LES JUGEMENTS ARITHMÉTIQUES SONT-ILS SYNTHÉTIQUES

le nombre 12, on ne peut pas savoir non plus quelle est !a somme de a et de 6, ni par suite si elle est plus grande que a. D'autre part, si l'on considère la copule (le signe >), il est facile de se rendre compte que la vérité de cette proposition dépend essenlielleraeut du sens ou de la définition de cette copule. Quel que soit ce sens, il a toutes chances d'être moins analytique que celui de la copule ^ (qui, nous l'avons vu, signifie l'identité); il serait aisé à un Kantien de soutenir que la relation /)/ms grand que repose sur l'intuition. Kant n'a pu croire un instant que le prédicat (a) « est contenu » (au sens logique) dans le sujet (a + ô); car, d'une part, C6 sujet n'est pas un produit logique, mais une somme mathématique, et d'autre part la copule du jugement n'est pas le verbe être, ce n'est donc pas uo .jugement de prédication, comme semble l'exiger la définition des jugements analytiques'. Il n'a pas pu davantage se faire celte illusion, que le jugement en question repose sur le principe de contradiction, car qu'est-ce qu'il y a de contradictoire à poser : va-\-h=::aii ou «a+b<an, à moins qu'on ne fasse intervenir l'intuition, c'est-à-dire une espèce particulière de grandeurs et une opération particulière figurée par +, auquel cas il peut bien y avoir une contradiction, non pas dans notre jugement, mais entre notre jugement ei l'intuition? Bref, de quelque façon qu'on examine celte proposition, on ne découvre aucune raison de la considérer comme analytique qui ne vaille a fortiori pour « 7 + 5:=;12 », et l'on ne trouve non plus aucune raison de considérer * 7-1-5^ 12 » comme synthétique qui ne vaille m /brtion pour (1 «+ 6 > a B. Que faut- il en conclure, sinon que la distinction des jugements analytiques et synthétiques était

1. Wilibald ReiCHAnDT (Kant's Lekre von den syntkelùchen Urlkeilen a pnori in ikrer Beileutung fur die Matkematik, ap. Philosopkisehe Studien, t. IV, 138S), en raisonnant suivant la méthode kantienne, aboutit à ceEle conciusioii, que le jugement a-^-by^a, est synLhétique, parce aue !e stijet (a-|-Â) ne contient pas le prédical "> a »! On voit quel est l'inconvénient d'appliquer aux jugements mathématiques une théorie logique qui ne leur convient pas, et de les traiter comme des jugements de prédication. Cf. ce que nous avons dit plus haut au sujet de Pommer (p. 25S,

singulièrement vague et flottante dans l'esprit même de son. auteur '?

Au surplus, elle l'a parfois induit en des erreurs llagrantes. Par exemple, il considère comme un jugement analytique ce principe : « P^gal ajouté (ou retranché) à égal donne égal «, parce qu'on y a immédiatement conscience de l'identité des deux grandeurs comparées (B. 204). Or c'est là une erreur, car ce jugement, loin de reposer sur le principe d'identité, énonce une propriété de l'addition (ou de la soustraction), à savoir que cette opération est uniforme. C'est donc là un axiome, qui est vrai pour certaines opérations et faux pour d'autres *. Par exemple, l'extraclion des racines n'étant pas une opération uniforme, on ne peut pas écrire : \fl^=^^l, bien que celte égalité ait toutes les apparences de l'identité, et que, selon les mots mêmes de Kanl, on ait immédiatement conscience d'une identité dans la génération de la grandeur : car v'4 peut être aussi bien +2 que — 2, de sorte que l'égalité considérée pourrait conduire à l'égalité absurde ; -f- 2 ^= — 2.

Le schématisme.

U ne reste plus qu'un seul argument en faveur de la nature synthétique des vérités arithmétiques : c'est la conception du nombre, telle qu'elle résulte de la théorie du schématisme. On sait que, selon Kant, le nombre, schème de la grandeur, « est une représentation qui embrasse l'addition successive d'une unité à une autre (de même espèce) « ; et, par suite, « le nombre n'est pas autre chose que l'unité de la synthèse de la mulliplicité d'une intuition homogène en général, par le fait qu'on engendre le temps lui-même dans l'appréhension de

]. L'eiemple !e plus frappant des variations de la pensée de Kant dans l'applicalioD de sa distinction fondamentale des jugements analytiques et svnlhétiiiues est le principe de l'unité nécessaire de l'aperception, qu'il me synthétique dans la 1" édllion de la Critique (A. HT, ne analytique dans la 2" (B. 133, 138). V. Koppelhikn, arl.

