QUESTIONS DE MATHÉMATIQUES ET D'ASTRONOMIE

Nature et propriétés du diamètre ; explication de ce nom; numération par dix; sa nature et ses causes ; exception singulière chez quelques peuples; forme sphérique de la terre; divers aspects qu’elle présente à l'observateur ; variations de l’ombre portée par le soleil ; démonstrations graphiques ; forme circulaire des images de rayons solaires passant par un trou ; des phases de la lune ; explication de son apparence rectiligne, bien qu'elle soit sphérique ; phénomènes du soleil et de la lune, qui semblent des surfaces, bien que ce soit des corps ronds et bombés ; longueur des ombres du soleil à son lever et à son coucher; démonstrations graphiques ; du parhélie; sa position nécessaire ; oscillation de l’extrémité de l'ombre solaire ; cette oscillation n'est qu'une apparence causée par la multitude des corpuscules que l'air contient toujours, et qu'on peut voir dans les ouvertures de portes.

Pourquoi la ligne menée d'angle en angle est-elle

la seule qu'on appelle diamètre, parmi les lignes qui divisent en deux parties égales les figures rectilignes ?

N'est-ce pas parce que le diamètre doit partager la

Le titre de cette section n’est pas donné de la même manière par tous les manuscrits, ainsi que le remarque Septali. Au titre que nous adoptons, on ajoute quelquefois : « Et concernant les choses inanimées ». Comme rien ne correspond dans la section XV à cette indication, on ἃ

bien fait de la supprimer, comme Gaza l’a fait le premier. — D'angle en angle. ΤΊ s'agit alors d'une figure rectiligne et non d'un cercle, bien que le mot de Diamètre s'applique encore plus ordinairement au cercle qu'au carré. Par la ligne diamétrale qui va d'angle en angle, la

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"νον, ὦ ἡ sk ts of dd

figure en deux portions, ainsi que son nom l'indique, sans changer la figure mesurée par elles ? Ainsi, la ligne qui divisera la figure selon les conjonctions, et par conjonctions J'entends les angles, sera le diamètre. Elle ne détruit rien; seulement, elle partage la figure, comme lorsqu'on partage les effets militaires aux soldats. Au contraire, la ligne qui coupe les figures selon leurs lignes les détruit, puisque ἰὰ figure rectiligne consiste dans ses angles.

Pourquoi appelle-t-on cette ligne un diamètre ? N'est-ce pas parce que c’est la seule ligne qui divise la figure en deux ? C’est comme si on l'appelait di-

figure se trouve divisée en deux triangles égaux. — Ainsi que son nom l'indique. L’étymologie est évidente en grec, par la composition même du mot. — Sans changer la figure. Ce serait plutôt: « Sans couper les lignes qui forment la figure. » — Les conjonclions. C'est-à-dire, les points où les lignes de la figure se rencontrent. — Ælle ne délruit rien. Il ne semble pas que les autres lignes qui diviseraient la figure perpendiculairement, causent un changement plus notable dans la figure; car si le diamètre ne coupe pas les lignes du périmètre, il divise du moins les angles. — Les effets militaires des soldats. Τὶ est difficile de comprendre le sens de cette comparaison. — Selon leurs

lignes. Par exemple, les perpendiculaires et les horizontales qui coupent le carré par moitié, soit dans sa hauteur, soit dans sa largeur, — Les détruit. En changeant la forme de la figure par la division qu'elle apporte dans les lignes dont le carré, par exemple, se compose.

Il est bon de remarquer que cette définition du diamètre n'exclut pas le diamètre de la circonférence, puisqu'il joue pour elle le même rôle que le diamètre angulaire dans le carré.

Voir le ὃ suivant.

$ 2. Qui divise la figure en deux. Les lignes perpendiculaires et horizontales divisent bien aussi le carré en deux parties égales; mais on peut dire qu'elles en altèrent la

chamètre, c'est-à-dire la coupure en deux ; et pourquoi lui donne-t-on ce nom à elle seule, parmi les lignes qui divisent les figures par moitié ? N'est-ce pas parce qu'elle est la seule à diviser la figure selon les membres dans lesquels cette figure s’infléchit, tandis que les autres divisent les côtés ?

