SUR LA NOTION DE CROUPE

On sait quelle importance la tiiéorîe des groupes a prise dans la Malhéma tique reioderne, principalement grâce aux travaux de Sophus Lie : ses applications s'étendent à la fois à l'Arithmétique supérieure, à rA.lgèbre, à l'Analyse, à la Géométrie et à la Mécanique. Il est donc intéressant de montrer le caractère logique de cette théorie, et comment on peut déûnir formellement le concept du groupe.

En gros, un groupe est un ensemble d'objets pour lesquels on a défini une combinaison telle, que le résultat de la combinaison de deux objets est un objet du groupe. Ces deux objets senties données (ou les fadeurs) de la combinaison; le troisième objet est le résultat (ou le produit). Ces données et ce résultat ne sont pas du tout essentiellement des nombres ou des quantités; ce peuvent être, par exemple, des transformations analytiques ou géométriques. Le résultat de deux transformations de même espèce n'est pas nécessairement de la même espèce : par exemple, le résultat de deux symétries n'est pas une symétrie, mais une translation. Mais, quand des transformations forment un groupe, le résultat de deux quelconques d'entre elles est de môme espèce, puisqu'il appartient au groupe.

Voici maintenant comment on peut définir rigoureusement cette notion, par un système de postulats indépendants ', On

eonsidère une classe K d'objets, et une opération bioaire ou combinaison qu'on peut effectuer sur deux queSconques do ces objets, et dont le symbole sera o. On écrira :

pour dire que le résultat de la combinaison de a et do 6 {pris dans cet ordre) est c. Gela posé, on formule les six postulats suivants :

I. Si a et 6 sont des K, il y a un élément c de K tel que fflo6r=c, etcet élément est déterminé d'une manière unique par a et b.

En d'autres termes, l'opération a o 6 est toujours possible et anivoquc dans la classe K : elle a toujours un résultat, et un seul. Si elle n'était pas iinivoque, oo ne pourrait pas rigoureusement écrire :

aob = c mais seulement :

c,(ooi.)

« c est un des éléments qu'on obtient en combinant a et b. » On voit par là que le fameux axiome d'Euclide : a Egal ajoute k égal donne égal » n'est nullement une propriété de J'égaiilé, mais une propriété de l'addition, en tant qu'elle est univoque; et que, par suite, il n'est pas du tout, comme on le eroil trop souvent, un axiome logique (analytique).

II. La loi associative est, valable pour tout K, c'est-à-dire qu'on a :

{ao b)oc = ao{boe)

quels que soient les éléments a, b, c de K.

maticai Sociely, t. VI, p. 181-193 (1905). — Cf. les autres mémoires du même suleui" ; Simplified definilioa of a gi-oup, ap. Bulletin of tlie American Math. Soc, t. Vni, p. 296-300; J second définition ofa group, ibid., p. 388- 391 (1902); Two de^nitions of an Abelian group by sets of indépendant postulates.ap. Tram. Âm. Math. Soc, t. rv, p. 21-aû ï Définitions of a fieid by sels of independent postulâtes, ibid., p. 31-37 (1903); A set of, postulâtes for real Algebra, compi^ising postulâtes for a one-dimensional conlinuum and for ike tkeorij of groupa, ibid., t. VI, p. 17-41 (1905). Dickson, Befinitions of a field by indepeadent postulâtes, ibid., t. IV, p. 13-20 (1903). MooRE, A définition of absti-act groups, ibid-, t. 111, p. 4S5-492 (1902).

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