LE SGHiiMATISMK 267

l'iiituilion » (B. 182). Ainsi, en tant que schème, le nombre est intermédiaire entre la sensibilité et l'entendement ; il est à la fois intellectuel et intuitif. D'un côté, il est un produit de l'imagination; mais d'un autre côté, il participe de la généralité du concept, et par là se distingue de l'image.

De cette conception ii résulte que le nombre a un contenu intuitif, et qu'il implique essentiellement la succession. C'est l'intuition, ea. particulier l'intuition du temps, qui sert de fondement aux jugements arithmétiques, et qui seule explique leur nature synthétique. Mais d'abord il convient de faire des réserves sur la portée de cette théorie. Sans doute, s'il est établi par ailleurs que les jugements arithmétiques sont synthétiques, on pourra trouver l'espUcation de ce fait dans la nature intuitive du nombre, et même en tirer argument en faveur de celle-ci; mais, en admettant que le nombre procède, au moins en partie, de l'intuition, peut-On en conclure que les jugements arithmétiques soient synthétiques? Pas le moins du monde, et les discussions précédentes nous apprennent pourquoi. Nous avons vu eu effet que le caractère synthétique des jugements ne dépend nullement de la nature des concepts, de leur origine ou de leur mode de formation; et nous savons que, de l'aveu même de Kant, on pcîut porter des jugements analytiques sur des concepts empiriques comme ceux de corps ou d'or, qui sont le produit d'une synthèse intuitive. Peu importe que l'intuition sur laquelle repose cette synthèse soit empirique, tandis que le nombre repose sur une intuition a priori : cela uc change rien à la nature synthétique de tous ces concepts, et cela n'empêche pas du tout qu'ils puissent être l'objet de jugements analytiques fondés sur leur définition.

Nous pourrions nous contenter de ce non sequitur, et nous dispenser de discuter la théorie kantienne du nombre. Nous le ferons d'ailleurs très brièvement, car nous avons étudié ailleurs la même question avec plus de développement'. Que le nombre enveloppe nécessairement la succession, c'est \k une

268 LA l'HlLOSOl'HIE DES MATHEMATIQUES DE KANT

proposition psychologique, et qui, même au point de vue psychologique, est plus que contestable, au moins pour les petits nombres : n'a-t-on pas l'intuition absolument simultanée de 2, 3, 4, 3 points, surtout quand iis sont réguliëremenl disposés? Gomment pourrait-on lire la lettre A, par exemple, si l'on n'avait pas la perception simultanée de ses 3 côtés et de ses 3 sommets? Gomment les aveugles eux-mêmes pourraient-ils distinguer au toucher les lettres de l'alphabet Braille, s'ils ne percevaient simultanément les points (au nombre de 6 au plus) qui composent chacune d'elles? Quoi qu'il en soit, du reste, ces considérations psychologiques n'ont aucune valeur dans la queslioQ épistémologique qui nous occupe, 1! ne s'agit pas de savoir comment nous prenons conscience d'un nombre, mais en quoi consiste la notion d'un nombre. Or dans cette notion il ne reste rien des opérations psychologiques, simultanées ou successives, par lesquelles nous l'avons formée, et pour cette bonne raison, qu'il faut que nous ayons conscience simultanément de toutes les unités pour pouvoir dire que nous pensons un nombre et quel nombre nous pensons. Au fond, quiconque fait intervenir le temps dans la notion de nombre confond celle-ci (à la manière des empirisles) avec l'opération du dénombrement. Or il est facile de montrer que le dénombrement présuppose l'iJée de nombre, loin de l'engendrer, et qu'en tout cas, l'idée de nombre fùl-elle postérieure au dénombrement, il n'y reste pas plus de trace du temps employé à cette opération, qu'il ne reste, dans un édifice, de trace de l'échafaudage qui a servi à le construire'.

Au surplus, qui prouve trop ne prouve rien; or l'argument psychologique que nous discutons ne tend à rien de moins qu'à prouver que le temps fait partie intégrante de toutes nos idées et de toutes nos connaissances, puisqu'il est la forme générale, non seulement de la sensibilité, mais de toute la vie mentale, et que tous nos actes, même les plus intellectuels, se passent forcément dans le temps. Un monument, un tableau sont, bien

1. Cette thèse a élé foi-L bien soutenue par MmHAiîLis (o^, cil.).

plus certainement que le nombre, le produit d'une synthèse forcément successive, soit d'assises de pierre, soit de touclies de pinceaux juxtaposées et superposées; et pourtant, une fois terminés, ils ne conservent rien de la durée consacrée à leur élaboration. Un raisonnement purement logique « prend du temps » pour s'effectuer dans l'esprit; il ne s'ensuit pas qu'il implique si peu que ce soit une synthèse intuitive et temporelle,