Pourquoi tous les hommes, qu'ils soient barbares ou Hellènes, comptent-ils par dix et non par un autre nombre, par exemple, deux, trois, quatre, cinq, et n'additionnent-ils pas ensuite en disant: cinq et un, cinq et deux, comme on dit un dix, deux dix (onze, douze) ? Et pourquoi, sans sortir de ce nombre de dix, ne procède-t-on pas en redoublant ce même nombre ? Chaque nombre, en effet, n’est que le

figure en coupant les lignes. — Dichamètre. C'est la reproduction du mot grec, où l’étymologie, sous cette forme, est encore plus évidente. — Za seule à diviser la figure. Cette expression est insuffisante, par les motifs qu’on vient de dire ; il aurait fallu préciser davantage. — Les membres. J'ai conservé la nuance du mot grec ; mais l'on voit qu'il s’agit des quatre lignes qui forment le carré, en étant toutes égales.

Le diamètre respecte les côtés, tandis que l’horizontale et la perpendiculaire les coupent.

S3. Comptent-ils par dix. Il paraît qu'il y a des peuplades, comme les Thraces cités plus

bas, qui n'ont pas la numération décimale ; mais ce fait n’a pas été assez complètement prouvé.

— Un dix, deux dix. En grec, la composition des mots rend ceci bien plus évident que dans notre langue, où onze, douze, treize, etc., de trace de leur origine. Mais nous revenons au système des Grecs en disant dix-sept, dixhuit, dix-neuf. Seulement, nous mettons en premier le chiffre je plus fort des deux, tandis que les Grecs y mettent le plus faible. On sait que cette numération est déjà dans Homère.

Voir l’Iliade, chant IX, v. 328 et 329 du discours d'Achille. — En redoublant ce méme nombre.

conservent moins

nombre qui précède auquel on ajoute un ou deux, ou tel autre nombre comme ceux-là. Mais pourquoi se borne-t-on toujours néanmoins à ce nombre de dix, sans aller au delà ? Ce n’est certes pas par hasard que les hommes font cela et le font toujours. Un phénomène | qui est perpétuel et qui s'étend à tout, ne peut être un effet du hasard ; c’est un effet de la nature. Est-ce . parce que dix est un nombre parfait ? Car il renferme en lui toutes les formes possibles du nombre : pair, impair, carré, cube, longueur, surface, et en outre, le composé primitif. N'est-ce pas dès lors, parce que la décade est le principe de tout le reste, puisque un, deux, trois et quatre composent la décade entière ? N'est-ce pas aussi parce que les corps qui circulent sont au nombre de neuf, et que les quatre nombres cu-

Ce sens est celui qui paraît le plus probable; mais il n'est pas sûr. — Pourquoi se bornet-on toujours... Le texte n'a pas autant de précision; mais le sens ne semble pas douteux. — Par hasard. L'idée est parfaitement juste ; et le hasard ne peut expliquer un fait aussi général et aussi constant. — Un effet de la nature, guidée par une intelligence infinie. — Un nombre parfait. Voir dans la Métaphysique d'Aristote, livre I, ch. 5, $ 9, l'exposé et la critique de la théorie des nombres d'après les Pythagoriciens ; ils avaient vanté Ja numéralion décimale, expliquée comme elle l’est ici. — Toutes les formes possibles du nombre.

