ysN.o.xxij = yxx

« Si a; et y soot des nombres entiers (N), xXy^yXx. » Cette implication est toujours vraie, car si x et i/ ne sont pas des nombres entiers, l'hypothèse est fausse. Il en est de même si, au lieu de « nombre entier », on met « nombre rationnel », nombre réel », <i nombre complexe ordinaire » ou « vecleor n. Hais l'implication ne serait plus vraie si l'on mettait a qualernion ». Cela montre la nécessité d'une hypothèse qui limite le domaine des variables. D'ailleurs, le plus souvent, sans une telle hypothèse la thèse n'aurait plus de sens, parce qu'on ne saurait pas la nature des termes qui y figurent. Dans les traités de Mathématiques ordinaires, les hypothèses de ce genre sont énoncées verbalement ou sous-entendues dans le contexte. Mais une formule n'est logiquement complète que lorsqu'elle comprend son hypothèse explicitement énoncée en symboles.

On comprend maintenant la différence entre l'implication formelle et l'implication matérielle. D'abord, celle-là enveloppe une infinité de cas, c'est une proposition universelle (exemple : Tout homme est mortel), tandis que celle-ci ne porte que sur un cas particulier (individuel et isolé). En outre, les deux membres d'une implication formelle doivent contenir les mêmes variables, c'esl-à-dire porter, au moins en partie, sur le même sujet; tandis que les deux membres d'une implication matérielle peuvent être deux propositions n'ayant aucun terme commun ni même aucune analogie. Au point de vue de la Logique formelle, « César a passé le Ruhicon » implique cfSûcratea bu la ciguë d, et même : « César est vivant» implique " 2 et 2 font 4 u, du moment que la première proposition est fausse ou que la seconde est vraie. Seulement, on est habitué à

ne considérer que des implications formelles, en raison de leur intérêt scientifique et de leur usage pratiqua, de sorte que même les implications matérielles sont regardées comme des implications formelles. Par exemple, « Socrale est homme implique Socrate est mortel » est une implication matérielle. Mais tout le monde la comprend comme une implication formelle, ou du moins comme un cas particulier, un exemple ou une application de l'implication formelle : « Si a: est homme, X est mortel. » On sent confusément que l'individualité de Socrate est indifférente dans cette implication, et qu'on pourrait lui substituer n'importe quel autre homme (et même, au point de vue formel, n'importe quel individu), La preuve en est que l'on peut affirmer l'implication matérielle : « Socrate est un triangle implique Socrate est mortel », mais elle choque parce que l'on entend par là l'implication formelle fausse : « Si X est un triangle, x est mortel. >.

Enfin l'implication formelle est analogue, et même en général équivalente, à la relation d'inclusion entre classes, de sorte que le Calcul des classes coïncide avec !e Calcul des fonctions propositionnelles, tandis qu'il ne coïncide pas avec le Calcul des propositions. La confusion illégitime de ces deux calculs est la source de certains paradoxes que nous n'avons pas à discuter ici.

M, Peano n'admet, dans son Calcul, que des implications formelles, dont les deux membres conliennent des variables. Cette restriction est possible en Mathématique, oii l'on n'a à considérer que des implications formelles, et elle a l'avantage d'éviter radicalement ia confusion que nous venons de signaler; mais elle est trop exclusive, car elle bannit de la Logique l'implication matérielle, qui est, en définitive, l'élément de toute implication formelle.

Nous avons parlé plus haut des classes singulières, c'està-dire formées â'un seul individu. Mais nous n'avons pas défini le nombre un, ni même l'individu. Selon l'habitude des Mathématiques, on ne définit pas l'individu, mais bien VidetHilé des individus. On dira que deux individus k et l sont identiques, ai

le second apparlienl à toute classe dont le premier fait partie; ce qui s'écrit symboliquement ' :

H importe de remarquer que l'identité des individus est logiquement distincte de l'égalité des classes, de même que les individus k et / sont distincts des classes singulières ik et il. C'est pourquoi nous employons un signe particulier ^e pour désigner cette relation.

Voici comment on peut définir la classe nulle (c'est-à-dire la classe qui ne contient aucun terme). Nous avons dit que les propositions sont susceptibles de deux valeurs, et de deux seulement, vrai (V) et faux {\). De même, les fonctions propositionnelles sont susceptibles de deux valeurs extrêmes (et en général d'une infinité d'autres), qui sont : toujours iTui (V) et toujours faux {\). Il importe de ne pas confondre ces deux sens des symboles V et jy; on les distingue aisément, suivant qu'ils s'appliquent à des propositions ou à des fonctions propoaitionnelles. Cela posé, soit une fonction propositionnelle aj; qui est toujours fausse : on définira la, classe nulle comme la classe correspondante; symboliquement :

« Si 9« est toujours fausse, a. sst la classe des x qui vérifient M. » C'est la classe nulle ou vide, puisque pur hypotlièso aucune valeur de x ne vôrilie ox.

1. Dans le second membre de cette formule la copule o suffit, et n'a pas besoin, comme il semble au premier abord, d'èlre remplacée par la copule ^. En elTel, puisque :

e classe qoelconque, on

I peut déduire la réciproque

Cela posé, pour exprimer qu'une classe a existe, qu'il existe des !ou au moins un fl, on dira qu'elle n'est pas nulle, ce qui s'éeriL :

On écrit souvent cette proposition sous la forme :

ii y a des o >>, qui est plus commode dans les applications mathématiques.

La classe nulle jouit de propriétés paradoxales, qui dérivent de celles de l'implication matérielle. Ainsi, puisqu'une proposition fausse implique toute autre proposition, la classe nulle est contenue dans toute autre classe, en vertu de l'implication générale :

ou de l'équivalence analogue :

xza.3 .x^/}: — .aD(>

(;omment e>:primcra-t-on, maintenant, qu'une classe a est singulière, c'est-à-dire ne conlient qu'un individu (qu'il n'y a qu'un a)? On exprimera, d'abord, qu'elle existe {n'est pas nulle), et ensuite, que si deux individus quelconques lui appartiennent, ils sont identiques. En symboles ;

a - = ji: X sa . y s a .o ^.,j . £= Il

C'est là, en même temps, la définition logique du nombre 1, de même que la délinition de la classe nulle est la définition logique du nombre 0. Et ces deux définitions sont exemptes de tout cercle vicieux, car elles n'impliquent que les relations logiques s, o, et les relations d'identité et de diversité entre individus que nous avons définies ci-dessus. Nous avons exposé en détail cette définition, parce qu'elle est d'une importance capitale pour Sa démonstration de cette thèse, que l'Arithmétique repose sur des fondements purement logiques; car cette thèse est bien prés d'être démontrée quand on l'a établie pour les deux premiers nombres entiers, et 1 '.