Dira-t-on que la synthèse intuitive qui constitue le nombre s'effectue dans l'espace, et non dans le temps, ou dans l'espace aussi bien que dans le temps? Cette interprétation, quoique contraire à la théorie du schématisme, pourrait s'appuyer sur les passages précédemment cités de V Introduction et des Prolégomènes, car dans ceux-ci le nombre est présenté comme un schème spatial, et non comme un schéma temporel. Mais la thèse qui fait reposer le nombre sur l'intuition de l'espace n'est pas plus solide que celle qui le fonde sur l'intuition du temps : car, de même qu'on peut dénombrer des objets qui ne sont pas successifs ni même soumis au temps, on peut dénombrer des objets qui ne sont ni étendus ni même situés dans l'espace : des notions, par exemple, ou des propositions. D'ailleurs, on ne ferait que reculer la difficulté, car l'espace luimême, selon Kaiit, ne peut être perçu que dans le temps. Il soutient en effet que l'espace est une grandeur extensive, c'est-àdire telle que la représentation du tout n'est possible que par la représentation préalable des parties' (B. 203). Or les grandeurs extensives ne peuvent être appréhendées que par une synthèse successive de leurs parties (B, 204); et Kant répète plus loin la même assertion au sujet des grandeurs continues : la synthèse (de l'imagination productive) qui les engendre est un

1. Il esl clifUcile de concilier celte aBsertion avec cette thèse de l'Esthélitjue ti'BDscea dentale, que l'espace est « une grandeur intlnie donnée -, et que ses parties <■ ne peuvent paa être pensées aiiani lai,,., mais seulement en lui - (B. 39}. La même assertion reparaît dans l'Ânliriomie (B. JUG] : les parties de l'espace ne sont possibles que dans le tout, etuon le toutparles parties. Celte contradiction a été déjà sinnalce par P, Schrôder, Kants Lehre vont Raum (1904).

processus dans ie temps' (B, 212); et d'ailleurs l'espace et ie temps sont des grandeurs continues (B. 211). Qu'est-ce à dire, sinon que les grandeurs spatiales et l'espace lui-même ne peuvent être appréhendés qu'à travers le temps? Aussi Kant affirmc-t-il que la Géométrie, elle aussi, « repose sur la synthèse successive de l'imagination productive dans la génération des figures » (B. 204); par exemple, on ne peut pas se représenter une ligne sans la tirer dans la pensée, et par suite l'engendrer dans le temps (B. 203; cf. lU, 137-138). Cet exemple suffit à juger toute cette théorie; elle consiste à confondre, à la manière des cmpiristes, les idées géométriques avec les images subjectives qui leur servent de support intuitif. L'idée d'une ligne est aussi indépendante de l'image que l'on obtient en la <i tirant » par la pensée, que de la figure sensible qu'on réalise avec un tire-ligne sur le papier ou avec la craie sur le tableau. On n'a pas plus le droit de dire qa'une ligne enveloppe une certaine durée, que de dire qu'elle se compose d'encre de Chine ou de carbonate de chaux*.

Au surplus, la théorie du schématisme donne lieu, en ce qui concerne le nombre, à bien des difficultés. On sait qu'un scbcme est « la représentation d'un procédé général de l'imagination pour procurer à un concept son image » (B. 179-180). Or Kant distingue le nombre, comme schème de la grandeur, de l'image qu'on en construit, par exemple, à l'aide de points (B. 179). La pensée d'un nombre particulier « est la représentation d'une méthode pour représenter une multitude (par exemple 1000) conformément à un certain concept dans une image, plutôt que

i. On ne voit pas bien, dès lors, comment cette propriété tlistingiie les grandeurs continues des autres. Du reste, la définition que Kant donne des grandeurs continues n'a plus aucune valeur h. présent : il les déiinit en eifet par cette propriété qu'aucune partie n'est la plus petite possible <B. SU); or c'est là la divisibilité & l'infini, et personne n'ignore aujourd'bui qu'elle ne surfît pas â constituer la continuité.

2, On pourrait soutenir que le nombre est le produit, non plus d'une synthèse intuitive, mais d'une synthèse iniellectuelle, et essayer de conserver ainsi le caractÈre synthétique des jugements arithmétiques. (Ce parait être la conclusion de Michaet.is, op. cit.) Nous nous bornerons à constater que c'est là (me thËse toute dtlTérente de la thèse kantienne, où l'intuition est essentielle, et que seule nous avons à discuter ici.

