SUR LA THÉORIE DES ENSEMBLES

correspondant à b, quels que soient a et i ', La relation de similitude (analogue à celle d'équivalence) se définit donc par une relation biunil'orme; seulement, cette relation porte, non sur des classes, mais sur des relations. Et en effet, ce ne sont pas, à proprement parler, les ensembles qui sont semblables, mais leurs ordres : car le même ensemble peut être ordonné de différentes manières; il sera semblable à tel ensemble ordonné dans un certain ordre, mais non dans un autre. C'est donc entre les ordres, c'est-à-dire en définitive entre les relations qui tes définissent, qu'a lieu la relation de similitude.

De même que de la considération des ensembles équivalents naît par abstraction la notion de nombre cardinal (conçu comme classe d'ensembles équivalents), de la considération des ensembles semblables naît par abstraction la notion do type d'ordre (conçu comme classe de relations d'ordre semblables).

Parmi les ensembles ordonnés on distinguo les ensembles bien ordonnés : ce sont ceux qui contiennent un premier élément, ainsi que chacun des ensembles partiels qu'on y peut déterminer. Il en résulte que, dans un ensemble bien ordonné, chaque élément a un consécutif {un élément qui le suit immédiatement), à moins qu'il ne soit le dernier (lequel est unique). Les types d'ordre des ensembles bien ordonnés sont ce qu'on nomme les nombres ordinaux^. Ceux-ci sont aussi bien infinis que finis, suivant que le nombre cardinal correspondant est infini ou fini : car à chaque nombre ordinal correspond un nombre cardinal, puisque chaque ensemble a un nombre cardinal. Le premier des nombres ordinaux infinis est le type d'ordre de la suite naturelle des nombres, qu'on désigne par b>.

Il arrive qu'on ait à considérer un type d'ordre inverse d'un autre, c'est-à-dire celui qu'on obtient en renversant la relation d'ordre entre deux éléments quelconques de l'ensemble (en permutant les mots jirécèdv et suit). Par exemple, on considère le type d'ordre Inverse de w, et on le désigne par * (u. Or, du

- Las pfiiitipos des n

moment qu'on sait qu'un type d'ordre est une relation (ou une classe de relatiors), on reconnaît que le type d'ordre inverse est la relation converse, et dès lors il convient de le représenter par la même notation {par exemple, 'w).

C'est à la théorie des ensembles ordonnés qu'appartiennent les concepts de stiite fondamentale et de limite d'une telle suite. Par suite lui appartiennent aussi tous les concepts qu'on peut définir au moyen de ceux-là, comme ceux des ensembles fei-més, denses en soi et parfaits*. Ces notions sont donc indépendantes de toute considération géométrique ou métrique, et relèvent entièrement de la théorie de l'ordre. Et comme c'est par ces notions que l'on peut définir le continu, le concept de continu lui-même dépend uni(|uement de la théorie de l'ordre, c'est-à-dire en définitive de la Logique des relations.

Une quatrième partie de la théorie des ensembles est la théorie des ensembles de j)oinis, où l'on considère les éléments des ensembles étudiés comme des points situés dans un espace à une dimension (droite), à deux (plan), à trois ou même à w dimensions. Peu importe d'ailleurs que cet espace soit géométrique ou arithmétique, c'est-à-dire que les éléments soient congus comme des points géométriques ou comme des nombres. L'essentiel est qu'ils sont <• pris » dans un ensemble préexistant, et que celui-ci peut contenir d'autres éléments ou points « situés » entre ceux de l'ensemble considéré. Cette partie de la théorie des ensembles est la plus compliquée; néanmoins c'est celle qui est apparue la première et qui est la plus développée, parce que c'est celle qui se rapproche le plus du domaine des applications, c'est-à-dire de l'Analyse et de la Géométrie. Elle a pour objet, au fond, les ensembles relatifs à d'autres ensembles, desquels ils sont pour ainsi dire extraits, ou dans lesquels ils sont situés et plongés. C'est dans cette théorie qu'un ensemble peut avoir des points-limites qui ne lui appartiennent pas, et par suite un dérivé qu'il ne contient pas nécessairement. C'est à celte branche de la théorie des

i. SciiÔNFLiES, loc, cil., p. 32 ; ef. ]). 63,

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ensembles qu'apparlient donc toute la théorie des ensembles dérivés, avee les notions " métriqaes » des ensembles fermés, denses en soi et parfaits, telles que M. G, Cantor les avait d'abord défuiies, et les notions d'ensemble partout doue oui nulle part dense dans un intervalle (ou ensemble) donné. C'est à elle également qu'appartient la théorie de l'étendue ou du contenu (Inhalt) des ensembles, dans laquelle les ensembles sont rapportés à un réceptacle commun, l'espace continu.

Ce caractère relatif des propriétés des ensembles de points a été mis en évidence par la généralisation même qu'eu a faite M, Baire. An lieu de considérer des ensembles contenus dans l'espace ordinaire, il considère des ensembles contenus dans un autre ensemble quelconque U (que nous appellerions, en Logistique, l'univers du discours); et il définit par rapport à cet ensemble U les propriétés désignées par les mots : fermé, dense en soi, partout dense, nulle part dense'. En effet, l'ensemble E étant entièrement contenu dans U, et tous deux étant ordonnés de même (c'est-à-dire l'ordre des points de E étant le même que l'ordre qu'ils possèdent comme points de U), un point de U sera un point-limite de E, s'il est limite d'une suite fondamentale de E (laquelle est aussi une suife fondamentale de U). Gomme E peut contenir ou ne pas contenir ses pointslimites (dans U), tous les concepts énumérés conservent leur sens relatif, tout en étant dépouillés de toute considération métrique, puisque c'est par les relations d'ordre des points de U que sont désormais définis les points-limites de E, On peut dire que cette méthode ramène les propriétés métriques des ensembles à leurs propriétés ordinales (relatives à l'ensemble U considéré comme leur réceptacle ou leur support).

En résumé, la théorie des ensembles, dans sa partie la plus générale, se confond avec la Logique des classes ; et, dans ses autres parties, elle dépend entièrement de la Logique des relations. En particulier, la théorie des ensembles de points se ramène à ia théorie des ensembles relatifs (c'est-à-dire situés

dans d'autres ensembles); c'est la théorie des ensembles relatifs à l'espace continu ; et puisque, comme on l'a vu, on peut définir l'espace continu par ses propriétés ordinales, les fondements de cette théorie sont empruntés exclusivement à la théorie de l'ordre. Celte conclusion ne repose pas seulement sur les considérations théoriques, forcément sommaires et un peu vagues, qui précèdent. M. Rcssell a eiïectivcment réalisé la théorie des ensembles bien ordonnés au moyen de îa Logique des relations, et retrouvé ainsi la plupart des propositions de cette théorie, découvertes par G. Cantor et d'autres mathématiciena. Le rattachement de la théorie des ensembles à la Logistique n'est donc pas un desideratum théorique et idéal; c'est un fait accompli.