De même Kant dit d'un jugement analytiiiue : - Que l

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a de phis étonnant, c'est qu'un problème que l'entendement pose (puisque Kant parie dn concept de la somme 7 + 5) ne puisse être résolu que par l'intuition. En réalité, il y a vraiment un problème, si « 7 + 5 » n'est qu'an assemblage de mots prononcés ou de signes écrits, qui sert de véhicule à l'idée entre deux esprits (par exemple de l'esprit du maître à celui de l'éJÈve qu'il interroge); mais si l'on pense réellement le sens de ces mots ou de ces signes, iî n'y a plus de problème, ou plutôt la position du problème en est la solution, car le même esprit qui pense 7 + b pense en même temps 1%. Encore une fois, cette égalité malhémalique ne représente nullement une opéralion pénible ou compliquée, mais une identité absolue. La synthèse ne s'effectue pas dans !c passage du i"' au 2' membre (figuré par le signe =], mais dans la formation du i" (figurée par le signe +). Or il ne s'agit pas de savoir comment nous avons formé le sujet, mais si ce sujet, supposé formé et donné, contient le prédicat.

Au fond, dans la phrase que nous discutons, Kant joue sur les mots de réunion et d'addition. Il paraît vouloir dire que, pour obtenir le nombre 12, il ne suffit pas de réunir par la pensée les deux nombres 7 et 5, comme on réunit deux concepts partiels (animal et raisonnable par exemple, pour en composer un concept total, homme): il faut les additionner, et cette opération, selon lui, ne peut s'effectuer que dans et par l'intuition. La distinction est juste, mais elle se retourne contre Kant. En effet, le sujet n'est pas « 7 et 5 », mais « 7 + 5 », ce qui signifie que pour le former il ne suffit pas de réunir les deux nombres, mais qu'il faut les additionner, et c'est ce qu'indique expressément le signe +. Si Kant refuse de les additionner, et se contente de les réunir, il n'a plus le droit de parler du concept de somme, même à titre problématique, En résumé, il reproche à l'addition arithmétique de n'être pas la multiplication logique, comme s'il ne pouvait y avoir qu'un seul mode de combinaison des concepts,

existent ou non.., •> Entdeclcv.no (Rosenliranz, 1, 4S3).

et il se croit autorisé par là à substituer celle-ci à celle-là; il ne fait que dénaturer le problème, si problème il y a. De môme que les concepts de nombres ne se laissent pas définir per genus et dijferentiam, ni décomposer en facteurs logiques, ils ne se laissent pas non plus combiner par le procédé de la multiplication logique. Cela ne prouve qu'une chose : l'étroitesse et l'insuffisance de !a Logique classique.

Mais il ne faudrait pas en conclure que l'addition aritlimétique échappe aux prises de la vraie Logique, car elle peut et doit se définir au moyen de l'addition logique'- Soit a une eollecfion de 7 objets et b une collection de 5 objels; on suppose que ces deux collections n'aient aucun élément commun. La somme de 7 et de S est le nombre de la collection formée en réunissant ces deux collections, c'est-à-dire de la somme logique de a et de b. Lorsque Kant prétend qu'il faut « sortir » des concepts de 7 et de 5 pour trouver i% il veut dire simplement ceci, que cette somme s'obtient, non en combinant directement les deux nombres, mais en additionnant des classes qui y correspondent; autrement dit, non par une multiplication logiqua, mais par une addition logique *. Mais il ne faut pas dire qu'on « sort » par là du concept 7-1-3, car c'est précisément là ce qu'il signifie : on ne fait que lo rcaliser dans l'esprit.

On nous objectera peut-être que, par le fait même qu'on substitue aux concepts de nombres les classes correspondantes, on passe du domaine de la pensée dans celui de l'intuition : on représente les nombres par des classes ou eollecliona d'objets :*cela ne donne-t-il pas raison à Kant, en montrant que l'addition est une opération Imaginative, et non inlellectuellc? A cela nous répondrons : Encore une fois, un nombre

i. Voir chap ii, p. B2.

2. C'ûst 1q remarque déjà faite par Leibwiz, quand ii disait : a-\-a=:a au point de vue logique, c'est-à-dire quand le signe -V- désigne l'addition (ou plutôt la mulliplication) logique; a + (i = Sa au point de vue nia- Ihématique, c'eat-à-dire quand le signe -\- désigne l'addition aiilhmétique; parce qu'ici les deux n ne représentent pas le même nombre, mais deux tollections distinctes ayant le même nombre. Cf. p. 53, note 1.

