DÉFINITIONS ANALYTIQUES ET SYNTHETIQUES

puisque c'est l'intuil-ion qui y différencie les jugements mathématiques des jugements métaphysiques, les uns et les autres étant également synthétiques a priori.

Mais ce ne sont là que des difficultés accessoires. L'objection capitale est celle-ci : De ce que les définitions mathématiques sont synthétiques et les définitions métaphysiques analytiques, s'ensiilt-il que les jugements mathématiques soient synthétiques? Pas plus qu'il ne s'ensuit que les jugements métaphysiques soient analytiques. En elTet, les caractères d'analytique et de synthétique sont attribués, dans le premier cas aux concepts, et dans le second cas aus propositions. Il y a là en réalité deux sens différents de ces mots; et si l'on pouvait tirer une conséquence de l'un à l'autre, ce serait la contraire de celle que Kant parait en tirer. En elfel, de ce que les concepts mathématiques sont fabriqués a priori et n'existent que par leur définition même, il résulte que l'esprit sait d'avance tout ce qu'il y a mis, et ne peul plus porter sur eux que des jugements analytiques; au contraire, si les concepts métaphysiques sont donnés tout faits en quelque sorte, et si leur analyse est ai difficile et presque toujours incomplète, il est bien probable que les jugements qu'on porte sur eux sont synthétiques. En résumé, les concepts synthétiques semblent devoir donner lieu à des jugements analytiques, et les concepts analytiques à des jugements synthétiques ^ Nous ne disons pas que cette conclasion soit logiquement justifiée, mais seulement qu'elle est beaucoup plus plausible que la conclusion contraire, et que par conséquent on ne peut point inférer du caractère synthétique des définitions mathématiques le caractère synthétique des jugements mathématiques ^.

1. M. VAlHiOOim conjecture même que telle a été à un moment donmS la pensée de ICaut (I, 213), Nous n'allons pas si loin" et en tout cas nous n'avons pis besoin da celte liypolhèse liistorique.

2. Cette confusion a été déjà dénoncée par M. VMUDiOEn el par Koppel- UANN {ap. cil.). Rictiard SUnho soutient avec raison qu'un jugement qui dérive logiquement d'une déijnitîon est analytique, alors même que cette définition repose (comme toutes les définitions mathématiques) sur une synthèse arbitraire : Wesen und Bedeutung der Syntkesis in Kanls Pkilo- Sùphig, ap. Zeitschrifl fur Philosophie, t. 94 (1888).

350 LA PHILO SOl'miî DES MATHEMATIQUES DE KANT

Que si uOLis (ionsultous, nco plus l'opinion de Kant, mais l'usage des mathémalieiens, noua constatons que toutes les définitions mathématiques sont purement nominales. Elles consistent à déterminer le sens d'un terme nouveau et supposé inconnu en fonction des termes anciens dont le sens est déjà connu (soit qu'on les ait précédemment définis, soit qu'on les considère comme indéfinissables). Plus rigoureusement encore, dans le style de la Logique mathématique, une définition est une égalité logique (une identité) dont le premier membre est un signe nouveau qui n'a pas encore de sens, et dont le second membre, composé de signes connus (et par conséquent ne contenant pas le signe à définir), détermine le sens du signe en question. Une définition n'est pas une proposition, car elle n'est ni vraie ni fausse; on ne peut ni la démontrer ni la réfuter; c'est une convention qui porte uniquement sur l'empioi d'un signe simple substitué à un ensemble de signes. Sans doute, une fois cette convention admise, elle devient une proposition, en ce sens qu'on l'invoque pour substituer un membre à. l'autre dans les déductions ultérieures {autrement, à quoi servirait-elle?} ; mais c'est une proposition identique, puisque non seulement le premier membre n'a pas d'autre sens que le second, mais qu'il n'a de sens que par le second. II y a plus : cette proposition identique ne peut être considérée à aucun degré comme un principe de démonstration, attendu que toutes les déductions qu'on en tire consistent à substituer le défini au définissant', ou inversement; on pourrait donc eflfectuer les mêmes déductions (d'une manière plus longue et plus compliquée seulement) en se passant entièrement de la définition, et en remplaçant partout le défini par le définissant. En résumé, une définition n'est ni une vérité ni une source de vérités; elle ne fait pas partie de l'enchaînement logique des propositions, elle n'en est qu'un auxiliaire commode, un moyen d'abréviation. Par conséquent, peu importe qu'on l'appelle

1. Nous disons » définissant ■ et non pas - définition >, puisque, comme nous venons de le dire, la - définition v est proprament l'égalité logique du ' défîuissanl • el du défini.

