Postulat IV de M. Peako

CouTUBAT. — Les princifcs des mallidmatiqucs. 13

forijienl un groupe. Le deruier ^'appelle résultant des deux autres; c'est le produit relatif des deux relations [j. et v; on le représenter!! par [jw^v.

En particulier, le produit ^'\i. (quel que soit y.) sera un mouvement qui laisse fixes tous les points, c'est-à-dire iiuî transforme chaque point en lui-même. C'est ce qu'on nomme la transformation identique (la relation d'identité), ou le repos. Ainsi le repos est un cas particulier du mouvement '. Pour exclure ce cas exceptionnel, on dira d'un mouvement qu'il est effectif ou propre.

<i VII. Pour chaque couple de points distincts, il existe un mouvement effectif qui les laisse fixes, » Ce postulat affirme l'existence du mouvement de rotation d'une figure quelconque autour de deux de ses points.

<i VIII, a, b, c étant des points distincts, s'il existe un mouvement effectif qui les laisse fixes, tout autre mouvement qui laisse fixes a et 6 laissera fixe aussi c. n

Ce posfulat est le fondement de la notion de droite : dans l'hypothèse énoncée, les trois points a, b, c seront dits colUnéaires; et la droite ab sera, par définition, l'ensemble des points collinéaires avec a et 6, c'est-à-dire des points qui restent fixes dans tout mouvement qui laisse a et 6 flxes ^ On remarquera que la droite est définie dans sa totalité, et que rien dans celle définition n'implique un ordre ou une situation relative entre les points a, 6, c. On démontre qu'une droite est déterminée por deux quelconques de ses points, c'est-à-dire que, si c et ci sont des points distincts de la droite aè, celle-ci coïncide avec la droite cd.

Il convient de remarquer que le postulat VIII n'est vrai que dans l'espace à trois dimensions, que par suite il implique la limitation à trois du nombre des dimensions, et que la définition précédente de la droite n'est valable que dans un tel

1. Postulat II de M. Peano : « L'identité est un mouvement, c'est-à-dire toute figure est oongruente h elie-même » ((oc. cit., p. 78).

S. C'est lii une des définitions de ladroiteproposées par LEiosrz. Elle ne difftre pas, au tond, de la définition fondée sur la notion de congrucnce

GÉOMÉTRIE MÉTRIQUE IflS

espace. De plus, ce même postulât exclut l'espace riemaiinieii (espace elliptique de Klein), de sorte que toutes les proposilions suivantes ne sont vraies que dans l'espace euclidien et l'espace lobatchevskion.

On peut démontrer que, si trois points a, Ij, c sont collînéaires, leurs correspondants (dans un mouvement quelconque} sont aussi collinéaires; en d'autres termes, que tout mouvement transforme une droite en une droite. Cette proposition était un des postulats de M. Pascu et de M. Pkamo '.

On peut maintenant définir le plan comme suit : « a, 6, c étant trois points non collinéaires, on appelle plan alic la figure formée par toutes les droites qui joignent n à un point de bc, i à un point de ac, et c à un point de ab. »

On démontre que les droites ab, ac, bc appartiennent au plan abc; et que fout mouvement transforme un plan en un plan. Mais on ne peut pas encore prouver qu'un plan est déterminé par trois points. Il faut admettre le postulat :

<i IX. a, b, c étant trois points non collinéaires, et d un point de bc autre que b, le plan abd est contenu dans le plan abc. » On en déduit aussitôt que les plans abc et abd coïncident. On démontre alors que, si d, e, f sont trois points non colUiiéaires du plan abc, celui-ci coïncide avec le plan def\ c'est ce qu'on exprime en disant qu'un plan est déterminé par trois de ses points non collinéaires. Ou démontre aussi qu'un plan contient toute droite qui joint deux de ses points ^.