Ceci n'est pas très exact. —

Carré, cube. Ce sont les deux premières puissances ; mais il y en a bien d'autres. — ZLongueur, surface. On ne voit pas bien comment ceci s'applique au nombre. — Composent la décade entière. En effet, les quatre premiers nombres forment le total de dix. — Sont au nombre de neuf. Il est clair qu'ici la pensée n’est exprimée que d'une manière incomplète ; car neuf n'est pas dix. On sait d'ailleurs que les Pythagoriciens admettaient dix corps principaux : les planètes, [6 soleil, la lune; et ils supposaient un corps invisible et l'antichthon, pour composer la décade ; voir la Métaphysique d'Aristote, livre I, ch. 5, ὃ 5, et ma préface, p. XXII; voir aussi

biques se complètent en formant dix proportions de dix ? Et c’est de ces quatre nombres que tout l’univers serait formé, si l'on s’en rapporte aux Pythagoriciens.

Ou bien encore, n'est-ce pas parce que les hommes ont dix doigts, et qu'ayant l'appui et le suffrage d’un nombre qui leur est personnel, ils comptent ensuite toutes les choses au moyen de cette quantité ? Une peuplade de Thraces est la seule à compter par quatre, parce que, comme les enfants, ils ne peuvent pas se souvenir au delà de ce nombre, et qu'ils n’ont jamais besoin d'aller plus loin.

On sait que la terre est le centre ; car les formes des astres sont toujours les mêmes à nos yeux ; et cette apparence n’est possible que si l’on regarde du

le Traité du ciel, livre II, ch. 9, système du monde. Septali

8 1 et suiv. — Les hommes ont dix doigts. C’est là la vraie raison ; et il n'était pas nécessaire d'en chercher une autre.

— L'appui et le suffrage. 1] n'y a qu'un mot dans le texte. — Une peuplade de Thraces. Le fait pouvait paraître fort curieux; mais il n'était pas certain. La Thrace des Anciens répondait à peu près à la région Balkanique de nos jours.

$ 4. La terre est le centre. On sait que c'est Aristote qui ἃ fait prévaloir la théorie de l'immobilité de la terre, contre les Pythagoriciens qui avaient eu le pressentiment du vrai

trouve ce problème inintelligible; et comme le texte n'a pas la forme ordinaire de l'interrogation, il le rejette, ainsi que l'a fait Gaza, en ne le traduisant pas. On ne peut pas pousser les choses aussi loin ; mais on doit convenir qu'il est impossible de justifier, même au point de vue de l'astronomie ancienne, les idées qui sont émises ici. La rédaction en est grammaticalement insufhsante ; et l'édition Firmin-Didot propose avec raison d'ajouter une négation qui semble indispensable dans cette phrase: « Cette apparence n'est possible que

centre ; autrement, on verrait tantôt des triangles, tantôt des carrés, ou telles autres figures. La terre est donc notre centre, puisque c’est de la terre qu’il nous est permis de voir le reste. La terre étant sphérique, le centre de ces phénomènes et de la terre est le même. Or, nous habitons le haut et la surface de la terre, de telle sorte que ce n’est pas du diamètre entier, mais de la moitié du diamètre, que nous voyons les choses, en tant que nous sommes éloignés de la demi-distance. Qui s'oppose donc à ce que, la distance devenant plus grande, l'apparence des figures demeure ce qu'elle est ?

Pourquoi, tandis que le soleil parcourt un même espace dans un temps égal, les ombres qu'il fait ne

De la demi-distance. C'est-àdire, d'un rayon, moitié du diamètre total. — Qui s'oppose

si... » — Autrement, on verrait.

Cette assertion obscure aurait dû être développée davantage.

— Puisque c'est de la terre... La démonstration n’est pas décisive, puisque, de toute facon, c'est dela terre seulement que nous pouvons observer le reste de l'univers. — δὲ le méme. Il semble donc que l'auteur regarde la terre comme le centre du

monde entier, tandis qu'elle n'en est le centre que relativement à nous. — Ce n’est pas du

diamètre entier. Ceci est exact en toute hypothèse ; et l'observateur placé au centre ne voit jamais que ce qui est devant lui, selon un rayon du cercle et non un diamètre complet. —

donc. Ces idées ne paraissent pas assez liées entre elles. — Demeure ce qu'elle est. Rien en effet ne s'y oppose; mais, avec la distance, les objets disparaissent peu à peu pour cesser enfin d'être visibles.