QUELLES SO.NT LES MATHEMATIQUES PUHES .' Soi

analytique ou synthétique (c'est (ine question de mots), sa nature et sa forme ne peuvent influer en aucune manière sur le caractère analytique ou synthétique des propositions qu'on en déduit, ou plutôt qu'on déduit par son moyen. Et dans tous les cas, dans la mesure où une définition joue le rôle d'une proposition, ce n'est et ne peut être jamais qu'une praposilion identique '.

Ges principes un fois établis, nous allons rechercher si les principes et les démonstrations des Mathématiques sont vraiment synthétiques. Toutefois, il importe d'observer que l'opinion de Kant parait avoir varié au sujet des démonstrations. Bs,n8W Méthodologie transcendentale, nous l'avons vu, il soutient que la mathématique seule a des démonstrations, c'est-à-dire des preuves apodictiques, en tant qu'intuitives : et il refuse le nom de démonstration aux déductions purement logiques (analytiques) tirées des seuls concepts. Au contraire, dans les Prolégomènes (§ 2 c) et dans l'Introduction de la Critique (B. i4), il déclare que n les raisonnements mathématiques procèdent tous suivant !e principe de contradiction {ce qu'exige la nature de toute certitude apodictique) ». Il est difficile de ne pas trouver là une contradiction. Mais il est aisé de voir que dans ce dernier passage il fait une concession imprudente à ceux qui soutiennent que les jugements mathématiques sont analytiques, et c'est la .\JélhodoIogie qui contient sa véritable pensée, sa doctrine réfléchie et syatématique,

QatlLLES SOKT LES MATHÉMATIQUES PURES?

Il y a une autre question préliminaire, plus difficile à résoudre : c'est de savoir quelles sont les sciences que Kant a

1. Cfetie théorie de la définition mathématique a éié exposée avec beaucoup de rigueoi' par Frëoe, Grundlagen der Ai'Uhmelili (i38i), et Grundgesetze der AHlkmelik, t. J, § 27 (1893), t. II, §§ SS-67 (1903). Elle a été auasi formulée et appliquée par M. Peaso dans son Formulaire de Malhémaliqiiss. Cf. Pbano, Les définitions mathémaliques, et BDBui.i-FoKti, Sur les différentes méthodes logiqttes pour la définition du nombre réel, sp. Bibliothèque du Congrès de Philosophie, t. HI.

considérées comme faisant partie de Ja Mathématique pure, et quel est leur rapport aux deux formes a priori de la sensibilité qui en sont selon lui le fondement. La pensée de Kant est singulièrement floltante sur ces deux points, pourtant essentiels. Dans la Dissertatio de 1770, l'espace était l'objet de la Géométrie, le temps celui de la Mécanique pure; et ces deux sciences faisaient partie de la Mathématique pure. Quant au nombre, c'était un « concept intellectuel », qui se réalisait in concreto au moyen de l'espace et du temps'. Dans ['Esthétique transcendentaîe, l'espace est !e fondement des vérités géométriques, mais on ne dit pas de quelle science le temps est le fondement; les principes apodicliques fondés sur cette forme a priori sont les suivants : « le temps n'a qu'une dimension; des temps différents ne sont pas simultanés, mais successifs » (§4, 3). Tels sont les <i axiomes du temps » selon la i'^ édition de la Critique; ils n'ont, comme on voit, rien de commun avec les axiomes de l'Ai-ithmélique. Dans 1' <i explication transcendentale » ajoutée à la 1' édition (^ 5), Kant est un peu plus explicite : le temps fonde la possibilité de tout changement, eu particulier du mouvement (changement de lieu), et par suite de * la science générale du mouvement, qui n'est pas peu féconde », et qui est déclarée être une connaissance synthétique a priori. Celle conception est d'ailleurs conforme h la thèse soutenue par K^mt au sujet du principe de contradiction, à savoir que ce principe devient synthétique dès qu'on y introduit la notion de temps en l'énonçant comme suit : « Il est impossible qu'une chose si n p n

(A. 152, B. 191) ^ Mais ell ma q K