de la Logique classique} et qui donne lieu à de graves difficulléB. En tout cas, le symbole s n'a d'usage réel que lorsque la proposition relative à a: n'est pas déjà de la forme X t a.

1, Cette formule est analogue k celle de l'axiome énoncé plua haut : f^x = fb^ . o : ^ 3 ipj? . = . ^ ? ^x mais, pour qu'elle lui fût identique, il faudrait, d'abord, qu'on pfit remplacer la copule o par la copule =; ensuite, qu'on pût affirmer que toute fonction propositiounelle est réductible aune assertion de la forme:

(i Dire que x est un « « et 6 », c'est affirmer à la fois que x est un a et que x est un b. a De même, on définit l'addition logique des classes :

" La somme logique des classes a et 6 est l'ensemble des x qui sont, soit des a, soit des b. » D'oii l'on tire :

xiiw- b).:=.xta.~j.xtb

« Dire que x est un « a ou b », c'est arfirnier que x est un a ou que X est un b ".

De même, enfin, on définit la négative d'une classe :

(1 La négative - « de la classe « est l'ensemble des x qui ne sont pas des a. » D'où l'on lire :

il Dire que x est un non-a, c'est dire que x n'est pas un a. » 11 importe de distinguer soigneusement les deux relalions e et o, qui, confondues par le langage, ont été longtemps identifiées par les logiciens ^. Par exemple, dans le syllogisme classique :

Tout homme est mortel

Socrate est homme Donc Socrate est mortel la copule de la majeure est o, mais celle de la mineure et de la conclusion est e. En effet, o est une relation entre deux classes, dont la première est contenue dans la seconde, tandis que s est la relation d'un individu à une classe dont il fait partie. Il en résuRe que le syllogisme précédent a pour formule :

ao b . X t a . o . X s h

landis qu'un syllogisme ordinaire (entre classes) a la formule :

aob.coa.o.cob

I. Le symbole -e est la négation du symbole e; cette négation porle V la proposition tout entiÈre dont s est la copnle. i. Celle distinction est due à M. Peano.

bien distincte de la proccdeiite. Au point de vue du ealcul, la relalion s diffère de la relation o en ce qu'elle n'est pas Iransicive : de (a; E y . 1/ s s) on ne peut pas conclure x s z, parce que y est une classe dont x est un individu, et que s est une classe dont la classe 1/ est un individu : s est donc une classe de classes analogues à 1/, et ne peut (en général) comprendre x parmi ses élémenls.

Ces considérations obligent à distinguer même une classe singulière de l'individu unique qu'elle contient, de sorte qu'on ne peut pas poser en général : a^ e a;, La classe singulière formée du seul élément a; sera représentée par ix, « égal à a: » '■ On définit formellement ce symbole comme suit r

'»■ = ?/ My = ^)

D'oii : >jt:x. = .y = x

ce qui montre que la combinaison des deux symboles « et 1 équivaut au symbole ^. On a donc toujours : xz:x.

Inversement, si a est une classe singulière, son élément unique sera représenté par ^a, qu'on peut lire r « le n ». En résumé, le signe i transforme un individu en une classe singulière; et le signe inverse 1 transforme une classe singulière en un individu. On a les deu.t égalités équivalentes :

Nous pouvons maintenant définir l'implication formelle. C'est l'espèce d'implication qui existe entre deux fonctions propositionnclles contenant les mêmes variables, et qui vaut pour toutes les valeurs possibles de ces variables. Une implication formelle enveloppe donc l'affirmation simultanée d'une multitude d'implications matérielles, dont chacune correspond à une valeur différente des variables : et elle n'est vraie que si toutes ces implications sont vraies. C'est donc, à proprement parler, un ensemble d'implications. On obtient une implication formelle (vraie ou fausse) quand dans une implication matérielle on change une coustanle en variable. Par

S2 PlilN'ClPES DE LA LOGIQL'E

exemple, si dans « Socrale est homme implique que Socrale est mortel » on remplace le terme Socrate par l'indéterminée a;, on trouve : u x est homme implique que a; est mortel »; et cette fonction propositionnelle est une implication formelle, car elle est vraie quel que soit x '. Non seulement, en effet, on peut substituer à x n'importe quel homme, mais n'importe quel autre terme ; car si " x est homme « n'est pas vrai (pour une valeur donnée de x), l'implication matérielle correspondante sera sûrement vraie.

Nous venons de montrer, par un exemple, que la variabilité des variables logiques est en principe illimitée. Nous avons dit, d'ailleurs, qu'une implication formelle vaut pour toutes les valeurs possibles de la variable -. Si une implication formelle (^x a 'la;) ne valait que pour un certain ensemble de valeurs de la variable, cet ensemble formerait une classe et, et l'on devrait écrire l'hypothèse xza comme condition de l'implication précédente; on aurait ainsi :

Or, dans cette nouvelle implication formelle, x peut prendre toutes les valeurs possibles, sans aucune restriction. Donc tonte implication conditionnelle ou limitée revient en définitive aune implication illimitée ou inconditionnée.

La formule précédente est le type des Ihéorèmes de Mathématiques. En elfet, une formule mathématique ne vaut, en

i. lîn effet, elle équivaut, par définition, à la proposition universelle : •1 Tout liomme est mortel '>; en symboles :

De celte équivalence se déduit la 2' formule du sjllosisme. En effet, cette équivalence contient l'implication suivante :

qui, grâce au principe d'imporiation, devient la formule en question :

2, Pour faire ressortir cette condition, M. Peano inscrit la ou les variables comme indices au signe o : exemple ; sa' a^ -'jx. Celle notation a en outre l'avantage de distinguer nettement une implication formelle d'une implication matérielle.

général, que lorsque les variables qui y figurent restent dans un certain domaine de variabilité. Il faut donc énoncer comme hypotlièse que les variables appartiennent à tel ou tel ensemble de valeurs. Par exemple, la propriété commutative de la multiplication s'écrira comme suit :