RuasELL, op. cil., g 352, p

2. A ce titre, l'Analyse, en tant que fondée si complexe, rentre dans la Géométrie. Il n'y a là rif pas l'Analyse qui devient tributaire de la Oéomét Gûomélrie qui est une extension de l'Analyse, si régne à présent chez les matltématiciens.

ment leurs relations ; et, d'autre part, un ensemble ordonné ne peut être défini, comme tout ordre, qu'au moyen de certaines relations. On pourrait donc aussi bien définir la Géométrie comme l'étode de certains ordres {les ordres à multiple entrée' ou de certaines relations (les relations qui définissent les ordres susdits). L'espace, en tant qu'objet de la Géométrie pure, n'est pas autre chose que cela : c'est un ensemble ordonné (abstraction faite de ses éléments, qu'on les appelle points ou autrement); ou, en termes plus « logiques », c'est un ordre, c'est-à-dire un système de relations.

Encore une fois, ces définitions paradoxales ne font que formuler avec précision !a conception de la Géométrie qui est aujourd'hui courante chez les mathématiciens. Pour le montrer, il suffît de rappeler que, selon M. Poincaré et beaucoup d'autres, la Géométrie, ou plus exactement, chaque Géométrie, est l'élude d'un groupe. Or on sait ce que c'est qu'un groupe : c'est un ensemble de transformations telles, que le a produit relatif » de deux transformations est une transformation de l'ensemble'. Et qu'est-ce qu'une transformaUon ? C'est une correspondance univoque et réciproque entre un ensemble (l'espace par exemple) et le même ensemble; autrement dit, une relation biuniforme dont le domaine et le codomaine coïncident. Ainsi la formule que nous venons de citer ne fait qu'exprimer, en termes mathématiques, la même conception que la définition de M. Busscll exprime en termes de Logique- D'ailleurs, la théorie des groupes, qui a pris dans les Mathématiques modernes une si grande importance, est une branche de la science de l'ordre, et par suite de la Logique des relations. Et s'il y a quelqu'un qui ne puisse pas la considérer comme une théorie mathématique, ce sont justement les philosophes qui persistent à définir les mathématiques, suivant la conception traditionnelle et surannée, comme les sciences du nombre et de la quantité.

1! va sans dire que nous ne parlons que de la Géométrie

i. l'oui- une définiLioii plus exacte et lo!;iq(ie du groupe, voir Noie 11.

GEOMETRIE METRIQUE 209

pure, de la « science de toutes les espèces possibles d'espaces » (Kant), et non de la Géométrie réelle ou appliquée, qui a pour objet l'espace actuel, et qui est une science expérimenlale.' Une Géométrie pure est une implication de la forme : « Si A est vrai, B est vrai h ; la Géométrie appliquée dit : « A est vrai, donc B est vrai »; elle affirme à la fois A et B de l'espace actuel, objectif, tandis que la Géométrie pure n'affirme que la connexion logique, idéale, de A et de B. Or, entre loulea les Géométries logiquement possibles que l'on peut constituer théoriquement, l'espérienee seule peut nous permettre de choisir celle que nous appliquerons au monde " réel », c'està-dire au monde de notre expériDnco. Cela ne veut pas dire que, comme le croient l'empirisme et le réalisme naïf, il y ait hors de nous un espace tout fait et réalisé que nous n'ayons qu'à percevoir, mais que le monde que nous percevons se prête plutôt à tel moule spatial qu'à tel aulrc. Cela ne veut pas dire non plus que l'on puisse vérifier par une expérience cruciale tel ou tel postulat isolé (par exemple, le postulatum d'Euclide); car, comme on l'a fait remarquer, une telle vérification supposerait tous les autres postulats vérifiés, ce qui forme une sorte de cercle. Mais il ne faul pas non plus soutenir, comme font les agnosticistes contemporains, que toute vérification expérimentale de la Géométrie constitue un cercle vicieux; car, si l'on ne peut pas vérifier chaque postulat séparément, on peut vérifier l'ensemble total des postulats. Seulement une telle vérification ne peut plus être directe et péremptoire : elle sera du genre de celles qui vérifient une hypothèse par ses conséquences, et par suite elle ne sera jamais que probable. Mais c'est là le cas de la plupart des hypothèses physiques; et cela ne fait que rapprocher la Géométrie des sciences expérimentales. A ce point de vue, les postulais ne sont plus de simples « hypothèses » dans une implication, ils deviennent des propositions assertoriqués, des vérités d'expérience. 11 n'y a, on le voit, aucune inconséquence à considérer la Géométrie pu]-e comme une science apriori, et la Géométrie appliquée comme une science empi- CouiuRAT. — Les priiicipoa des matliématiquos, t4