On peut définir la sphère de centre a qui passe par b comme l'ensemble des points pour chacun desquels il y a un mouvement qui le porte en b en laissant a fixe. On la représentera par ba^. On remarquera que cette dèfinitLon équivaut à la définition fondée sur la congruence : " ensemble des poinls c

J. Ce que M. Vinso exprime en iliaant que le mouvement est une espèce C'affinilé (Postulat I, loo. cit., p. 18).

a. TliéorÈme d'Euclide {XI, 1) pris par certains auteurs modernes (Leoendre.) pour dâdnitîon du plan.

3. On remarquera que par sphère on entend ici la surface sphèrlriue; on disLinsuera plus loin les poinLs intérieufs et extérieurs i la sphère : les points intcfieufs consUUieront, avec la surface, le solide appelé s/)hère.

i96 LA GÉOMÉTRIE

tels qu'on ait : ac = ab » '. Tout mouvcmenl Lraasforine une spliÈre en une sphère; et tout mouvemcnl qui laisse fixe le eentre d'une sphère la transforme en elle-même. Si deux sphères, de centres a et 6, n"ont qu'un point commun c, ce point devra appartenir à la droite ab.

Pour pouvoir définir certains mouvements particuliers qui consistent à rabattre une droite sur elle-même, il Taut introduire les postulais suivants :

" X. a et ô étant des points disUncts, il y a un mouvement qui laisse fixe a, et transforme b en un autre point de la droite ab. » Ce mouvement est évidemment effectif, et transforme la droite ab tout entière en elle-même. De ce postulat on déduit que la sphère de centre a passant par 6 a un second point commun avec la droite ah.

« XI. a, fi étant des points distincts, si deux mouvements qui laissent fixe a transforment b en un autre point de la droite ab, ce point est ie même dans les deux mouvements. » En d'autres termes, la sphère de centre a passant par b n'a qu'wn sewi autre point commun avec la droite ah. Ce point, qui est ainsi déterminé d'une manière univoque, s'appellera te symétrique de b par rapport à a [sym„è]. Soit *' ce point : on peut prouver que le symétrique de b' par rapport à a est b.

« XII. a, b étant des points distincts, il y a un mouvement qui transforme a en b, et qui laisse fixe un point de la droite ab. >i Ce même mouvement transforme b ea a; a ei, b sont symétriques par rapport au point fixe de la droite ab. Ce point fixe est unique; on l'appellera le milieu de a et 6 [med (a, fi)]. C'est ie centre d'une sphère qui passe par a et fi, et c'est le seul point de la droite ab qui possède cette propriété. Les propriétés du symétrique et du milieu se conservent dans tout mouvement.

Pour pouvoir définir le rabattement d'un plan sur lui-même, Où a besoin des postulats suivants :

« XIII. a, b, c étant trois points non collinéaires, il y a un

GEOMETRIE MCTIllQUE 197

mouvement qui laisse fixes a et b, et qui transforme c en un autre point du plan abz. r> On dit que ce mouvement rabat le pian abc sur lui-même en le faisant tourner aLitour de a et*.

" XIV. a, b, c étant trois points non collinéaires, et rf, e des points du plan abc communs aux sphères c^ et t;, et différents de c, ces deux points d eX e coïncident. » En d'autres termes, il n'y a dans le plan abc qu'un seul point, autre que c, qui ait les mêmes distances que c aux points a et b, quand a, b, c ne sont pas en ligne droite (car, quand ils sont collinéaires, il n'y en a aucun).

