Éd, HartensteiQ, l. VUl, p E

3. Dicliard Uisno, Wesen und Bedeaiung dei Synthesis in Kant's PhilO' losophie, sp. Zeilschfifl lûr Philosophie u phtl KrtUk t. 94, p. 29-88 (188S).

i. D'ailleurs, comme l'a remarqué Michaeijs {op cil ), il est absurde de décomposer le concept de trianRle en deux concepts, celui de trois et celui de ligne droite, comme ai ces deux concepts étaient simplement juxtaposés (combinés par la multiplication logique). Or c'est ce qae fait

282 LA PHILOSOPUIH: DKS MATHEMATIQUES DE KANÏ

temps on doit admeLlre que 2 droites parallèles ont un point commun à l'infini, cl par suite 3 droites quelconques situées dans un même plan ont toujours 3 points communs deux à deux, et déterminent ainsi 3 angles (qui peuvent être nuls). Donc, dans tous les cas, la notion des angles est bien contenue dans la notion des 3 droites, ou dans celle du h trilatère «'. Ailleurs Kant prétend que du concept de deux lignes droites on no peut pas déduire logiquement que deux droites n'enferment pas un espace (B. 63; cf. B, 299); it oublie que c'est là pour lui la définition même de la droite, à savoir qu'il n'y en a qu'une qui passe par deux points, et que par suite cette propriété dérive annlytiquemcnt du concept de droite^. De même, il affirme que ce jugement : « Trois points sont situés dans un même plan » est synthétique (B. 161); or il fait partie de la définition même du plan. Tous ces exemples prouvent que la distinction des jugements analytiques et synthétiques n'était pas plus claire ni plus solide, pour Kant lui-même, en Géométrie qu'en Arithmétique.

Kant dans le passage suivant : • Il (le philosoplu) peut rélléoliir sur ce concept (de triangle) aussi longtemps qu'il veut, il n'en tirera rien de nouveau. Il peut décomposer et rendre distinct le concept de ligne droite, ou celui d'un angle, ou celui du nombre trois, mais non parvenir à d'autres propriÉlés qui ne se tPouventnullement dans ces conccpis. » (A. Hë, B. 144.) C'est toujours la même applicution auK concepts mathÉmatiques de ItL Logique traditionnelle qui n'est pas faite pour eux. Micuaelis observait déjà que la méthode mathématique échappe complÈteracnt aux pHses de la Logique classique, et que Santa été dominé, dans sa conception de l'Arithmâiîque, par ■ des préjugea logiques -.

1. Chose curieuse, Kant paraît l'avouer lui-même ailleurs: « Qu'on «jonne à un philosophe le concept d'un triangle... Il n'a rien que le concept d'une figure enterraée enire truls lignes droites, et en elle (an ihr) le concept d'autant d'angles. ■ (B. 744.) Il est plus explicite encore dans le passage suivant ; - Poser un triangle et en supprimer les trois angles, c'est contradioloire ■ (H. 622).

2. Il dit ailleurs qu'il n'y a aucune contradiction dans la notion d'une Bgurî enfermée par deux droites (B. 268); or cette notion est contradictoire avec la notion même de droite. Dans les Prolégomènes fRôsolulIon générale du problème, fin) il cite comme jugement synthétique celte proposition : ' ii^ntre deux points on ne peut mener qu'une ligne droite •, qu'il prend ailleurs pour délinition de !a droite (v. p. 278, note 1).

LES DEMONSTRATIONS GEOMETRIQUES 283

Les DÉHOSSTRATIOKS GÉOMÉTRIQUES.

Enfin, pour prouver que les démonstrations géométrirjues reposent sur l'intuition, Kaiit considère le théorème connu : u La aomme des 3 angles d'un triangle est égale à 2 droits » ', et il constate que pour le démonlrer on a recours à une construction; celle-ci a pour but de produire 3 angles qui soient, d'une part, égaux aux 3 angles du Iriangle, et dont, d'autre part, la somme soit intuitivement égale à 2 droits (B. 744}.