l'ique; car il ne s'agil pas de la même GcomcLne, ou plutôt, si c'est la même Géométrie, la modalité des pmpositious y est toute difTércnle.

Une chose montre bien la dilTéreiicc de ces deuK Céométrics, ou de ces deux modes de considérer la Géométrie : la Géométrie pure, avons-nous dit, ignore les pointa et n'a pas à les eonnatlre; ce sont simplement les termes indéterminés des relations qu'elle étudie. Au contraire, la Géométrie appliquée a besoin de déterminer, dans l'espace « réel » ou objectif, les éléments qu'on devra appeler des points, et par suite, ce qu'on devra considérer comme des droites, comme des plans, etc.; car c'est à cette condition que les propositions géométriques prennent un sens " réel » et deviennent susceptibles de vérification. Il faut donner un contenu objectif aux formes vides de la Géométrie pure, et pour cela on doit recourir à l'intuition. L'intuition est complètement exclue de la Géométrie pure, qui n'est qu'un système logique; mais elle règne dans la Géométrie appliquée, car elle est indispensable pour donner un sens et un support aux notions premières, et pour vérifier les propositions premières (postulat^) dont toutes les autres découlent. On peut, si l'on veut, refuser le nom de Géométrie à la Géométrie pure, et dire que c'est simplement une branche de l'Analyse; on ne fera ainsi que confirmer notre thèse, qui fait de la Géométrie pure une application de la Logique; et l'on pourra alors faire reposer la Géométrie (appliquée) sur l'intuition. Mais on ne supprime pas par là la Géométrie pure, et l'on n'en diminue pas l'utilité pour la Géométrie appliquée : la Géométrie pure permettra toujours de réaliser (suivant les idées de Mach) une « économie » d'expérience, en enseignant quel est le nombre minimum de postulats qu'il faut vérifier pour être sûr de la vérité de toutes les autres propositions; sans la Géométrie pure, la Géométrie appliquée ne serait qu'une science absolument empirique, dont chaque proposition devrait être vérifiée expérimentalement : ce ne serait même plus une science, car dans les sciences les plus expérimentales la déduction joue un rôle pour rattacher entre elles

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les îois trouvées el en tirer les conséquences nécessaires. Une science n'est pas une compilation de lois ou de « recettes », c'est un système de vérités, dont la Logique est ie ciment, La Géométrie pure est la partie logique de la Géométrie appliquée, c'est-à-dire ce que, depuis Euclide, on a coutume d'appeler la Géométrie (théorique). Seulement, elle a toujours été mêlée, dans la tradition, d'éléments intuitifs, dont elle tendait k se purifier progressivement; aujourd'hui, !a distinction est nette et complète entre la part de la Logique et celle de l'intuition.

Il nous reste à préciser les rapports de la Géométrie pure avec l'Arithmétique. Nous venons de rappeler l'opinion, aujourd'hui très répandue, selon laquelle la Géométrie serait une branche de l'Analyse; et, d'autre part, on sait que toute l'Analyse a été reconstruite avec la notion do nombre entier, et n'est plus qu'un prolongement de i'Aritlimétique. S'ensuit-il que la Géométrie ne soit, elle aussi, qu'une extension de l'Arithmétique, qu'elle n'ait pas d'autru contenu que l'idée de nombre, et que l'on puisse construire l'espace avec des nombres, comme beaucoup de mathématiciens le croient, à la suite de RiBMANN, en parlant par exemple d'espace arithmétique'! C'est là une erreur : les espaces qu'étudient les diverses Géométries sont des ensembles, dont les éléments, appelés /jomis, sont en réalité indéterminés et indifférents; ce ne sont pas nécessairement des ensembles de nombres. Et la prétention de réduire toute la Mathématique, y compris la Géométrie, à ce seul objet, le nombre, est vaine et même illogique; car l'idée d'ensemble est antérieure à celle de nombre, comme on l'a vu, puisqu'elle sert à définir celle-ci. S'il y a une idée première et fondamentale en Mathématique, ce n'est donc pas l'idée de nombre, mais bien celle d'ensemble.

