Comme l'a fort bien remarqué Micuahlis, op. cil

les jugements arithmetiques sont-ils synthetiques.' 2s8

Les jugements arituméticues sont-ils synthétiques?

Comme Kant ne prouve sa thèse que par des exemples, nous sommes obligé de discuter ses propres exemples. Raisonnant sur l'égalité partieiilière7-+-3 = J2, il affirme que «le concept de la somme de 7 et de S ne contient. rien de plus que la réunion des deux nombres en un seul », que celte réunion n'implique nullement la pensée de ce nombre unique; qu'on peut analyser tant qu'on veut le concept de cette somme sans y trouver le nombre 12; et qu'il faut pour cela (. sortir » de ce concept et recourir à l'intuition, par exemple en comptant sur ses doigts (B. 15). Ce sont là autant d'afflrmations gratuites, qui ne aéraient justifiées que dans une conception grossièrement empiriste de l'Arithmétique ^ Tout au contraire, !e concept de la somme de 7 et de 5, par cela même qu'il implique la réunion des deux nombres (ou, plus exactement, de leurs unités) en un seul nombre, contient ce nombre même, attendu que celui-ci est déterminé par là d'une manière univoque; entre 7 + 5 et 12 il y a, non seulement égalité, mais identité absolue^. Cette proposition résulte donc, d'une part, du principe d'identité, d'autre part, de la diifinition de la somme et des nombres 7 et a, et pur conséquent elle est analytique '. Il

i. il importe de remarquer que Kant prend pour exemple une rériié arittimétique particulière (ou mieuï ; singulière) pour laquelle sa thèse paraît plus plausible. Or on pourrait supposer que sa thèse peut être vraie pour les propositions singulières, mais qu'elle est fausse pour les propositions générales qui constituent proprement les théorÈmes de la science des nombres. C'est pour ceux-ci que Kant aurait dû justifier s» thèse. Mais peut-Ëtre les considérait -il (à tort) comme des théorèmes d'Algèbre. Dans ce cas, nous renvoyons le lecteur à ce que nous disons plus loin de l'Algèbre.

2. C'est ce qu'ont déjà soutenu Zihuebuabk, Vebe>' Kaiit's matkeatalïsoher Vorwiheil und dessen Foigen, ap. Sitsungsberiekte der k. Akademie der Wiasenscitaften tu Wiert, philos.-hist. Klasse, séance du 11 jaur. 1871 (t. 67, p. 7-i8),etR. Sbtdel, Eantssynthelisctte Urtheile a priori, insbesondere in der Mathemaiik, ap. Znisclirifl fur l'hilosopliù, t. 94 (18SS).

3. Voici d'ailleurs la démonstration formelle de cette proposition : Définitions :

n'est pas besoin de recourir à aucune intuilion, que ce soit celle des doigts de la main, de jetons ou de cailloux, pour démontrer en toute rigueur cette proposition^. Kant prétend que le caractère synthétique des vérités arithmétiques apparaît encore mieux lorsqu'il s'agit de nombres élevés (B. 16). Mais cet argument se retourne contre lui. En effet, il est pratiquement impossible d'avoir l'intuition précise et complète de nombres de l'ordre des millions, et jamais on ne pourrait les manier ni les calculer exactement s'il fallait recourir à l'intuition. Ce qui est vrai des grands nombres l'est aussi des plus petits, et par conséquent ce n'est pas l'intuition, mais le raison nome ut, qui nous permet d'affirmer que 2 et 2 font 4.

Telle n'est pas l'opinion déliant, qui considère au contraire toutes les vérités arithmétiques singulières de ce genre comme des propositions n immédiatement certaines », « évidentes » et « indémontrables >• (B. 204-20S). Il en résulte cette conséquence fort choquante, qu'on devrait admettre une infinité d'axiomes, puisque de telles vérités sont en nombre infini'.

En vertu de la définilioii de ia somme, on a :

7 + 3^1 + (3 + l) = CI-fa) + l.

Or:

Ou remarquera que nous avons constamment procédé par substitution de termes égaux, c'est-à-dire frfeniigues, de sorte que notre démonstration est plus simple et plus analytique qu'aucun syllogisme.

1 . 3. POMUEB {Zur Àbwehr einiger Angriffe auf Kant'a Lehre von der synthetùc/ien Nalur malliematischer Urtheite) invoque les procédés pédagogiques de l'éooie primaire. Cet argument se retourne contre loi : car à l'école primaire aussi on invoque l'intuition pour établir la loi commutative de la multiplication (au moyen d'un tableau). Or onpaut (quoi qu'en dise cet auteur) démontrer logiquement la loi commutative, sans appel à l'intuition, de même qu'on démontre logiquement T + S = 12.