ὃ 5. Les ombres... ne suiventelles pas la même mesure. On peut remarquer en effet chaque jour que les ombres diminuent de plus en plus et irrégulièrement, depuis le lever du soleil jusqu'à midi, et que, de midi à la nuit, elles augmentent de plus en plus en longueur, et non moins irrégulièrement. La

416 LES PROBLÈMES suivent-elles pas la même mesure de croissance et de décroissance ?

N'est-ce pas parce que les angles, sous lesquels on voit les objets sont égaux, c'est-à-dire, les angles partis des rayons du soleil, et portant sur les circonférences égales ? Si les angles mêmes sont égaux, ils font aussique, en tombant, les divers rayons forment des triangles, quiconsistent d'abord dans le rayon, puis dans l’objet vu et dans l'ombre produite. Mais si les angles sont égaux, il faut nécessairement que la ligne la plus éloignée de l’objet vu soit plus grande

question est très bien posée ; mais l'explication, qui est vraie au fond, semble obscure parce que nous n'avons pas la figure géométrique qui devait l'accompagner. Septali a essayé de refaire cette figure, sans dire s'il l'empruntait à quelque manuscrit. On peut la tracer en se reportant à la marche apparente du soleil. Cette figure serait une demi-circonférence, dont le centre serait occupé par l'objet qui projette l'ombre.

Sur la circonférence, on marque un certain nombre d'intervalles égaux, qui correspondent aux intervalles successivement parcourus par le soleil. Le rayon mené de ces points passe par le sommet de l'objet placé au centre. Ce rayon fait une ombre qui diminue de longueur sur le diamètre à mesure que le soleil s'élève sur l'horizon jusqu'à midi, et qui augmente ensuite, en sens opposé, à mesure que le

soleil descend. Il en résulte en effet des triangles formés par la ligne du rayon solaire, sur le demi-diamètre, qui, de l'horizon va jusqu'à l'objet; et par l’objet lui-même, qui est perpendiculaire. Le tracé de cette figure fort simple dirigera le lecteur dans l'intelligence des détails assez confus de ce ὃ. — Sur les circonférences égales. 11 serait mieux de dire: « Sur des portions égales de la circonférence.»

Ces portions égales sont des arcs égaux. — Divers. J'ai ajouté ce mot. — Dans le rayon prolongé, en passant par le sommet de l'objet jusqu'a la circonférence. C’est la première ligne du triangle ; la seconde est le demi-diamètre allant au pied de l'objet ; et la troisième l’objetluimême, qui fait toujours un angle droit, puisqu'il est perpendiculaire. Tout ceci est très visible sur un cadran solaire. — La ligne la plus éloignée. C'est la

que celle qui en est plus près. Or, nous le savons de reste. Que l’on partage donc la circonférence en deux parties égales, en aussi grand nombre qu'on voudra. Que, par exemple, l’objet vu soit @. Quand le soleil est en A, si l’on joint ©, on fera une ombre en OA. Le rayon tombe alors nécessairement sur A. Si l’on va de A à B, le rayon parti de B tombera en dedans de OA ; et de même, si l'on passe de B à C. Sinon, la droite touchera la droite en la partageant. Mais comme AB est égale à BC, et que les angles formés par elle sont en D, les angles seront égaux, parce qu'ils sont au centre. Mais les angles de la ligne D font partie aussi du triangle, parce que leur sommet y aboutit. Si donc on partage l’angle en portions égales, DE sera de DO

ligne que forme le soleil en se levant. Cette ligne est le demidiamètre tout entier, à partir de l'extrémité jusqu'au pied de l'objet. — En deux parties égales.

