IV. Il n'y a pas plus d'un élément i te! que l'on ait

on a nécessairement :

Les deux postulats précédents se résument en une phrase : II y a un i< idempotent », et un seul.

V. S'il y a un élément unique i tel que i ioi^^^j, ou bien on a : ioa=^a pour chaque élément a, ou bien on a : aoi^^a pour chaque élément a.

Cela veut dire que l'élément i désigné dans les postulats III et IV (qui en affirment l'existence et l'unicité) est, ou bien module à gauche, ou bien module à droite. On appelle module d'une opération le terme <i de nul effet » dans cette opération, c'est-à-dire qui, combiné avec un autre quelconque, reproduit cet autre. Or, tant qu'il n'est pas établi qu'une opération est commutativi', il faut distinguer le premier et le second k facteur », et par suite le module à gauche (comme premier facteur) du module à droite (comme second facteur).

VI. S'il y a un élément unique i tel que toi^i, pour chaque élément a il y a, ou bien un élément a'a tel que a o a',, = i, ou bien un élément a\ tel que a'„ o a ^ i.

Cela veut dire que chaque élément a de la classe K a un réciproque à droite ou un réciproque à gauche. On appelle récî-

int (le 1370, ap.

proque d'un terme un terme qui, combiné avec lui, donne pour résultat le module. Et, pour la raison indiquée plus haut, il faut distinguer le réciproque à droite du réciproque à gauche. Nous venons 'de dire « le module « sans spécifier si c'est le module à droite ou le module à gauche. II est sous-entendu que c'est celui des deux qui doit exister, en vertu du postulat V. D'ailleurs, la disUnction est oiseuse, car on peut démontrer, au moyen de ces six postulats, que l'élément i est aussi bien module à droite que module à gauche, ou, plus exactement, que, pour tout élémont a, on a à la fois :

On peut donc appeler i purement el simplement le module.

Mais de ces sis postulats il ne résulte nullement que l'opération o soit commutative en général (bien qu'on ait, pour le cas particulier du facteuri, ai:=ia). Aussi faut-il leur ajouter un T postulat pour définir un groupe abéUen (c'est-à-dire commutati^, à savoir la loi commutative elle-même :

Vil. Quetsque soient les éléments a, é de K, on a :

Et ce postulat est indépendant des six. premiers. Ceux-ci sont également tous indépendants entre eux, c'est-à-dire qu'aucun d'eux ne peut se déduire des cinq autres.

On en déduit encore les trois théorèmes suivants : \" Si aob=^aob', on a 6^6'; et si a o6:::^«'o &, on a

2" A chaque élément «correspond un élément u~',el un seul, tel que :

noa-i:=a-'o(ï = i.

Cet élémonl a~' s'appelle le réciproque de a. Ainsi chaque élément a un réciproque unique, qui est à la fois réciproque à droite et réciproque à gauche.

3° Deux éléments quelconques a et É déterminent un seul élément X, tel que l'on a : « o s ^=; (i ; et un seul élément i/ tel que l'on a : y oa — 6.