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n'esL pas autre chose que le concept d'une collection ; demander que l'on conçoive le nombre sans penser une collection, c'est demander l'impossible'. D'autre part, c'est une loi psychologique ijue tout concept, même le plus abstrait et le plus u pur I), a besoin de s'appuyer sur quelque image ; il est donc naturel el nécessaire que nos raisonnements sur les nombres s'accompagnent d'images plus ou moins vagues. Mais la question épistémologique, absolument indépendante de ces circonstances psychologiques, est celle-ci : Que! est le fondement logique des vérités arithmétiques? lîsl-ce le concept, ou est-ce l'intuition? Lorsque Kant considère comme analytiques des jugements comme ceux-ci : « L'or est jaune t, ou « Tout corps est étendu o,il ne prétend pas que, en formulant ces jugements, nous bannissions toute imago sensible r car ce serait encore plus difficile que pour les vérités arithmétiques. Il n'exige pas que nous pensions l'or sans imaginer sa couleur, ni les corps sans imaginer leur étendue (puisque, selon sa propre doctrine, nous ne pouvons jamais nous débarrasser de l'intuition de l'espace); et pourtant il ne soutient pas que les susdits jugements soient entachés d'intuition, et par suite synthétiques. Pourquoi? C'est que, quelle qu'en soit l'origine psychologique, et quelles que soient les images dont ils s'accompagnent inévitablement, les concepts d'o»- et de corps comprennent actuellement, par définition, les concepts de jaune et d'étendu ^. Eh bien, de même, le concept, non pas de Il 7 et S >i, mais de « 7 + S », de quelque manière qu'on l'ait forméj contient actuelleinaiit et par définition le concept de 12, bien mieux, il lui est identique.

t. Massonius {Ue/tei" Kanl's tvansscendentale Aesthetik, Eine kriliscke Untersuchung... Id.- Dissertation, Leipzig, ISSO) a. soutenu une tlièse analogue (§ l) : les Jiigemenls mat^Ëmatiques sont analytiques, parce que l'intuition est contenue dans les ooncepls; car ces concepts ne fieraient

2. Cf. Prolégomènes, g 2 b : ^ Toutes les propositions analytiques sont deajugemenis a priori, alors même que leurs concepts sont empiriques. • (exemple : l'or est un métal jaune). Cela prouve bien que le caractère logique du Jugement ne dépend nullement de i'origine du concept, qui est toujours le produit d'une synthèse (empirique ou a priori).

Ce raisonnement trouve dans les explications ultérieures de Kant une précieuse confirmation. Il reconnaît en effet luimême, un peu plus loin, que la mathématique emploie quelques principes analytiques (quand ce ne serait que le principe d'identité : a=a), et il déclare que, « bien qu'ils soient valables d'après les seuls concepts, ils ne sont admis dans la mathématique que parce qu'ils peuvent être représentés dans l'intuition » {B. 17). Mais, inversement, de ce que des propositions sont représentées dans l'intuition (même nécessairement), elles ne sont pas pour cela synthétiques, et peuvent n être valahles d'après les seuls concepts' », Au surplus, on pourrait remarquer que Kant choisit assez malencontreusement son exemple de principe analytique : " Le tout est plus grand que la partie », qu'il formule : <> a-\-b > a ». En effet, cette proposition u'est même pas un principe ou un axiome, car elle n'est vraie que pour certaines espèces de grandeurs, et non pour toutes. C'est un simple théorème que l'on démontre dans chaque cas, moyennant la définition des signes-l-et > (à moins qu'on ne prenne cette formule pour définition du signe >). Par exemple, ce théorème est vrai pour les nombres finis, mais il n'est plus vrai pour les nombres cardinaux infinis^. Sans doute, on ne peut reprocher à Kant d'avoir ignoré ces vérités, si élémentaires qu'elles soient aujourd'hui. Mais on se demande, néanmoins, comment il a pu, en vertu de ses propres principes, admettre qu'une telle proposition est analytique. En eflTet, si l'on considère le premier membre, il contient le signe d'addition, il est une somme, tout comme T + S, et si celle-ci est fondée sur l'intuition, celle-là doit l'être aussi : si l'on ne sait pas (analytiquement) que 7 -(- b, c'est

t. Il ne faiil pas se laisser induire en erreur par !a pliraae suivante {" Waa uns hier gemeiniglich glauben macht,... .)car, comme l'a bien montré Vaihingbr (1, 303), elle se rapporte, par une anacoluthe assez étrange, au paragraphe antérieur, oti il est question des jugements syntfiéti^iies. Il ne faut pas en conclure que Kant déclare synthétiques ces mêmes principes qu'il vient de déclarer analytiques.

2. L'un et l'autre ont été formellement démontrés par M. Whiteheau, On cardmal nianbers, sect. III, ap. American Journal of Malhematics, t. XXtV (1902).