C'est-à-dire, les points par lesquels passe le soleil, et qui sont à intervalles égaux. — δὲ l’on joint ®, qui est à l’autre partie de la circonférence opposée à celle où est le soleil. — Le rayon tombe... C'est le mot du texte; mais ce serait plutôt:

Nas ent Δ.» -Ξ Den Α΄ J'ai ajouté ceci pour plus de clarté, comme Jjajoute un peu plus loin : « de B».— En dedans de OA. C'est-à-dire que ce ne sera plus le demi-diamètre, mais seulement une partie. — La droite touchera la droite.

Ceci reste obscur. — AB est égale à BC. Ce sont les espaces

égaux parcourus par le soleil, dans la course qu'il semble décrire chaque jour. — Sont en D. D étant le sommet du gnomon par où passent toujours les rayons solaires. — Seront égaux parce qu'ils sont au centre. Le centre est le sommet du gnomon. — Font partie aussi du triangle. Le triangle est toujours rectangle, puisque le gnomon reste perpendiculaire ; et les angles sur la ligne horizontale se rapprochent, ou s’éloignent toujours du pied du gnomon, à mesure que le soleil s'élève ou s’abaisse sur l'horizon ; car tous ces angles aboutissent également au même point. — On partage l'angle.

Ce serait plutôt «la ligne », où les intervalles répondent aux intervalles que parcourt le

plus grande que EZ. Tous les angles que forment les rayons partis de la circonférence seront dans le même cas. Ainsi, il est évident qu’à midi, ombre sera la plus petite possible, et que les accroissements seront alors les plus faibles. En effet, c’est à midi que le soleil a le plus de force relativement à nous. A ce moment, on étouffe par la raison qu’on vient de dire, et aussi parce qu’il n’y a pas d’air ; car c’est lorsque le soleil dissipe l’air qui touche la terre, que le vent se produit. Et si ce phénomène a lieu dans les deux hémisphères, le milieu de la nuit et le midi ne doivent point, ce semble, sentir de vent. .

Pourquoi la lumière du soleil, passant par &es trous carrés, ne fait-elle pas des figures rectilignes, mais des cercles, comme on le voit quand elle traverse des claies ?

N'est-ce pas parce que l'incidence de nos regards

soleil. — Plus grande. C'est ce qu'il faudrait prouver, et la démonstration ne paraît pas résulter de ce qui précède. Le fait est certain ; et les ombres portées décroissent, où croissent, dans une proportion qui ne répond pas à la dimension des intervalles que parcourt Île soleil. — À midi, l'ombre sera la plus petite. C'est exact pour nos climats; et dans les régions où le soleil est au Zénith, il n'y a pas d'ombre portée.— À le plus de force relativement à nous.

C'est exact ; muis ceci ne con-

tribue en rien à l'explication du phénomène.— On étouffe. Même remarque. — Dans les deux hémisphères. La digression continue ; et elle ne se rattache pas à la question. Voir plus loin ie $ 9, où ce problème est répété.

$ 6. . Des cercles. La question est fort ingénieuse ; et peutêtre la science actuelle ne la résout-elle pas mieux que ne le pouvaient faire les Anciens. — L'incidence de nos regards. 1] n'y a dans le grec qu’un seul mot; pour en rendre toute la force, il faudrait ajouter : « par-

SECTION XV, MATHÉMATIQUES, ὃ 6 419

forme un cône, et que la base du cône est un cercle 9 Il en résulte nécessairement que, quel que soit l’objet où tombent les rayons du soleil, ils paraissent circulaires ; car 1l faut que la figure déterminée par le soleil soit circonscrite aussi par des lignes droites, puisque ses rayons sont tout droits, et que quand des droites tombent sur une droite, elles forment une figure rectiligne. C’est la précisément ce qui arrive pour les rayons solaires. Ainsi, les rayons tombent sur la droite qui est celle de la claire-voie, ou de telle autre matière, par où ils passent et brillent. Ces rayons sont droits, de telle sorte que l'incidence en est sur une droite. Mais comme les regards qui se dirigent en partant de l’œil pour aller à l'extrémité des droites, sont faibles, on ne distingue pas les objets qui sont dans les angles. La vision ne se produit que dans la mesure où la droite est renfermée dans le cône. Quant au reste, il n’y ἃ pas de vision possible, et les visions qui y tombent nous échappent. En effet, il y a bien des choses que nous ne voyons pas, quoique notre vue puisse y parvenir, par exemple, les objets placés dans l'obscurité. Un phénomène tout pareil est celui d’un carré qui parait bien un polygone d’abord ; mais qui finit par paraitre un cercle, à mesure qu'on

