SUR L\ NOTION DE GROUPE

L'élcmcntarestfl~^o6; rélément î/ esl : 60 a "'.C'est ce qu'on exprime en disant que les deux opérations inverses de o sont toujours possibles et univoquos.

Telle est la définition d'un groupe relatif à l'opération o; car un ensemble d'objets ne forme un groupe que par rapport à une opération déterminée ', Ainsi la notion de groupe eomprend à la fois la notion d'ensemble ou classe, et la notion d'opération ou combinaison. Mais qu'est-ce qu'une opération, et qu'y a-t-il au fond de cette notion manifestement anthropomorpliique, empruntée par métaphore au domaine de l'activite pratique? On n' « opère » pas réellement sur des objets abstraits ou des entités (des nombres, par exemple) qui sont immuables de leur nature. On ne peut même pas dire qu'on les (I combine » comme on combine des éléments chimiques. Quand on dit que la " combinaison » de a et de i» a pour « résultat » c, on fait simplement correspondre au couple des objets a &l b l'objet c; autrement dit, on établit une relation entre les 3 objets a, b, c. En définitive, une opération (binaire) n'est pas autre chose qu'une relation (ternaire) entre ses données et son résultat. On peut donc formuler la définition du groupe en termes de la Logique des relations ^

I. Il importe de bien distinguer l'opération par rapport k laquelle le groupe est défini, des objets qui sont (es olémenla du groupe, lorsque ces objets sont eux-inémes des opérations. Dana ce cas, l'opération e litutiïe du groupe consiste en général à effecLuer successieemenl deus opérations qui sont les élémenla du groupe; c'eat-à-dire, plus expli ment, si la première opération, effectuée sur l'objet a, a pour résultat *, la deuxième opération sera elTecluée sur fi, et aura pour résultat - Le • prodnit » de ces deux opérations sera l'opération tmiqtie qui, etfi tuée sur a, donnerait pour résultai c. D'ailleurs, les opérations éléme taires du groupe sont des opérations unitaires, des correspondances d'un objet & un objet (des relations bioaires, en général biuniformes), tandis que l'opération par rapport â laquelle le groupe est défini est une opération binairj, à savoir le produit relatif de deux des relations susdites.

3. C'est ce qu'a fait M. Huntinoton (loc. cit.) d'après une suggestion de M. BôcHEn {liiilldin of the American Malkemalicat Society, I. XI, p. 126; 1904-03).