Voir plus liaut, p. 2S2, note

2. Cette remarque a. été faite par Michaelis, Ueber Kanl's Zahllieoriff, p. 7. Le même auteur constate que, lorsque Kant, à propos du lableau des catégories, observe que la 3° catégorie de chaque classe résulte do la syalhÈse des deux premières fiaf un acte de t'entendeineiil, il prend pour exemple le concept de nombre, qui, dit-il, ■ appartient ^ la catégorie de

L ALGEBRE

L'Algèbre.

Kant recoanaît (l'aiilcurs que la mathémaLique n'a pas seulement pour objet des grandeurs concrètes, comme celles qu'étudie la Géomélrie, mais aussi la grandeur pure, en faisant abstraction de tout objet; et c'est là, selon lut, l'ofïlco de l'Algèbre (B. 7i5). Il semble donc admettre que la grandeur est quelque chose de supérieur aux formes de l'intuition, et par conséquent d'intellectuel; cela dément tout au moins cette assertion, que l'espace et le temps sont les seules grandeurs originaires (B. 753). Mais il essaie de sauver sa doctrine en soutenant que l'Algèbre, elle aussi, procède par construction de concepts; seulement, ce n'est plus une construction « oslensive ou géométrique » qui porte sur les objets, c'est une construction " symbolique >> ou « caractéristique », qui porte sur les signes algébriques (B. 745, 762). Il y a là une exagération manifeste : car, en admettant qu'il soit indispensable (et non simplement commode) de représenter les concepts par des signes, on ne peut pas appeler cela une construction de ces concepts, ni en conclure qu'ils sont intuitifs de leur nature. C'est tout bonnement confondre le signe avec la chose signifiée'. On peut représenter même des rapports logiques par des signes analogues aux signes algébriques (dans l'Algèbre de la Logique); il ne s'ensuit pas que ces rapports ne puissent être pensés qu'au moyen de l'intuition. Nous avons vu Kant luimême figurer la composition d'un concept par la formule symbolique a-hb; faudra-t-il en conclure que cette composition est une synthèse intuitive? Il réfute donc sa propre théorie en la poussant à l'extrême, car, en raisonnant de celle manière, i! ny a aucune notion, aucune relation donl on ne puisse prouver qu'elle est fondée sur l'intuition. Toutes nos idées ne se traduisent-elles pas par des mots, et ces mots sont-ils autre

de iolalilé » {Crilique, § li; B. ill). Il s. le nombre est un concept purement inte

1. R. Setdkl [op. cil.) soutient avec raison ([ue Kant confond ici le processus psjchifjue avec le contenu logique, et que les véritos de l'Algèbre portent, non sur les signes, mais sur les idées qu'ils représentent.

S,l& LA. PHILOSOPHIE DES MATHEMATIQUES DE KANT

chose que des signes visibles ou audibles, qui « construisent » nos idées dans l'espace el dans les temps?

Sans doute, Kant dislingue les mots des signes algébriques, en disant qu'en philosophie on ne raisonne pas sur les mois, tandis qu'en Algèbre on raisonne sur les signes et on laisse de côté les objets signifiés jusqu'à la fin du raisonnement'. Mais il y a ici une confusion d'idées. 11 n'esl pas vrai qu'en Algèbre on raisonne sur les signes; on raisonne toujours sur les idées qu'ils représentent; et si l'on peut opérer mécaniquement avec eux, c'est à la condition d'avoir justifié une fois pour toutes les règles formelles des opérations, ce qui ne peut se faire qu'en considérant le sens réel de ces opérations et des signes euxmêmes. 11 est vrai qu'en un sens on fait abstraction de la nature des objets, mais c'est parce qu'elle est réellement indifférente et étrangère au raisonnement. En Algèbre, on ne s'inquiète pas de savoir si les lettres représentent des nombres entiers ou fractionnaires, de même qu'en Arithmétique (pure, non appliquée) on ne s'inquiète pas de savoir si un nombre représente une collection, ou une longueur, ou un poids, et de même qu'en Géométrie on ne s'inquiète pas de savoir si un solide est en bois ou en métal; ce sont là des abstractions essentielles à chacune de ces sciences, par lesquelles on dépouille les notions qui en sont l'objet spécial de toute immixtion d'éléments étrangers. Mais il n'en résulte pas qu'en Algèbre on fasse abstraction même du nombre général ou de la grandeur, qui en est l'objet propre, et qui est le contenu même des formules algébriques. Lors donc que dans un problème d'Algèbre on fait abstraction de la nature particulière des grandeurs que l'on traite, ce n'est pas pour vider les symboles et les formules de tout contenu, mais pour les réduire à leur contenu essentiel, qui est l'idée de grandeur en général.

