SchOnfues, loc. cit.. p. M) el passîm ; p. 83, et noie

des classes. NÉanmoiiis, les malhémaliciens qui l'ont traitée depuis 20 ans semblent ignorer que les concepts qu'ils détîniasent, et pour lesquels chacun d'eux in vente des notations plus ou moins heureuses, ont été élaborés depuis 50 ans par des logiciens qui étaient (ou sont; pourtant aussi des mathématiciens {BooLK, ScDRÔnEB, pLïASo). Notrc expérience personnelle nous permet d'affirmer que, chez quelques-uns, et non des moindres, cette ignorance est réelle, et, qui pis est, volontaire. Il est toujours fâcheux que deux classes de savants s'ignorent mutueltement et systématiquement; mais cela est encore bien plus regrettable, quand les uns et les autres s'occupent, non d'objets voisins ou connexes, mais des mêmes objets au fond.

Une autre partie do la théorie des ensembles consiste à étudier les ensembles au point de vue de leurs jMÛsances et de leur équivalence. Deux ensembles ont même puissance, par définition, lorsqu'ils sont équivalents, c'est-à-dire lorsqu'on peut établir entre tous leurs éléments une correspondance univoque et réciproque. C'est ce que nous exprimons en disant qu'il y a entre eux une relation bîuniforme. Quant à la notion de puissatKe, qui se trouve ainsi définie « par abstraction », elle n'est pas autre chose que la notion générale de nombre cardinal, dont nous avons discuté les diverses définitions. Si l'on admet celle à laquelle nous nous sommes arrêté, on définira explicitement la puissance, ou mieux, le nombre cardinal d'un ensemble, en disant qu'elle est la classe des ensembles qui lui sont équivalents. Et, en effet, il est évident que deux ensembles équivalents possèdent le même nombre cardinal, en vertu de cette définition.

L'égalité des puissances se ramène ainsi, comme toujours, & l'identité. Quant à leur inégalité, sa définition donne lieu à des difficultés spéciales que nous n'avons pas à examiner ici. Bornons-nous à rappeler qu'un ensemble A a une puissance inférieure à celle de l'ensemble B, si A est équivalent à une partie intégrante de B, et si B n'est équivalent à aucune partie intégrante de A. Comme nous savons exprimer en termes logiques Véquivaleiice et la notion de partie intégrante, nous

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pouvons traduire en Logistique la définition précédente et en tirer toutes les conséquences logiques.

Ainsi la ttiéorie des puissances d'ensembles n'est pas autre chose que la théorie des nombres cardinaux en général i c'est une Arithmétique générale, où l'on définit la somme, le produit et \a puissance' des nombres cardinaux, finis ou infinis, sans distinction. Voici ces définitions.

l'Si a et 3 sont les nombres cardinaux de deux ensembles A et B sans élément commun, leur somme (a-Hp) est le nombre cardinal de l'ensemble somme de A et de B. Nous n'insistons pas sur celte définition : c'est exactement celle que nous avons énoncée ci-dessus, d'après M. Russell, et dont nous avons donné la formule logistique,

2° Soient deux ensembles A et B. Si l'on associe chaque élément a de l'un ii chaque élément h de l'autre, un forme un ensemble de couples («,ô)'. Le nombre cardinal de cet ensemble est, par définition, le produit des nombres cardinaux « et p. Cette définition est également susceptible d'expression logistique : car un couple tel que {a, b) est en réalité une relation singulière, dont l'antécédent est un élément de A, et le conséquent un élément de B. Ces relations forment un ensemble, et par suite déterminent un nombre cardinal. C'est cet ensemble que M. Wiiitkiieao appelle classe multiplicative, dans la définition que nous avons indiquée précédemment (p. 53). Voici d'ailleurs comment on peut définir la classe multiplicative, non plus de deux ensembles, mais d'une classe k d'ensembles (en nombre fini ou infini) i Soit k une classe de classes exclusives et non nulles; considérons l'ensemble des relations uniformes It dont le domaine est k, et telles que ullx implique (pour toute classe w et pour tout individu ie) que a: s m'; la classe multiplicative des /e est l'ensemble

1. Le fait qu'on est obligé de parler des puissances des nombres cardinaux infinis doit faire proscrire pour ceux-ci le nom de puissance. Celte équivoque n'existe pas en allemand {Potenz, SldchlifflceU).

2. Ensemble que M. ScH&wrLiES appelle Verbindungsmenne des deux ensembles A et B.

3. Aulremeot dit, lî est une corrf^spondance uniforme Établie entra