On définit le cercle : l'ensemble des points qui appartiennent à la fois à une sphère et à un plan qui en contient le centre. Le cercle a pour centre le centre de la sphère. Il pourra s'indiquer par la même notation que la sphère, quand on saura dans quel plan il se trouve. Les postulats XIII et XIV prennent alors la forme suivante : « Dans le plan abc, les cercles c„ et Ci ont un point commun, et un seul, autre que c. »

On peut définir la perpendicularité de deux droites comme une relation entre 3 points : « Dire que le couple {a, c) est perpendiculaire au couple (a, h) [ce qui s'écrit : [a, c) j [a, b)], c'est dire qu'il existe un mouvement qui laisse fixes a et ft et qui transforme c en un autre point de !a droite ca. » Cet autre point est, comme on sait, le symétrique de c par rapport à a. Celui-ci se trouve dono sur la sphère c,,; et réciproquement, si sym „c se trouve sur C;,, (a, c)j{a, b). La relation de perpendicularité est symétrique. On la transforme aisément en une relation entre les deux droites ab, ac, pour obtenir la notion usuelle de perpendicularité. On démontre que, par un point extérieur à une droite, on peut lui mener une perpendiculaire, et une seule; bien entendu, cette démonstration est logiquement fondée sur les postulats énoncés, et non pas, comme la démonstration ordinaire, sur des considérations intuitives.

Pour pouvoir sortir du plan, et considérer plusieurs plans, il faut admettre le postulat :

198 LA GIÎOÎIETRIE

" XV. a, b, c étant des points non collinéaires, i! existe au moins un point liors du plan abc. »

En effot, nous n'étions pas eueore sortis du plan, bien que nous ayons appris à le retourner : c'est que, comme nous l'avons dit, on n'a pas h considérer les positions intermédiaires du mouvement; nous avons admis le retournement sans savoir comment il est physiquement possible, ni par où passe le plan pour se retourner sur lui-même. On dira que des points sont complanaires, s'ils appartiennent tous h un même plan. Si 4 points ne sont pas complanaires, 3 quelconques d'entre eus ne peuvent être coliinéaires.

11 faut admettre qu'on puisse rabattre un plan sur un autre plan; c'est l'objet du postulat suivant :

n XVI- 0, i, c, d étant 4 points non complanaires, il existe un mouvement qui laisse fixes a et 6 et qui transforme d en un point du plan abc. » Par suite, puisqu'un plan est déterminé par 3 points, le plan abd vient coïncider avec le plan abc. Les postulats XIII et XVI affirment la possibilité du mouvemeni de rotation. On peut alors démontrer qu'il existe un mouvement de translation, e'est-^-dire tel qu'un plan glisse sur luimême pendant qu'une de ses droites glisse sur elle-même On démontre ensuite qu'on peut mener une perpendiculaire à une droite en un de ses points dans un plan qui la contient. Que cette perpendiculaire soit unique, cela a pu être démontré auparavant, indépendamment du postulat XVI.

On peut dire qu'un point a est équidislant de deux points b et c, s'il est le centre d'une sphère qui passe par b et c. On démontre alors que le lieu des points équidistants de deux points distincts a et b, dans un plan contenant a et b, est la droite perpendiculaire à ab au milieu de a et b\ puis, qu'une droite jM perpendiculaire à deux droites aô, ûc est aussi perpendiculaire à toute droite qui passe par a et est située dans le pian aie. D'où la définition de la perpendicularilé entre une

1. C'est la défi ni lion du mouvemeni de translation donnée par M. MÉnAï, qui en postule la rossibililé r Nouceaux Eléments de Géomélrie, 2° éd., % 3a Diion. I90Î).

GEOMETRIE METRIQUE 109

droite et un plan. On êLablit ensuite le Ihéorème des 3 perpendiculaires, d'où il résulte (]ue par un point extérieur à un plan on peut lui mener une perpencUculairc, et une seule. On démontre aussi que par on point d'un plan on peut lui mener une perpendiculaire, et une seule. (Gela exclut la possibilité d'une 4° dimension, en conséquence du postulat VIII.) Inversement, i! n'y a qu'un plan perpendiculaire à une droite en un de ses points. On prouve alors que deux plans qui ont un point commun ont une droite commune (ce qui est une conséquence des trois dimensions), et cela, sans faire appel, comme d'ordinaire, à des considérations intuitives de Topoiogie (distinction des deux régions de l'espace que sépare un plan) '.