Enfin Kant attribue au << calcul littéral » (comme il appelle assez improprement l'Algèbre) une vertu d'infaillibilité toute spéciale, qui serait due à ce qu'on y raisonne uniquement

1. Uniersuchurtg aber die Deidlkhkeil..., i" considération, g 2 (1164).

LALGEBRE S77

sur des signes sensibles, qttî soulagent la mémoire et l'attenlion et garantissent contre toute omission et tout oubli. Les mois, au contraire, ne peuvent pas rendre le même service ; car on ne peut les manier sans penser plus on moins à leur sens; et alors on est toujours exposé à confondre ou à altérer leurs significations. Ces avantages dn symbolisme algébrique sont réels, mais ils ne constituent pas un argument en faveur de la thèse kantienne : et la preuve en est qu'ils ont été reconnus par des rationalistes tels que Dcscartes et Leibniz. Celui-ci surtout considérait si bien le calcul algébrique comme une méthode d'infaillibilité, qu'il voulait l'étendre à toute espèce de déduction, et constituer une Caractéristique universelle qui fût un « juge des controverses ». li vantait, bien plus fortement que Kant, le secours que la pensée tire de l'emploi de signes « commodes et appropriés », sans pour cela tomber dans le nominalisme et réduire l'Algèbre, la Mathématique et la Logique elle-même à un pur jeu de symboles dénués de sens. Ce qui fait la supériorité du calcul algébrique sur le raisonnement verbal, ce n'est pas que dans le premier on raisonne sur les signes et dans le second sur les idées; c'est que dans le premier les signes correspondent à des idées claires et bien définies, tandis que dans le second les signes, c'est-à-dire les mots, correspondent à des idées confuses, flotlantes et équivoques, que l'usage vulgaire y associe d'ordinaire. Le signe est simplement un moyen d'identifier un concept précis et rigoureusement défini; et le mot rendrait le même service, k la condition que son sens fût lui aussi bien défini, et qu'on ne lui en attribuât jamais d'autre. 11 ne faut donc pas attribuer aux signes une vertu quasi mystérieuse qui garantisse sûrement de l'erreus-; on commet des fautes de calcul aussi bien que des fautes de raisonnement, ce qui n'empêche pas le calcul, comme le raisonnement, de donner la certitude et d'être théoriquement infaillible. Il est étrange de voir Kant faire consister, comme un simple empiriste, a l'évidence » dans la a certitude intuitive », faire appel au témoignage des » yeux » pour « préserver toutes les déduiîtions de l'erreur », et ne reconnaître comme

278 LA PHILOSOPHIK MES MATHEMATIQUES DE KAIVT

démonstrations que celles qui s'appuient sur l'intuition. Ou bien il y a là une simple question de mots, c'est-à-dire une définition nominale et arbitraire du mot démons Iralion; o« bien c'est une erreur palpable, car on ne peut nier qu'il n'y ait des démonstrations purement logiques et intellectuelles, et Kant ne serait sans doute pas allé jusqu'à soutenir que la valeur du syllogisme est fondée sur l'intuition.

Les JUGliMERTS GÉOMÉTBIOUES,

II nous reste à discuter la tliéorie de Kant au sujet de la Géomèlrie. S'il y a une science qui paraisse reposer sur l'intuition, c'est bien celle-là, puisque c'est la science de l'espace; aussi bien des mathématiciens-philosophes, qui considèrent l'Analyse comme une science pure et a priori, regardent-ils la Géométrie comme une science empirique ou du moins intuitive. Cela prouve en tout cas qu'il y a lieu de séparer la fiécmétrie de la science générale des grandeurs, et qu'on ne peut pas conclure de l'une h l'autre.

Ici encore, c'est par des exemples que Kant essaie d'établir sa tbése. Nous serons donc obligé de les examiner tour à tour. Pour montrer que les jugements géométriques sont synthétiques, il cite cette proposition : « La ligne droite est la plus courte entre deux points. » En effet, dit-il, mon concept de droite ne contient rien de quantitatif, mais seulement une qualité. Le concept quantitatif de « le plus court » ne peut donc être contenu dans le sujet, ni en être tiré par analyse; il ne peut lui être adjoint que par une synthèse fondée sur l'intuition.

Demandons-nous d'abord quelle est pour Kant la valeur

méthodologique de la proposition citée : est-ce une dÉflnition,

- un axiome ou un théorème? Il semble que ce soit un axiome,

car il parle de « principe » (Grundsalz) '. Eh bien! ce n'est

1. On sait que pour Leoesdbe celte proposition est la définition de ia ligne droite. H n'en est pas ainsi pour Kant, car il paraît considérer comme déiinilion de la ligne droite cette propriété, qu'il n'y en a qu'une entre deux pointa àoant^ (Rei-klstehi-e, Jnlrodiiction, g E).