LE SCHÉMATISME 37i

cette image même, qu'il serait difficile, dans ce dernier cas, d'embrasser et de comparer au confiept » (B. 179). Mais qu'estce que ce concept, sinon la notion d'une multitude composée de JOOO unités, c'est-à-dire la notion mcme du nombre 1000? Dès iors, que vient faire le schème entre ce concept et son image? S'il est un produit de l'imagination, il ne peut être que confus comme l'image même; s'il est une méthode générale de construction, il ne diffère pas du concept; dans tous les cas, on ne voit pas comment ii peut faciliter la comparaison et le rapprochement du concept et de l'image.

D'autre part, si le nombre est le schème de la grandeur, il semble que le concept que le nombre représente soit le concept d'une grandeur. Mais qu'est-ce qui fait que tel nombre représente telle grandeur plutôt que telle autre? C'est qu'il exprime le rapport de cette grandeur à la grandeur-unité de même espèce; or le choix de cette unité est complètement arbitraire. Il n'y a donc dans la notion d'une grandeur rien qui indique qu'elle doive avoir pour » schème » tel nombre plutôt qu'un autre. De plus, si la grandeur est im concept, et si eile ne peut être schématisée que par le nombre, que devient la théorie kantienne suivant laquelle toute grandeur est intuitive, et revêt nécessairement la forme de l'espace et du temps? Enfin, quel est le rapport du nombre, en tant que schème, avec les n sehèmes » des figures géométriques? On dira sans doute que le nombre est un schème temporel, tandis que les sehèmes géométriques sont spatiaux. Pourtant, liant admet que le nombre 5 a pour image cinq points alignés; or, si l'on généralise ce procédé de construction, on obtiendra un schème spatial du nombre o; et, d'autre part, la construction des figures géométriques étant successive selon Kant, les sehèmes géométriques doivent impliquer aussi le temps. On ne voit donc pas ce qui distingue le nombre des sehèmes géométriques, ni en quoi l'Arithmétique diffère de la Géométrie, tant par sa méthode que par son objet. Et pourtant tout le monde sent la difFcrence qu'il y a entre les nombres et les figures géométriques; les premiers sont plus abstraits, plus généraux, plus

intellectuels, et ont une portée universelle : tout obéit aux lois du nombre, tandis que tout no tombe pas sous les prises de la Géométrie. En résumé, si le nombre est un schéma, il ne peut être le sciièmo, ni du nombre, ni de la grandeur, de sorte qu'on ne sait pas de quoi il est le schcme.

Le nombre et la grandeur.

D'ailleurs, il est difficile de se faire une idée précise de la théorie de Kant sur la grandeur et ses rapports avec le nombre. En principe, la grandeur est une catégorie, c'est-à-dire un concept a priori de l'entendement'; elle a pour schème le nombre, et pour image l'espace (B. 182). Le nombre serait alors un intermédiaire entre la grandeur et l'espace, le véhicule de celle-là dans celui-ci. Mais le concept de grandeur, comme toutes les catégories, n"a de valeur objective que par son application aux données d'une expérience possible, c'està-dire à l'intuition. 11 faut donc " rendre les concepts sensibles a, et c'est à cela que servent les schèmes. Ainsi, selon Kant, le concept de grandeur cherche son support et son sens dans le nombre, et celui-ci dans les doigts, les boules du tableau à calculer, les traits ou les points (B, 299). Il semble, par suite, qu'on ne puisse penser la grandeur, en mathématiques, que par l'intermédiaire du nombre, et, remarquons-le bien, du nombre entier et concret, qui est essentiellement discontinu. On ne pourra donc concevoir la grandeur elle-même que comme discontinue; et en effet, selon Kant, on ne peut pas la définir autrement qu'en disant que c'est la détermination d'une chose par laquelle on pense combien de fois elle en contient une autre (B. 300). Et il ajoute que ce « combien de fois »

\. Il ne faiil pas oublier que, si la quantité est une catégorie, c'est en vertu d'un véritable jeu de mots : car la quantité logique (qui est l'orit le fondement de cette catégorie) n'a que 1< '

i quantité mathé

matique. Si la Logique classique a

rait donné à celte

lÉme propi-iété (

les jugemenls !e nom de nombre e

m à'élendue, Kant

urail pu tout avis

si bien en conclure que l'étendue o

u le nombre est un

oncepl fi priori uelle est la valei

de l'entendement. Cet exemple m^ ir du tableau des catégories.

ontre, en passant.