Néanmoins, l'erreur précédente a, comme toute erreur, une explication, qui n'est pas une justification, et qu'il est intéressant de signaler. Elle vient sans doute de ce que, toutes les fois qu'on veut démontrer l'existence (logique) d'un espace défini par un certain système de postulats, on n'a pas d'autre

moyûn que de construire un ensemble de nombres qui vérifie tous ces postulats (ces nombres étant pria parmi les nombres réels ou complexes, dont on admet l'existence logique comme préalablement établie). De même, lorsqu'on veut démontrer qu'un système de postulats est irréductible, c'est encore à des ensembles de nonibres convenablement construits qu'on fait appel, en montrant qu'ils vérifient tous les postulats, sauf un. Cette méthode est couramment employée, non seulement par les logistieiens dont nous avons cité Ses mémoires dans ce Gbapitre, mais par les mathématiciens les plus élrangers h. la Logistique, comme M. Helbkrt', Par là non seulement les lecteurs, mais parfois les auteurs eux-mêmes sont amenés à croire que l'on construit l'espace avec des nombres, en vertu de la tendance générale des mathématiciens (remarquée par M. Rossell] à identifier purement et simplement les ensembles qui possèdent les mêmes propriétés formelles. Mais cette illusion a été parfaitement démêlée par un auteur (également étranger à la Logistique) dans ia remarque suivante : » C'est parce qu'on peut démontrer la compatibilité des conditions énoncées dans les définitions... des premiers termes de la Géométrie à l'aide du système des nombres entiers, qu'il est légitime de dire que la Géométrie peut être tout entière construite à partir de l'idée du nombre ». Cette remarque, tout en accordant une « légitimité » excessive à ce qui n'est qu'une façon de parier, montre bien ce qu'il faut entendre par 1' « arilhmétisation des mathématiques », et en limite singulièrement la portée. II ne s'agit pas, à proprement parler, de construire l'espace avec des nombres (ea: pumice aquam!), mais seulement de construire avec des nombres un ensemble qui ait toutes les propriétés fondamentales de l'espace considéré, afin de démontrer 1' « existence » de cet espace sans faire appel à l'intuition. Entre les divers espaces qu'étudie la Géométrie et les ensembles de nombres qu'on leur substitue, il y a analogie

\. Gi-mtd'ai/en der Geomeiria (IS09).

2. LiuBSOUE, Leçons sw l'Intégration, cliap. v», g 1, noie (GaïUhier- Villara, 1904).

formelle, et non identité; mais f;ela suffit pour qu'on puisse démontrer l'existence (logique) de ces espaces sans aucun postulat intuitif ou expérimental, et par suite faire rentrer les diverses Géométries dans la Mathématique pure, comme dépendant uniquement de la Logique.

Un comprend mieux à présent la défioition diins laquelle M. RussELL a résumé la conception moderne de la Malhémalique pufG, Pour achever de l'expliquer et de la justifier, il convient de la comparer à quelques autres définitions qui en ont été proposées '. Il ne s'agît plus, bien entendu, de la déllnition traditionnelle de la Mathématique comme science de la quantité, qui est unanimement abandonnée et définitivement condamnée. Mais, étant donnés l'extrême généralité de la Mathématique moderne, et ie caractère de science logique et pure qu'elle prend de plus en plus, on peut se demander si l'on doit la définir par sa matière ou par sa forme ; autrement dit, si elle a encore un objet spécial et déterminé, ou si elle est moins une science qu'une méthode, et une méthode applicable à toutes sortes d'objets.