Les 16 premiers postulats, et les propositions qui en dccoulonl, concernent uniquement des relations de situation. On va voir maintenant comment de ces relations de situation on peut passer aux relations de grandeur qui constituent l'objet propre de la Géométrie métrique. Par opposition aux propriétés dcscripLivea qui nous ont occupé jusqu'ici, on peut appeler celles qui vont être mentionnées des propriétés segmenlaîres, car elles reposent sur la notion fondamentale du segment recliligne compris entre deux points.

Un point est dit intérieur h. une sphère, s'il est le milieu de deux points distincts de cette sphère. 11 est dit extérieur dans le cas contraire (et s'il n'appartient pas à la surface de la spliére). Dans un plan, un point est dit intérieur ou extérieur h un cercle, suivant qu'il est intérieur ou extérieur à la spbfere qui a même centre que le cercle et qui passe par ce cercle. On appellera sphère polaire des points a et 6 la sphère qui a pour centre le milieu de ces points et qui passe par eux. On dira qu'un point x est entre a et è, s'il appartient à la droite ab et s'il est intérieur à la sphère polaire de a et b. Enfin, on

1. Voici en deux mots cette démonstration. Soient les plans p et ç qui ont en commim le point a. Soient )• et s [es droites pei^pendiculaires respectivement à p et 5 au point a (elles esistent, et sont disLinotes). Soit ( la droiie perpendiculaire aux deux droites r et s au point a (elle existe, et est déterminée). Cette droite appartient à la Fois an plan p, comme perpendiculaire à !■, et au plan q, comme perpendiculaire à s.

200 LA GÉOMÉTniE

appellera segment ah l'onsemble des pointa situés entre a et b, en y joignant les points a el b (appelés extrémités du segment). On retrouve ainsi, par des définitions p-j'^ement logiques et nominales, la notion fondamentale de la Géométrie descriptive, à savoir celle de segment rectiligne.

11 faut y joindre trois postulats relatifs à la situation :

« XVII. a, b, c, d étant 4 points eoUinéaires distincts, le point d ne peut se trouver sur un seul des segments ai, ne, bc. » C'est-à-dire que, ou bien il ne se trouve sur aucun d'eux, ou bien il se trouve sur deux au moins d'entre eux.

M XVIll. a, 6, c étant 3 points collinéaires, si c est entre a et 6, aucun point ne peut être à fa fois entre a et c et entre b et c. >i Autrement dit, les segments ac et bc n'ont aucun point commun. Il en résulte que le point d (dans le postulat XVll) ne peut se trouver que sur deux des trois segments ab,ac, bc. On démontre que, si c est entre a el 6, a ne peut être entre b et c, ni b entre a et c. Cette propriété détermine l'ordre linéaire des points de îa droite. On prouve que, dans la même hypothèse, le segment ab contient les segments ac et bc, et qu'il en est entièrement composé. On peut alors démontrer que la sphère de centre a qui passe par b, et la sphère de centre b qui passe par a ont un point commun, c'est-à-dire qu'il existe un triangle équilatéral de côté ab, ce qui est la première (!) proposition des Éléments d'EucLiDE, dont la démonstration est, nous l'avons dit, tout à. fait insuflisante.

B XIX. a, b, c étant 3 points non collinéaires, toute droite du plan abc qui rencontre le segment ah doit rencontrer aussi le segment ac ou le segment bc, si elle ne passe par aucun des points a, b, c '. « De ce postulat il résulte que, dans la même hypothèse, si a' est entrée et c, 6' entre c et a, et c' entre n et ft, les points a', b', c' ne peuvent être collinéaires.