LIÎS JUGEMENTS GÉOMÉTlilQDF.S 279

nullement un axiome, mais un théorème démontrable et démontra '. Ce ne peut pas élre un principe, car celle proposition suppose que l'on sait ce ([u'esl la longueur d'une ligne quelconque. Or la longueur d'une ligne courbe ne peut se définir que dans la Géométrie analytique et infînitésimale, et elle se définit en fonclio7i de la ligne droite. C'est donc -par définition que la ligne droite est le prototype ou l'élalon des longueurs. Knnt se place au point de vue du sens commun empiriste, qui croit voir la longueur d'une courbe, parce qu'il imagine un fil souple et inextensible appliqué sur cette courbe, puis tendu sous forme de ligne droite. Mais celte intmtioti n'intervient nullement comme principe scientifique en Géométrie, et pour cause : car c'est seulement lorsqu'on a défini la iongueui" d'une courbe qu'on peut conceonir clairement qu'un fil conserve sa longueur en se déformant. Par conséquent, tout appel à l'intuition, eu cette matière, constituerait un cercle vicieux.

On ne peut donc pas dire que la ligne droite soit par ellemême et primiLivement une quantité; dans loua les cas, du re^te, ce n'est pas la ligne droite {illimitée) qui peut être une quantité, c'est le segment fini que l'on découpe sur elle ^. On ne peut pas non plus dire que la ligne droite est une qualité, comme le rouge ou le cbaud. Tout ce qu'on peut dire, au point de vue do la grammaire (qui est celui de la logique d'Aristole),

1. Nous avons déjà tpailé celle (jueslion dans la Bévue de Métaphysique, t. 1, p. ^^ tianv, 1S93). PoEir démontrer que la ligne droite est plus courte que toute ligne brisée ayant les mêmes extrémilés, on démontre que, dans u" triangle, un cûlé quelconque est plus petit que la somme des doux autres. Ce théorème, h son tour, repose sur celui-ci : Dans uu triangle, a un plus grand angle est opposé un plus grand cCté. Et celui-ci enHn dérive de cet autre ; Dans un triangle, un angle extérieur est plus grand que chacun des angles intérieurs non adjacents, lequel est indépendant du postulalum d'Euclide (V. Nikwekolowski et GEu-inn, Cours de GéoviéMe éiémentaii-e, t. 1, p. 27, 3i, 33. Paris, Naud, 1893). Tous ces théorèmes se démontrent, non par un simple appel à l'intuition, mais parles définitions de l'inégalité et de la somme des segments et des angles. Que ces définilions impliquent des éléments intuitif, ce n'est pas là présentement la question; il suffît que, ces définitions une fois posées, toutes les propositions linoncées s'en déduisent logiquement.

2. ZiMMERMANN (op. i;!Ï,)a déjà observé que cen'esl pas la droite tout entière qui est la plus courte, mais bien la partie de droite comprise entre deus points. C'est ce qu'on appelle aujourd'hui segment

280 LA PHiLOSOI'HlIÎ B^:S MATHEMATIQUES DE KANT

c'est que la rectitude est uns njualilé, et que la droite est le sujet de cette qualité. Maie, à vrai dire, ces « catégories » scolasliques n'ont pas de sens, appliquées aux entités géométriques. En réalité, la ligne droite est une figure : au point de vue projectif (qu'on peut appeler, si l'on veut, qualitatif) et considérée ilans sa totalité, eiie est absolument intinie, elle comprend tous les points situés sur sa direction. Elle n'est pas une grandeur; mais elle devient le support d'une série itc grandeurs (les longueurs) lorsque l'on y fixe des points, et qu'on définit entre eux certaines relations appelées distances. On dira, par exemple, que, si le point B est entre A et G, la distance AC est -plus grande que les distances AB et BC, et qu'elle est leur somme. Moyennant ces définitions de l'inégalité et de la somme, les distances deviennent des grandeurs mesurables. Y a-t-il là une « synthèse » de la qualité et île la quantité? Nous n'en savons rien; 11 y a là simplement la définition d'une espèce de grandeurs. Toujours est-il que cette grandeur ne caractérise pas la ligne droite comme telle : ce n'est pas de la ligne droite toul entière, dans son infinité et son unité indivise, qu'on peut dire qu'elle est " la plus courte ' » ; c'est seulement d'un segment de droite limité par deux points^. Et quand on dit que ce segment est plus court que (oufe ligne brisée yanl les mêmes extrémités, on compare, au fond, un segment de droite h un autre segment de droite, et l'on affirme que le premier est ou peut être contenu dans le second- L^ relation d'inégalité [plus grand que) se trouve donc définie par la relation de tout à partie, et le théorème en question n'est qu'une application de cette proposition : « Le tout est plus grand que la partie », que Kant considérait comme un principe, et même comme un principe analytique. Ainsi, lorsque

I postulat : ■ Toute ligne droite peut i

imc S}-nthéti<!ue, est-il au co

ce qu'il y a de plus nnalytique :

car la ligne droite doit élre

mitivemcnt dans sa totalité iiifln

lie. La conception vulgaire i

comme liuiitée a éviiiemment ur

se origine empirique et proli

file toute valeur acientifîquc.