ROLE DE L INTUITION EN GEOMKTRIË

montre qu'une démonstration géomélrique peut (et doit) ^tio une déducliou purement logique. U convient d'ajouter que le tliéorÈme en question n'est nullement un corollaire (c'est-àdire une conséquence immédiate d'un autre), et que la démonstration que nous venons de citer n'est pas une exception : la plupart des démonstrations contenues dans le même ouvrage ont le même caractère, et n'ont pas davantage recours à la figure ni à l^i construction.

Rôle de l'intuition es Géométrie.

Quant à celte assertion répétée de ICanl, que la mathématique considère toujours le général dans le particulier, et même dans le singulier et le concret, elle n'est pas justifiée. Même dans la Géométrie synthétique, h laquelle elle parait s'appliquer, si l'on trace une figure pour démontrer un théorème, on ne raisonne jamais sur les propriétés particulières de la figure, mais seulement sur ses propriétés générales, qui lui sont communes avec toutes les figures de même genre, visées par le Ihéoi-ème'. On n'invoque jamais, dans la démonstration, les propriétés intuitives de la figure particulière que l'on considère, mais seulement les propriétés qui résultent de sa définition ou de sa construction, c'est-à-dire des hypothèses du théorème. Kant dit que la mathématique représente « le général in concre.io (dans l'intuition singulière).... par où tout faux pas

toutes les hypolliËses ont été utilisées. Keprésentons-les en cITëL par leurs numéros et numérotons leurs conséquences; la l" implication est : (2). (4). (S). 0. (6). (1) (A)

La 2- est : (7). (3). o. (8) (B)

La 3- eat : (1). (S), o : (4). (6). o. (9) (C)

Ainsi (2), (4) et (3) sont invoquées dans A, |3) dans B, et (1) dans C. Do même, les conséquences intermédiaires ont été employées : (G) dans C; (7) dans B; (S) dans C. La conséquence <9] est la thËse à démontrer.

1. Les empiristes prétendent que la Géométrie ne démontre jamais ses théorèmes que sur des cas particuliers, et qu'on devrait ajouter à chaque théorème celte mention : « L.a même démonslration pourrait se répéter de toute autre figure analogue. > Mais si c'est la même démonstration, il est inutile lîe la répéter : et, d'ailleurs, elle no peut être la mi^ine que si elle porte sur la même figure idéale et générale.

288 LA PllILOSOPIHE DES MATHEMATIQUES DE KANT

devient visible » (B. lCt3). li y a là une équivoque. S'il s'agit de la méthode de l'Algèbre, il a raison de dire que les signes sensibles préservent de l'erreur, comme Leibniz l'avait déjà, remarqué. Mais s'il s'agit de la méthode géométrique, les figures ne peuvent, tout au contraire, qu'induire en erreur; car la prétendue « évidence ■> intuitive peut dissimuler une faute de raicionnemenl ou un postulat. Cela prouve, en passant, qu'il n'y a aucune analogie entre ces deux sortes d'intuition. Ainsi l'intuition géométrique n'est pas, tant s'en faut, une garantie de vérité ou du moins de rigueur logique. On peut raisonner juste sur une ligure inexacte ou même fausse; on peut mal raisonner sur une figure bien construite, car on peut invoquer une propriété vraie, mais empirique, qui ne résulte pas des définitions ou des hypothèses. Qu'est-ce à dire, sinon que l'intuition ne doit avoir aucune part réelle dans les raisonnements géométriques, et que ceux-ci, pour être rigoureux, doivent être purement logiques? Un appel à l'intuition (celte intuition fût-elle a/^riori) ne se distingue pas, en bonne méthode, d'une constatation empirique, et, n'a pas plus de valeur. On peut déterminer le nombre tz en mesurant le contour d'un cercle matériel; Archimède, dit-on, a trouvé la quadrature de la parabole en pesant des lames taillées suivant cette courbe; ce sont là des procédés évidemment étrangers à la méthode mathématique, mais ils ne le sont pas plus que ne le serait un appel à l'intuition'.

Dira-t-on que les raisonnements géométriques portent, non

i. Nous avons déjà fait valoir contre Kant certains argumenta que l'on emploie d'ordinaire contre les empirietes. Cest qu'en effet il n'y a pas do différence essentielle enlre la IhÈae qui fait reposer les vérités géonié- IriqueB sur l'inluilion empirique et celle qui les fait reposer sur une intui. lion a iTÎori, C'est toujours l'intuition qu'on iovoqua, c'est-à-dire la représenlalion aingulière d'une figure unique et parfaileunent déterminée. Kant lui-même nous autorise à assimiler les deux sortes d'intuition, quand il dit : ■ Je construis un triangle, en représentant l'objet correspondant à ce concept, soit par la seule imagination dans l'intuition pure, aoit d'après celle-ci (l'imagination) sur le papier dans l'intuition empirique, mais les deux fois entièrement a priori, aans en avoir emprunté le modèle à une expérience quelconque - (B. 741). Nous avons donc le <lL'oit d'assimiler le triangle représenté dans l'imagination au triangle tracé sur le papier. (Cf. B, G5.)