On peut ici délinir les prolongements d'un segment, la demi-

1. Comme \c remarque M. Pieui, on pei le posLuIatXVll dans l'énoncé un peu vagui

GliOMÉTnlE MÉTRIQL'E 201

droite, le demi-pkn, l'angle, suivant la méthode de il. Peano; puis l'inégalité de deux segments, comme suit : « Dire que le segment ab est plus petit que le segment cd, c'est dire qu'il existe un mouvement qui transforme a en c et 6 en un point situé entre c et ci. » On prouve que, si deux serments quelconques ne sont pas congruents, l'un d'eus, est nécessairement plus petit que l'autre. On définit d'une manière analogue l'inégalité des angles. On peut alors démontrer les théorèmes proprement métriques qui tiennent tant de place, et une place trop prématurée, chez Euclide et ses imitateurs; par exemple : « La perpendiculaire est plus petite que toute oblique issue du même point » (théorème qui se déduit des 18 premiers postulats).

On définit le triangle abc comme la figure formée par tous les segments qui joignent le point « à un point du segment bc. On démontre que la figure ainsi déterminée est identique à celles que déterminent le point b et le segment ac, ou le point c et le segment ab; et encore, qu'elle est identique à chacune des figures communes à deux quelconques des 3 angles bac, cfia, acb '. On peut alors démontrer les trois cas d'égalité des triangles ; le 3^ cas {3 côtés égaux) résulte d'ailleurs immédiatement d'un théorème qui repose sur les 16 premiers postulats. On démontre aussi que tout angle extérieur d'un triangle est plus grand que chacun des angles intérieurs non adjacents.

On définit enfin la somme de deux segments, et l'on peut alors démontrer presque tous les théorèmes des premiers livres d'EucUde qui ne dépendent pas du postulat des parallèles. Par exemple : « Dans un triangle isoscèle, tes angles à la hase sont égaux.» — a Si dans un triangle deux angles sont inégaux, au plus grand angle est opposé le plus grand côté, et réciproquement. » — « Chaque côté d'un triangle est plus petit que la somme des deux autres. » — « Si d'un point extérieur à une droite on mène la perpendiculaire et plusieurs

i. Cf. p. 131, noie 2,ett6i. Uruut remarquer qu'en Géométrie métrique les angles sont des demi-angles, c'est-à-dire des portions tle plan comprises enlre deux demi-droiles (sous réserïe de la note 3 de la page a02).

303 LA. GEOMETRIIÎ

obliques ix celle droile, la plus grande oblique esl celle qui s'éloigne le plus du pied de la perpendiculaire, et réciproquement. » — « Si deux triangles ont deux côlés égaux chacun ù, chacun, et les angles compris inégaux, au plus grand angle correspondra le plus grand câté; et réciproquement, o Ces exemples suffisent à montrer que les postulats précédents permettent d'établir logiquement toutes les relations do grandeur qui forment l'objet easenlifl de la Géométrie métrique.

Toutefois, ils ne suffisent pas à démontrer ce tliéorëme capital : «. I! existe un triangle dont les côtés sont respectivement égaux à 3 segments donnés, dont chacun esl plus petit que la somme des deux autres ' n, ou, ce qui revient au même : " Deux cercles d'un même plan se coupent, qnand la dislance de leurs centres est plus petite que la somme de leurs rayons, >i Et, en effet, ce théorème suppose un dernier postulat, l'axiome de continuité; il suffit d'ailleurs de postuler la continuité du segment de droite, comme suit :

" XX. Si k est un ensemble de points contenu dans le segment ab, il existe dans ce segment un point j; Ici qu'.uican point k n'est entre x et 6, et que, pour tout point y situé entre a et a;, il y a un poinl k situé entre y &\. x ou coïncidant avec x'',»

De ce postulat on peut déduire, comme on sait, l'axiome d'Archimède, qui est le fondement de la mesure des grandeurs. Alors, mais alors seulement, on peut affirmer que les segments sont des grandeurs mesurables; puis, une fois qu'on aura étendu ces axiomes aux angles, que les angles sont des grandeurs mesurables ^. Seulement la Géométrie métrique fait

]'. 11 est à peine besoin de dire que la dénionstralion qu'en donnent EuCLCDE et ses sueeejseurs est insuffisante.