Il semble donc que, selon Kant, on ne puisse pas démontrer un théorème de Géométrie sans construire une figure et mener des lignes auxiliaires, et que toute construction implique nécessairement un appel à l'intuition. Or ni l'nne ni l'autre de ces propositions n'est justifiée. Pour commencer par la seconde, une démonstration géométrique n'est valable que si elle ne repose pas sur un appel h l'intuition : tout le monde sait qu'il ne faut jamais invoquer les propriétés apparentes de. la figure, et que l'on peut commettre ainsi des sopliismes liont quelques-uns sont classiques^. 11 en est de même des constructions auxiliaires : on ne doit pas mener une ligne, fixer un point et invoquer ensuite leur position, sans démontrer que CCS éléments existent, et sont bien situés là o(i on les a figurés'. D'ailleurs, quand on parle de construire telle ou telle figure, c'est là une façon de parler anthropomorphique, une métaphore empruntée à la pratique : les figures que l'on trace, c'est-à-dire que l'on réalise empiriquement, existent déjà idéalement, en tant qu'elles son t prédéterminées par les données de la question. Quand on dit : « Joignons les deux points A et B », cela signifie

nt, était couramment cité par nme le type de \a certitude

3. Voir par exemple la démons tratioii de ce tliéorème : • Dans tout triangle un angle externe est plus grand que chacun des angles internes non adjacents -, dans Enhiques et Amalhi, Elemenii di Geomelna, p. 61 (Bologna, ISOa)

384 LA PHlLOSOCIliË DES MATHÉMATIQUES DE KANT

en réalité : « Les deux points A ot B déterminent une droite, en vertu de la définition même de la droite. » Quand on dit : B Prolongeons la droite AB », c'est là un accident empirique de la figure tracée matériellement, car la droite AB est essen- Uellemeot infinie. De même enfin, quand, 2 droites orthogonales étant données, on parle de mener par l'une d'elles un plan perpendiculaire à l'autre, on ne fait que réaliser ce qui était impliqué dans l'hypothèse : car 2 droites sont orthogonales, par définition, lorsque l'une d'elles est contenue dans un plan perpendiculaire à l'autre (on démontre que celte propriété est réciproque); par conséquenl, le pian en question existait déjà, par définition. Il en est de même partout : on ne peut construire (utilement et valablement) aucune figure qui ne soit déjà déterminée par les données ou les définitions. On ne fait que réaliser empiriquement des éléments préformés de la figure idéale; et comme c'est sur celle-ci qu'où raisonne, on ne lui ajoute rien à proprement parler; on ne construit, on ne crée aucun élément, ou le rend seulement sensible à mpsure qu'on en a besoin. C'est comme si l'on repassait à l'encre un dessin esquissé en traits presque invisibles au crayon. Aussi, tout ce qu'on dit être vrai n par construction » peut être dit vrai « par hypothèse » ou « par définition ' ».

Ainsi, iors même que les constructions seraient indispensables, elles n'impliqueraient pas un appel à l'inluition. Mais elles ne sont pas si indispensables qu'on le croît, d'après les « éléments » de la Géométrie synthétique. On a depuis longtemps critiqué le caractère artificiel dos démonstrations d'Euclidc^, parce qu'elles s'appuient sur des constructions parfois

1. Comme nous l'avons remarqué (p. )4t, et ISO, note I) les postulais et théorèmes ed.ttentiels servent précisément à garanlir l'ej:isleQ(;e de certaines en titâs deEerminÊes par certaines autres, cr. ce que nous avons dit deâ diifinitions génétiques (p. 192, note S).

2. On sait qu'AnsAULo, dans la Logique de Porl-Iioyal {IV, vm), soumet la 1 méthode des Géomètres ■ (c'est-à-dire celle d'Euclïde) à une critique sévère. On sait moins qu'il a composé des Nouveaux Éléments de Géométrie (1G67J où il s'est efTorcé de remédier aux défauts de cette méthode, et notamment de concilier l'enchaînement logique des propositions avec leur ordre naturel. Cr. Karl Bopp, Aiiloine Arnmdd als Matkemalikei; ap. Abliandlungen sur Geseliichte dei' malh. Wiss., t. XIV.