LE NOMBRE ET LA GBAKDEim 2T3

repose sur la répétition successive, par suito sur le temps et sur la synthèse de l'homogène dans le temps (e'est-à-dire le nombre}. On se demande alors comment on a jamais pu arriver à la notion de grandeur continue. Car de deux choses l'une : ou bien c'est le nombre qui « imite » la grandeur, suivant le mot de Pascal, et alors on ne peut expliquer la généralisation du nombre (les nombres fractionnaires, négatifs, irrationnels) qu'en supposant que nous avons une notion primitive et origin.ile de la grandeur, indépendamment du nombre ' ; ou bien noua ne pouvons concevoir la grandeur que par l'intermédiaire (!e schème) du nombre, et alors, pour expliquer la continuité de la grandeur, il faut définir les nombres fractionnaires, négatifs cl irrationnels d'une manière autonome, sans faire appel à l'idée de grandeur ni à l'intuition spatiale. Cette dernière alternative est parfaitement possible^, mais elle réfute par son existence môme la thèse kantienne, car elle aboutit à faire reposer toute la mathématique sur des fondements analytiques. Tout au moins, elle oblige à abandonner celte conception empiriste du nombre, suivant laquelle il devrait nécessairement s'incarner dans des collections d'objets visibles et palpables, car celle-ci ne permet évidemment pas de dépasser les nombres entiers cardinaux.

En tout cas, nous pouvons de toute cette théorie retenir cet aveu : que la notion de grandeur est, en soi, distincte de l'espace et du temps, puisque ces deux formes d'intuition ne font que lui prêter des images ou des scbèmes'. Or la mathématique est, selon Kant, la science de la grandeur en général; donc, comme telle, elle est indépendante de l'espace et du temps;

1. C'est ce que nous avons essayé de soutenir dans notre livre De l'Infini mal/i^matigue,

S. C'est la tliéorie de .11. Russbll, suivant laquelle toutes les espèces de nombres sont susceptibles d'une délinition purement logiqu''.

3. Dans les Prolégomènes {% 20) Kant dit que - ce principe : ■ La ligne " droite est le plus court chemin d'on point à un autre », suppose que la ligne est subsumée sous le concept de grandeur, qui certainement n'est pas une simple intuition, mais qui, au contraire, a son siège dans Je seul entendement.... " Comment cette thèse s'accorde-l^elle avec rafttrmation, que l'espace et le temps sont les seules grandeurs originaires, et que la mathématique pure no s'applique qu'à, l'espace et au temps?

CouTUHAT. — Les principes des ina.iliémal.iquos. 18

274 LA PHILOSOPHIE 3>1ÎS MATHKllATIQUES DE KANT

elle ne repose pas sur rintiiitioii, mais sur le concept a pnori de grandeur. Seulement, on peut en dire autant du nombre, car il résulte de la discussion précédente que, si le nombre trouve dans l'espace et dans ie temps des schômes appropriés, il est en lui-même un concept distinct et indépendant des deux formes d'intuition, par cela seul qu'il peut indifféremment être (1 construit >> dans l'une et dans l'autre. Concluons donc que les sciences du nombre et de ia grandeur sont des sciences rationnelles pures, indépendantes de l'intuition.

Kant lui-même a parfois considéré le nombre comme un concept intellectuel, non seulement dans sa Disserlalio de 1770, que l'on pourrait récuser', mais dans la Critique de la Raison pure. It dit en effet ceci ; « La synthèse pure, représentée d'une manière générale, donne le concept intellectuel pur. Mais j'entends par cette synthèse celle qui repose sur un principe d'unité synthétique a prioH : ainsi notre numération (cela se remarque surtout dans les nombres élevés) est une synthèse d'après des concepts, parce qu'elle a lieu suivant un principe d'unité commun (par ex. le système décimal) » (A. 78, B. i04). Ce passage semble bien impliquer que le nombre, produit d'une synthèse pure, est un concept intellectuel pur; ce qui parait contredire la théorie du scbémalîsme. On pourrait expliquer ce fait en disant que, lorsqu'il écrivait ces lignes, Kant n'avait pas encore élaboré la théorie du schématisme. Cependant, dans ce même passage, il parle du rôle de l'imagination, et lui attribue même toutes les synthèses en général (B. 103). Il est d'autant plus remarquable que dans ce passage il considère le nombre comme ie produit d'une synthèse intellectuelle, et non d'une synthèse Imaginative, et qu'il n'y soit aucunement question de l'intuition (du temps) qui, selon le schématisme, sert de base ou de matière à. cette synthèse^.