2. C'est le inÈine postulat que celui de la Géométrie descrîplive dans le système de M. Prano {voir p. 167).

3. Les angles doivent être conçus, non comme des portions de plana (ensembles de points), mais comme des portions de taisccaux (ensembles de rayons). C'est ce que M. Russeli, prouve par des considérations inginieuses, op. cit., § 402. L'angle est dans le faisceau de rayons l'analogue exact du segment sur une droite. M. EnniQUES distingue de même la région angulaire, portion de plan, et l'ini.g/e, porlion de faisceau (Elément t

GÉOMÉTRIE METRiQUE 203

cesser l'analogie parfaite qui exisle, en Géométrie projective, entre les segments et les angles. Entre les points d'une droite et les rayons (l'un faisceau (mis en relation perspective) ii y a, au point de vue projectif, une corrélation absolue : les deux figures sont des suites fermées; les segments de la droite et les angles (qui sont des « segments » du faisceau) se correspondent entièrement. Il n'en est plus de même lorsqu'on définit métriquement les segments et les angles : les angles ont un maximum, tandis que les segments forment un ensemble de grandeurs îtlimilé. Cela provient de ce fait que, au point de vue métrique, les angles ont une grandeur absolue par rapport à une unité naturelle qui est, soit l'angle droit, soit le demitour (2 angles droits), soit le tour complet (4 angles droits), tandis qu'il n'y a rien d'analogue pour les segments. Il est vrai que les angles, eux aussi, deviennent des grandeurs illimitées (et même dans deux sens opposés) quand on admet (comme en trigonométrie) des angles supérieurs à un tour; mais les angles qui diflerent d'un nombre entier de tours sont géométriquement indiscernables, et cela introduit dans la suite illimitée de ces grandeurs une périodicité qui manque & la suite des grandeurs linéaires. Dans tous les cas, il n'y a plus correspondance projective entre les segments et les angles (à un angle fini correspond un segment infini), et cela explique les paradoxes de la Géométrie métrique relatifs à l'infini. C'est là, d'ailleurs, l'origine de la discordance que nous avons constatée entre la Géométrie descriptive et la Géométrie projective, et que la création des élémenls idéaux a eu pour but de supprimer.

Cette discordance entre les segments et les angles n'a pas lieu, toutefois, dans la Géométrie métrique de l'espace elliptique {ou riemannien), car dans cet espace (qui correspond, on l'a vu, parfaitement à l'espace projectif) la droite est une

di Geomelria, n"' 6S-72, Bologna, 1903). Quaat i la définition classique ; ■ Ud angle eat la (îgure formée par deux demi-droites issues d'un m^inc point •, elle est mauvaise, car elle ne définit pas l'angle comme grandeur; clic ne permet pas de m

204 LA CÉOMÉTRIE

ligne fer race, et (î'u ne longueur finie ; la distance de deux points a donc un maximum (la moitié de ia longueur de la droite entière).

Comme la Géométrie projective et la Géométrie descriptive, ia Géométrie métrique peut se ramener k une forme purement logique ai l'on transforme tes postulats en une définition de l'espace métrique : Un espace ciétrique (euclidien ou noneuclidien) sera un ensemble qui jouira de telles et telles propriétés (énoncées dans les postulats). La Géométrie métrique, ou plutôt, chacune des Géométries métriques, prend alors la forme d'une vaste implication : Si tel ensemble jouit des propriétés fondamentales énoncées dans les postulats, il vérifiera tous les théorèmes de la Géométrie correspondante. La Géométrie, ou plutôt, les Géométries ne reposent plus sur des propositions premières, indémontrables; elles n'ont plus d'axiomes propres, en dehors des axiomes communs de la Logique même.