tis de l'œil ». — La base du nal. — Les regards. Le texte dit cône, formé à partir de l'organe précisément : « les visions ».— qui en est le sommet. — Une Les objets... Ou plutôt: «les figure rectiligne. C'est la forme parties de l'objet ». — Où la

de la figure déterminée par des rayons solaires ; mais ce n'est pas celle que voient nos yeux.

— ls passent εἰ brillent. 1] n'y a qu'un seul mot dans l'origi-

droite, venue des rayons solaires. — Æt les visions. Parties de l'œil de l'observateur. — D'abord. J'ai ajouté ce mot pour plus de clarté. — Deviennent

s'éloigne. En effet, le cône étant toute l'incidence de notre vue, à mesure que lobjet s'éloigne, les sensations visuelles qui se partagent en angles, deviennent faibles et peu nombreuses ; et, par suite, on ne voit rien, à proportion que l'intervalle s'accroît de plus en plus. Au contraire, les visions qui tombent au milieu de l’objet sont fortes et nombreuses, et elles sont persistantes. Si donc l’objet est proche, on peut voir même ce qui est dans les angles ; mais on ne peut plus rien voir si l’objet s'éloigne. C’est pour cela encore qu'une ligne circulaire, quand elle s'éloigne, paraît devenir une ligne droite. C’est de même que la lune, quand elle est à son huitième jour, parait formée de lignes droites, dans son pourtour, si les émanations visuelles tombent non sur sa largeur, mais sur la ligne qui l'enveloppe. En effet, quand la circonférence que nous regardons est proche, notre vue peut juger d'autant mieux qu’une des parties de la circonférence est plus proche que l’autre partie.

faibles. C'est-à-dire que la vision, étant moins directe, devient moins sûre, — Peu nombreuses Ceci n'est pas assez précis, à moins qu'on ne comprenne que les visions sont composées aussi d'un grand nombre de lignes droites, partant de l'œil et formant le cône dont l'objet est la base, — Elles sont persistantes.

C'est-à-dire, toujours fixées sur le même point. — Ce qui est dans les angles. De la figure rectiligne, que devraient former les rayons solaires venant en ligne droite. — C’est pour cela

encore. Le fait est exact. — Les émanations visuelles. Le texte dit ici encore : «les visions »,— Sur la ligne qui l'enveloppe.Ceci est la traduction exacte du texte:

mais la ligne droite que présente la lune pendant une de ses phases ne l'enveloppe pas tout entière ; elle semble seulement la couper perpendiculairement par moitié. — Une des parties de la circonférence est plus proche. En effet, l'œil distingue très nettement la forme sphérique, qui tend à disparaître à mesure que l'objet s'éloigne.

met tnt

Mais dès qu'elle est plus éloignée, on ne perçoit plus sa forme; tout y parait égal ; et cela fait qu’elle semble être droite.

Pourquoi, bien que la lune soit sphérique, ne la voyons-nous que comme une ligne droite, quand elle est coupée par moitié, et à demi-pleine ?