Cette dernière opinion a été hardiment soutenue par un des savants qui ont le plus contribué à élargir l'horizon de la Mathématique, Benjamin Pëirck, qui écrivait dès 1870 : « La Mathématique est la science qui lire des conclusions nécessaires^, B Selon cet auteur, la Mathématique serait essentiellement la méthode dédiictive et démonstrative, et comprendrait toutes les connaissances <■< dogmatiques », c'est-à-dire ration-

1. Nous nous inspirons ici de la conférence de M. Slaiime Bôcher au Congrès de Saiot-Louis (septembre 1904) : T/te fondamental conceptions and melkods of mathematics, ap. Bulletin of the American Malhematical Society, t. XI, p. H5-133 (déc, 1904).

2. « flJathemaUcs is tho science wldch draws necessary conclusions ■; première phrase de Lineai" assaeiaiiue Algebra, mémoire lu à l'Académie nationale des Sciences de Wastiington en 1810; publié ap. Amei-ican Journal of Malhematics, t. IV, p. 97-239 {18R]).

2ig

uelles. li^llc n'cnvdoppc pas toutes les sciences, mais elle les régit et les domine toutes : ce n'est pas elle qui découvre les lois de la nature, mais c'est elle qui en tire toutes les conséquences logiques. C'est à tort qu'on englobe dans la Malhétique certaines sciences déductivea, comme la Géométrie et la Mécanique, qui sont (par leurs principes} des sciences phyaiqliea; car alors il faudrait y faire rentrer toutes les sciences qui emploient peu ou prou la déduction. Mais chacune des sciences physiques a sa méthode dcductive, et par suite sa mathématique propre; et comme toute théorie mathématique prend naturellement la forme d'une algèbre, chaque science a son algûhre, son algorithme formel. C'est ainsi que B. Peibce fait rentrer dans la Mathématique même la Logique : c'est qu'il entend par là l'Algèbre de la Logique (de Booliî), algèbre .. qualitative w qu'il oppose à l'algèbre « quantitative » de l'Arithmétique. Mais c'est que Boolf. concevait encore la Logique à la manière d'Aristote, comme la Logique des concepts. Pour nous, qui concevons la Logique comme la science de tous les raisonnements formelletnent nécessaires, elle est coextensive et au fond identique à la Mathématique telle que la définissait B. Piîirci^. Et c'est la raison pour laquelle nous n'admettons pas sa définition. Elle est manifestement trop générale, car elle fait rentrer dans la Mathématique toute espèce de raisonnements, même ceux qui portent sur des matières tout empiriques, comme les arguments des avocats. Si large que soit la conception moderne de la Mathématique, elle ne permet pas de dire qu'un avocat « fait des mathématiques Il lorsqu'il invoque un alibi ou discute l'application d'une loi à un cas particulier; au contraire tout le monde conviendra qu'il " fait de la Logique ». La Logique est donc plus générale que la Mathématique; elle seule est purement formelle et par suite universelle. Il semble donc que la Mathématique ne puisse se définir par sa forme seule, et que, si sa méthode se confond avec la Logique elle-même, elle s'applique à une certaine classe des objets qui la spécialise et la distingue de toutes les autres sciences déductives.