Mais, dira-t-on peut-être, n'est-ce pas par un détour artificiel, par un subterfuge logique, qu'on transforme les postulats en définitions? A cela on répondra que cette transformation est légitime et même nécessaire. Elle est légitime, car, tant qu'on fait de ta Géométrie pure, on spécule sur des espaces idéaux dont on n'affirme nullement l'existence réelle; on peut donc, on doit même dépouiller les postulats de leur caractère catégorique, de leur « valeur de vérité », pour les réduire à de simples hypothèses problématiquement posées. Elle est nécessaire, car, pour raisonner sur un espace, il faut le définir : et l'on ne peut le définir qu'en énumérant ses propriétés caractéristiques, celles dont toutes les autres dérivent logiquement. On ne pourrait critiquer la définition de te! ou tel espace que pour deux raisons : ou bien parce qu'elle serait insuffisante, c'est-à-dire ne déterminerait pas un espace, mais plusieurs espaces (qualitativement différents'), et alors i! faudrait lui

i leurs propriétés,

GEOMETRIE METHIQUE 20S

adjoindre d'aulres hypothèses ou conditions, c'esl-à-dire d'autres postulats, pour la compléter; ou bien parce qu'elle serait surabondante, c'est-à-dire contiendrait certaines eondiliona superflues qui sont les conséquences logiques des autres; or, pnr cela même qu'on prouverait que ces conditions sont superflues, on les démontrerait comme tliôorémes, et ou les supprimerait comme postulats '. La définition d'un espace (comme de n'importe quel objet] est donc l'ensemble des conditions nécessaires et sursautes pour déterminer toutes ses propriétés. Ou bien un postulat appartient à cet ensemble de conditions, et alors ce n'est plus un postulat, mais une partie intégrante de la définition; ou bien i! n'en fait pas partie, et alors c'est un théorème qui peut (et par suite doit] être démontré (sans quoi la définition ne serait pas complète). Il n'y a donc pas de place, dans une Géométrie logiquement construite, pour un postulat quelconque^. En résumé, les aj^iomes de la Géométrie ne sont que des définitions déguisées ', ou plutôt des parties de définition. Mais alors (il importe de remarquer cette conséquence nécessaire de la conception que nous exposons ici), la Géométrie ne peut pas être une science autonome ayant ses principes spéciaux et reposant sur des « juge-

1. C'est pourquoi il est utile de démontrer de chaque système de postulats qu'il est suffisant et ii-réductibie; c'est ce qui a été fait pour certains de ceux que nous venons d'exposer.

2. Le fameux - postulatum d'Euclido ■ est simplement un complément de la déûnition de ta droite euclidienne, ou de l'espace euclidien. 11 ne doit sa célébrité qu'à la place extraordinaire qu'on lui a longtemps assignée dans les manuels. Mais, en réalité, ce n'est pas un postulat exceptionnel et unique, ce n'est qu'un des nombreux postulais ou axiomes de la Géométrie, et, de même qu'on a construit les Géométries noneuclidiennes sur sa négation, on peut - s'amuser - i. nier tel ou tel autre postulat, et à construire des Géométries non-arcliiniédiennes, non-arguésieunes, non-pasoaliennes, etc. (Hlldert, Grundlagen der Géométrie. Cf. le compte rendu de cet ouvrage par M. Poincaré, ap. Bulletin des Sciences mathématiques, t. XXVI, sept. 1902). Au point de vue pédagogique, la place privilégiée accordée au postulatum d'Euclide (alors surtout qu'on passe sous silence les autres postulats) est tr6 s fâcheuse : elle fait croire à une « imperfection » singulière de la Uiéorie, et est sans doute responsable en grande partie des innombrables essais de démonstration du fameux postulatum.

3. H. PoiftCAHi, La Science et Vllijpotkise, chap. m, fin (p. 66 de l'éd. française).

menta synthétiques a priori »\ c'est une série de déductions formelles suspendues à une définition, et qui en déroulent à l'inSni les conséquences logiques. En un mot, la Géométrie n'est plus qu'une simple promotion de la Logique.