N'est-ce pas parce que notre vue est alors dans le même plan que la circonférence du cercle que fait le soleil projetant sa lumière sur la lune, et que, quand ce phénomène se produit, le soleil ne paraît que sous la forme d’une ligne droite ? Comme il faut nécessairement, quand on jette les veux sur une sphère, qu'on ne voie qu'un cercle, et comme la lune est sphérique, 1l arrive, quand le soleil l’éclaire et la regarde, que c’est un cercle que le soleil doit produire. Lors

8. 7. Bien que la lune soit sphérique. Le phénomène que l'auteur essaie d'expliquer ici est fort curieux ; et la question mérite d'être posée , comme Aristote le fait déja au début de la Métaphysique, livre I, ch. 2, $ 14. Rien ne frappe plus vivement les hommes que les phases de la lune, qui se répètent si fréquemment, et qui sont d'une clarté saisissante. Tout ce problème, $ 7, est d'ailleurs fort difficile à bien comprendre ; et Septali n'en a donné qu'un commentaire assez court et peu satisfaisant. — Coupée par moitié et à demi-pleine. Le texte dit

d'un seul mot: Dichotome. Cette expression est encore employée dans l'astronomie moderne ; ma traduction paraphrase et développe le mot grec. — Dans le méme plan. Qui doit être supposé perpendiculaire. — Que sous la forme d’une ligne droite.

C'est-à-dire que sa lumière trace uneligne droite sur le globe de la lune. — Comme la lune est sphérique. La sphéricité de la lune est évidente, même pour les observateurs qui ne savent point tout ce que l'astronomie sait maintenant sur notre satellite. — L'éclaire et la regarde.

Il n’y a que ce dernier mot dans

donc que cet astre est opposé en sens diamétralement contraire, il paraît en entier; et c’est alors la pleine lune. Mais quand cette position se modifie par le déplacement du soleil, c'est une simple portion de sa circonférence qui arrive à notre vue, de telle sorte que la lune semble être une ligne droite. L'autre partie de la lune est circulaire, parce que cet hémisphère se montre à notre vue en sens opposé. Cela fait l'effet d’un demi-cercle ; car la lune n’en reste pas moins toujours en face de notre vue ; mais Jusqu’à ce que le soleil y rayonne, nous n'y voyons rien. La lune est à moitié pleine dans son huitième jour ; mais lorsque le soleil se dégage, il nous fait paraitre le cercle plus incliné. Quand le cercle est ainsi placé relativement à la vue, il devient semblable à la section

l'original. — Damétralement.

J'ai encore ajouté ce mot. — /l parait en entier. C'est-à-dire qu'il éclaire toute la partie de la lune qu'on peut voir. — La pleine lune. Ceci est exact. — Par le déplacement du soleil.

L'étymologie du mot que le texte emploie ἃ une nuance particulière, qui semble indiquer une sorte d'abaissement du soleil. — L'autre partie de la lune.

C'est-à-dire, la partie semi-circulaire opposée à la ligne droite.

— En face de notre vue. On sait que la lune nous présente toujours la même face ; et l'on doit s'étonner que du temps d'Aristote le phénomène füt déjà compris, si toutefois le sens que je donne à ce passage est bien exact. — Jusqu'à ce que le

soleil y rayonne. Le texte n'est pas tout à fait aussi net.—Dans son huitième jour. C'est exact, et fait est très facile à constater.— Se dégage. C'est-à-dire, « à mesure qu'il s'étend sur une plus grande partie de la circonférence lunaire ».— Plus incliné. C'està-dire que la courbure se substitue de plus en plus à la ligne droite. — À la section d’un cône.

Qui serait coupé perpendiculairement à ses côtés. Le soleil est le sommet du cône ; et la surface de la lune en est la base.

— Mais elle dépasse cette ligne.

La ligne droite s’infléchit en courbe, jusqu'à compléter la circonférence entière, avec la première moitié déjà éclairée.

