LES JUGEMENTS ARITHMÉTIQUES SONT-ILS SYNTHÉTIQUES

Kant a aperçu la diffleulté, et il s'en tire en appelant ces vérités, non pas des axiomes, mais des « formulos numériques », parce qu'elles ne sont pas générales {comme les axiomes de la Géométrie.}. Quel que soit le nom qu'il leur donne, il n'en est pas moins ^rai qu'il admet une infinité de propositions premières synthétiques et irréductibles, ce qui est peu conforme à l'idée d'une science rationnelle. Mais alors, comment se fait-il qu'on ait besoin du calcul, et parfois même de longs calculs, pour les découvrir ou les démontrer? Si les vérités aritlimétiques étaient réellemenl intuitives, il ne serait pas si difficile de s'assurer qu'un nombre donné est premier, ou de véi-ilïer (je oe dis pas : de démontrer) le Fameux théorème de Goldbaeh : « Tout nombre pair est la somme de deux nombres premiers ». En réalité, il y a là une erreur fondamentale sur la nature des vérités arithmétiques singnlières, qui sont toutes démontrables; les seules vérités primitives ou indémontrables de l'Arithmétique sont des propositions générales ou axiomes, dont précisément Kant ne s'occupe pas.

Il ne sufiît pas de réfuter une erreur, dit-on souvent, il faut l'expliquer. Celle de Kant s'explique par sa conception étroite et simpliste de la Logique ', H dit, dans le dernier passage cité : <i Nous pourrions tourner et retourner nos concepts tant que nous voulons, nous n'arriverions jamais à trouver la somme par la simple décomposition de nos concepts... >i (B. 16). Mais qui nous dit que tous les concepts sont •> composés » de concepts partiels, de telle sorte qu'il suffise de les » décomposer » pour découvrir toutes leurs propriétés? C'est là une hypothèse gratuite de la vieille Logique, qui peut s'appliquer à certains concepts empiriques, mais qui précisément ne s'applique pas

1. Cette conception se manifeste déjà dans l'opuscule sur Les Quantités négatives (1163) par la distinction des raisons logiques, conséquences du principe d'identité, et des raisons réelles, dont Kant donne un exemple dans cette phrase ; • Vous pouvez analyser tant que vous voudrez le concept de la Tolonlé divine, vous n'y trouverez jamais un monde existant, comme s'il éiail contenu en elle et posé par elle en vertu de l'identité • (Ed. Hart., Il, 104). On reniarijuera l'analogie formelle de cette phrase avec celles de la Critique où il est question de jugements synthétiques (B. 15; B. 744, etc.).

2S8 LA PriiLOSOPHIE DES MATBEMATIQDËS DE KANT

aux concepts mathématiques'. La même exigence presque naïve se manifeste dans un autre passage : « Je ne pense le nombre 12 ni dans la représentation de 7, ni dans celle de 5, ni dans la représentation de la réunion {ZusammenseUuntj) des deux » (B. 203). Que le concept de 12 no soit contenu ni dans 7, ni dans 5, cela est trop évident ; mais qu'il ne soit pas contenu dans la « réunion » de 7 et de 5, cela est justement la-question : et cela dépend de ce qu'on entendra par « réunion a. Kant a si bien senti la faiblesse de cet argument, qu'il ajoute une parenthèse où il paraît faire une distinction subtile entre fi réunion » et « addition >» : <s Que je doive penser le nombre 12 dans l'addition des deux, il n'en est pas question ici » (il nous semble, au contraire, que c'est bien là la question), « car dans un jugement analytique il s'agit seulement de savoir si je pense réellement le prédicat dans la représentation du sujet, » On croirait, au premier abord, que Kant se réfugie ici dans une considération d'ordre psychologique, en distinguant ce qu'on doit penser et ce qu'on pense réellement : à quoi l'on répondrait que, s'il ne pense pas réellement le prédicat dans la représentation du sujet, c'est qu'il ne se représente pas rédlement celui-ci : il est clair que si l'on se contente d'une pensée symbolique (comme disait Leibniz), c'est-à-dire de la représentation des signes 7,+, S, on n'aura pas par là l'idée du nombre 12; mais si l'on pense réellement 7 unités d'une part, 5 unités d'autre part, et qu'on tes pense réellement comme réunies en un seul nombre (ce qui est le sens du signe -i-), on pensera par là même nécessairement le nombre 12 ^.

1. Si l'on Yeut ïoir combien la Logique classittue se montre insuffisante en présence des jugements maUiématiiiies les plus simplefi, on n'a qu'à Kre l'opuscule déjà cité de J. Pomjjeb. On y trouvera cet argument, que le prédicat, daus 7 -|-8 = 12, n'est pas 12, mais - égal à 12 ■>, attendu que te. copule logique n'est pas ■ égale », mais .i est > ; d'ofi il suit que ia converse de 7-f- 5 — 12 n'est pas : i2=7-|-5, maie bien : . Quelque chose égale â 12 est la somme de 7 et de S •■ Un pareil commentaire de la llièse kantienne équivaut h. une rétiitation par l'absurde. Cf. W. Beich*iuit, cité plus bas (p. 36S, noie 1).

2. L'argument suivant de Hetsians aemble être une parodie de celui de Kant, : L'idée de 12 n'ust contenue ni dans 1, ni dans S, ni dans +; car aucune de ces notions ne dit qu'on peut prolonger la suite naturelle des