De même que la Géométrie n'a plus de propositions premières, eile n'a plus de notions premières qui lui soient propres. En effet, dans tous les systèmes que nous avons exposés plus haut, les notions premières se réduisent à deux : un concept de classe qu'on nomme folni ; et une uolion de relation (ordre, congruence, mouvement), qui se déguise parfois, quand l'analyse n'est pas poussée à bout, en un concept de classe (droite, segment, vecteur). Or, d'un côté, la notion de point n'intervient nullement dans la structure logique de la Géométrie : les points ne sont rien de plus que les éléments de certains ensembles, ou mieux, les termes de certaines relations; ce sont des objets quelconques, de nature inconnue ou indéterminée, dont on ne sait qu'une chose : c'est qu'ils sont les supports de certaines relations. Ou plutôt, on n'en sait rien, même pas cela; on sait seulement que, si des objets quelconques (qu'on les appelle foinls ou autrement) supportent entre eux certaines relations fondamentales (énoncées dans les axiomes), ils vérifieront tous les théorèmes qui en découlent logiquement. Ainsi la Géométrie pure, qui n'est qu'un système d'implications, n'affirme rien touchant les points; rigoureusement parlant, elle ne les connaît pas, et elle n'en a pas besoin.

D'un autre côté, les relations qui constituent l'autre donnée primordiale des divers systèmes de Géomclric ne sont plus indéfinissables : nous avonsvu comment la Logique des relations permet de les définir au moyen de leurs propriétés formelles. Il semble paradoxal de ramener la Géométrie à n'être qu'une application de la Logique des relations; et pourtanl, tout le monde sait et reconnaît que la Géométrie, comme la Mathématique en général, est une science « abstraite », en ce sens qu'elle fait abstraction de la nature intrinsèque des objets pour ne considérer que leurs relations; de sorte que, si deux ensembles d'objets (de nature toute différente) vérifient les

GÉOMErRiË METRIQUE 307

mêmes relalianB, ils seront soumis à la morne théorie malhématique (c'est là un fait bien connu, dont la Physique malliéiiiatique offre des exemples nombreux et frappants). La llièso épistémologique que noua soutenons ici n'est <|iie la systématisation et la justification de cette remarque banale. Mais, ici encore, il faut bien se rendre compte de la portée de ce lieu commun : si la Mathématique est une science « abstraite », ce n'est pas, comme le croient les empiristes et positivistes, parce qu'elle fait abstraction de la plupart des propriétés des objets d'expérience; c'est parce qu'elle n'est plus à aucun degré une science à'objels, mais une science formelle et pure, qui ne considère que la forme des objets et leurs relations. C'est ce qui explique que les vérités mathématiques soient universelles et nécessaires a priori : elles sont objectives, non parce qu'elles naissent de l'étude des objets, mais parce que, no portant sur aucun objet en particulier, elles portent sur tous les objets possibles. Mais alors, il est impossible de méconnaître leur analogie avec les lois logiques, dont elles possèdent tous les caractères, et dont elles sont en efifet des conséquences. Si la Mathématique est formelle comme la JjOgique, c'est parce qu'elle est le prolongement de la Logique.

Qu'est-ce donc, en définitive, que la Géométrie, et comment doit-on la déluiir pour la distinguer des autres branches de la Malliématique ou de la Logique? C'est « l'étude des suites à plusieurs dimensions ' » : « des suites >i, c'est-à-dire des ensembles ordonnés; " à plusieurs dimensions », car l'Arithmétique, par exemple, étudie une suite h une dimension, la suite naturelle des nombres ^. Cette définition ne contredit nullement le caractère de science logique que nous venons d'attribuer à la Géométrie : car, d'une part, dans l'étude des ensembles, en , on ne considère point leurs éléments, mais seule-