LES DEMONSTRATIONS GEOMETRIQDES 285

compliqucf^s et en apparence arbitraires, sur un échafaudage de lignes auxiliaires, qui sorlenL de la (igurc donnée et y ajoutent des éléments tout à fait étrangers; il semble alors que l'on ne puisse passer de l'hypothèse à la conclusion que pai de longs circuits et par des elTorts d'imagination; de telles démonstrations sont parfois si détournées qu'elles paraisseni en effet être, non pas des raisonnements réguliers et suivis, mais des tours de passe-passe ', Mais on peut généralemen' leur substituer des démonstrations beaucoup plus simples ei plus directes, fondées sur les propriétés intrinsèques de U ligure donnée, et qui le plus souvent n'exigent pas le trac( d'une seule ligne auxiliaire. Pour opposer exemple à exemple nous croyons devoir citer ici une démonstration de ce genre. Nous l'empruntons ^ un ouvrage d'enseignement élémentaire; conçu en dehors de tout esprit de système, et inspiré uniquement par le souci de la rigueur logique en même temps que de l'ordre et de ia clarté pédagogiques".

" Quand deux plans sont perpendiculaires ^ toute perpendiculaire à leur intersection dam Vun est perpendiculaire à Vautre.

« Car cette droite peut être considérée comme l'intersection du premier plan par un troisième qui serait perpendiculaire sur l'inlerseclion des proposés (93), par suite perpendiculaire sur le second (107, lil). »

Cette démonstration, rédigée en une pbrase, ne fait appel à aucun fait d'intuition : elle n'est accompagnée d'aucune figure, et, comme on voit, elle ne demande aucune construction. Elle se réfère simplement à trois propositions antérieures qu'elle se borne à rapprocher et à combiner. Pour !a comprendre, il est nécessaire de connaître ces propositions :

« 95. Par un point d'un plan contenant une droite, on ne peut mener qu'une perpendiculaire à cette droite : et cette perpendiculaire est l'intersection du plan donné et du plan per-

1. Telle est par exemple la démonstralion classique du théorème de Pylliagore, qui ressemble à un jeu de paUence ou à un cassc-lÉte chinois.

2, Cil. Méiiay, Naiweaui: fUâmenis de GéomUnc, n" 113 (Dijon, Jobard,

386 LA. PHILOSOPHIE DES MATHÉMATIQUES Dlî KAXT

pendicuîaire à la droite donnée passant par le point donne,

B 107. Deux plans sont perpendiculaires quand l'un d'eux contient une droite per|tendieulaire à l'autre.

" m. Quand deux plans qui se coupent sont perpendiculaires à un même troisième, leur intersection lui est perpendiculaire. 11

Revenons à la démonstration pour l'analyser et la développer. L'hypothèse comprend : dnox plans perpendiculaires, soient P et Q; leur intersection, soit la droite D; et la droite E perpendiculaire à D dans P. La droite E est (en vertu de 93) l'intersection du plan P par un plan R perpendiciilaii'e à la droite D. Mais (en vertu de 107) le plan R, perpendiculaire à une droite D du plan Q, est perpendiculaire à Q. Les deux plans P et R sont perpendiculaires à Q, donc (en vertu de 111) leur intersection E est perpendiculaire à Q; c. q. f, d.

Nous nous abilenons à dessein de faire une figure, car elle est absolument inutile. On n'a pas besoin de voir les plans P, Q, R, et les droites D, E; il suffît de savoir quelles sont leurs relations, et de leur appliquer pour ainsi dire automatiquement les trois propositions 93, 107 et Hl. C'est une démonstration verbale, c'est-à-dire formelle. On pourrait dépouiller de toute signification géométrique les entités D, E, P, Q, R, ainsi que les relations de perpendicularilé et d'appartenance qui les unissent; le raisonnement serait le même, et il serait tout aussi valable, du moment que les trois propositions 93, 107 et 111 sont supposées vraies '. Cet exemple

1. On peut ie prouver en représentant celte démonstration sous une forme symbolique (très grossière). Désignons par e la relation d'une droite à un plan oîi elle est contenue, et par j. la relation de perpentlicularité (soit entre 2 droites, soit entre 2 plans, sott entre une droite et un plan). Les hypotlièses sont :

(1}P±Q (2)DaP (3)DeQ (4) E s P (5) E i D.

La proposition 95 se traduit par l'implication :

D t P. E e P. E 1 D. o. E E R. R i D La proposition 107 ae traduit par l'implication : RX D. DsQ. o. R iQ La proposition IIJ se traduit par i'implîcalion ;

P j. Q, R j. Q. o ; B £ P. E £ li. o. E 1 Q On rcmai'C|iiera que, selon les règles de la mÉtliodc m"alhémalîc|iie.