Mais que! (leul ÈLre l'objet des mathématiques? Il est reconnu aujourd'hui que les théories mathématiques sont indépendantes de leur contenu objectif, et sont indifféremment applicables à toute espèce d'objets, pourvu qu'ils vérifient les relations formelles énoncées dans les postulats'. C'est ce qui fait la valeur abstTaiie et formelle de la Mathématique, et lui donne un caractère si analogue à celui de la Logique. Mais comment définir la Mathématique par son objet, si elle fait précisément abstraction de la nature de ses objets? Néanmoins, Kempe' a cru trouver des caractères (Formels) communs à tous les objets des sciences mathématiques : ce sont toujours des elaeses d'individus soumis b. certaines relations et à certaines opérations (ou combinaisons). Et comme les opérations se ramènent à des relations, l'objet d'une science mathématique se réduit en définitive h une classe d'individus associée à une classe de relations. Une science ou théorie est mathématique, si toute la question est de savoir si tel ensemble d'objets vérifie telles relations. On remarquera que cette conception se rapproche beaucoup, à certains égards, de celle de M. Russbll, qui fait reposer la Mathématique sur la Logique des relations ; et, d'autre part, elle se justifie par l'importance qu'ont prise, dans les fondements des mathématiques, la théorie des ensembles et la théorie des groupes. Toutefois, elle est manifestement incomplète, car elle ne dit rien de la méthode par laquelle on doit étudier les objets et les relations en question. Or cette méthode peut être empirique aussi bien que déductive : toute science sociale, toute administration politique, judiciaire, etc., consiste à reconnaître (ou à établir) certaines relations entre des individus d'une certaine classe; ce ne sont pourtant pas des sciences mathématiques. Pour qu'il y ait science mathématique, il faut que, certaines relations étant

i. Encore faut-il remarquer qu'au point de vue de la Logique pure, une théorie déductive s'applique i. loule espÈce d'objets, en lant qu'elle constitue une implication, car elle est encore vérifiée, si l'objet ne yèritie pas les postulats qui forment l'hypothèse de l'implication.

2. Nature, t. 43, p. !5a (1890) ; Procsedini/s of Ihe London Mathe.matkal Society, t. 26, p, S {i894).

données, on puisse en déduire d'autres; il faut donc faire intervenir la considération de la mélhode déduclive. On ne -peut pas, par conséquent, définir la Mathématique uniquement par son objet, si générale et si formelle que soit la définition de cet objet lui-même.

Il ne reste doue plus qu'un moyen : c'est de définir la Mathématique h la fois par sa métiiode et par son objet; et c'est précisément ce qu'a fait M, Kussell. La mélhode mathématique est la déduction, tout le monde est d'accord là-dessns; mais il faut entendre par là la déduction purement logique, fondée sur les principes qu'énumère et que formule la Logistique. Sans doute, toute déduction suppose des propositions premières qu'on doit postuler, et qu'on ne peut pas déduire; et ces postulats peuvent être empruntés à n'importe quelle source de connaissance, empirique on a priori. Mais ce qui distingue la Mathématique pure de toutes les autres théories déductives, c'est qu'elle n'a pas, à proprement parler, besoin do postulats : nous avons montré, d'après M. IIussell, que les différentes théories mathématiques ne reposent pas sur des principes ou «axiomes » propres, mais uniquement sur des définitions ^ Quant à ces définitions, qui déterminent l'objet de chaque théorie, elles sont purement logiques, c'est-à-dire qu'elles ne contiennent pas d'autres constantes que les constantes logiques ; ce qui distingue les objets des mathématiques des objets plus ou moins empiriques des autres sciences déductives, c'est qu'ils sont définis en fonction des seules constantes logiques. Ainsi la Mathématique pure se trouve définie à la fois par sa forme et par sa matière : par sa forme, qui est un ensemble d'implications conformes aux principes de la Logique : par sa matière, qui est un ensemble de définitions ne contenant que des termes de Logique. On comprend donc qu'elle soit, au point de vue de la forme, identique à la Logique; et que, au

1, M. BÔCHER {loe. cil.) résume la théorie de M. Hussell en disant que la mathématique pure consiste en déductions « bj- logical principles from logicat principies •. Cette formule est ingénieuse et frappante; mais elle serait peut-être plus juste si l'on disait : » liy logical principloa from logical deiïnitions ".

point de vue de la maltère, elle ne soit qu'un domaine spécial dans le champ d'application de la Logique. Par là s'explique qu'elle ait le caractère abstrait et formel de la Logique, tout en restant distincte de ceile-ci et subordonnée à elle. Par là enfin se trouvent justifiées les théories philosophiques qui attribuent aux concepts et aux vérités mathématiques «ne valeur universelle et nécessaire, donc a priori, car, si notre thèse est juste, celte valeur est égale à celle des lois de la Logique même.