— Coupée dans la partie lumtneuse. Le sens est douteux. —

SECTION XV, MATHÉMATIQUES, $ 8 423 d'un cône. La lune parait sous forme de ménisque, quand le soleil descend ; car lorsque le cercle du soleil arrive aux points extrêmes, où la lune paraît coupée par moitié, alors apparait la circonférence du cercle. La lune n’est pas en ligne droite pour l'œil del’observateur ; mais elle dépasse cette ligne. Une fois qu'elle y est arrivée et que le cercle est sur les mêmes points, il faut nécessairement qu'elle paraisse sous forme pleine ; car alors une partie du cercle se montre tout à coup, la première partie étant en sens opposé, et, par conséquent, coupée dans la partie lumineuse. De cette façon, les points extrêmes demeurent et se confondent en un même point; et il en résulte nécessairement que la lune doit paraître sous forme de ménisque, mais plus ou moins, selon la marche du soleil. En effet, quand le soleil a marché en se déplaçant, le cercle sous lequel on voit le soleil, se retourne pour revenir sur les mêmes points. Il peut prendre une suite indéfinie d'inclinaisons, puisque l’on peut toujours faire passer les plus grands cercles par les mêmes points en un nombre infini.

Pourquoi, le soleil et la lune étant sphériques, ces astres nous paraissent-ils être des surfaces planes ?

De ménisque, qui est alors points par lesquels la lumière

tourné en sens inverse du croissant de la lune, dans son premier quarlier. — Se retourne.

C’est le dernier quartier. — Une suite indéfinie d'inclinaisons.

L'observation est exacte dans sa généralité, bien quil soit impossible de marquer tous les

solaire doit passer successivement. — Puisque l’on peut toujours... Cette théorie est juste ; mais on ne voit pas bien comment elle se relie à la question posée dans ce ἃ 7.

ὃ 8. Etant sphériques. Le fait est exact ; et il est probable que

N'est-ce pas parce que tous les corps dont la distance est inconnue, qu'ils soient d’ailleurs plus loin ou plus près, semblent être sur le même plan ? Par conséquent, sur un de ces corps qui peut être un, mais qui néanmoins a des parties, si la couleur de ces parties n’est pas différente, toutes semblent être sur un plan égal. Or, ce qui est sur le même plan est tout uni; et alors la figure semble nécessairement être une surface.

Pourquoi le soleil fait-il des ombres si longues à son lever et à son coucher ? Et pourquoi sont-elles moindres à mesure qu'il s'élève, les plus petites étant à midi ?

N'est-ce pas parce que, quand il se lève, il fait d'abord l’ombre parallèle à la terre; et cette ombre

cette notion d'astronomie remontait jusqu'a l'école Pythagoricienne.— Dont la distance est

naître des inégalités de surface.

8 9. Des ombres si longues...

inconnue. Ce n’est que dans les temps modernes que l’on s'est fait scientifiquement une idée de la distance où le soleil et la lune sont de notre terre. D'ailleurs, ces mesures ne peuvent pas être d’une précision absolue; mais l’approximalion suffit.

— Sur le même plan. Ce phénomène nest pas douteux non plus. — δὲ la couleur... n'est pas différente. Cette restriction est ingénieuse et vraie. La diversité des couleurs ferait recon-

Voir plus haut, $ 5, la même question, beaucoup plus développée qu'elle ne l’est ici. La solution d'ailleurs est la même ; et le fait est exact, comme le prouve la plus simple observation. — Parallèle à la terre quand il est à l'horizon, et que les rayons effleurent la surface terrestre. — Cette ombre paraît infinie. Cecin'est pas tout à fait juste ; et en se donnant quelque peine, on peut obtenir des mesures assez précises. La trace

parait infinie, tant elle est inégale aux objets. Ensuite, elle est fort longue ; puis elle devient de plus en plus petite, parce que c’est toujours une ligne droite, qui, partie d’un point de plus en plus haut, tombe en dedans, Soit le gnomon AB ; le soleil C et D. Le rayon part de C, représenté par CZ, sera plus en dehors que CE. L'ombre sera BE, quand le soleil sera le plus haut ; et ΒΖ, quand l’astre sera au plus bas. Ainsi, l'ombre sera d'autant plus courte que le soleil sera le plus haut possible au-dessus de notre tête.

Pourquoi les ombres projetées par la lune sontelles plus longues que les ombres du soleil, quand

elles sont abaissées de la même perpendiculaire 9

de l'ombre à ce momeut est diffuse ; mais on peut encore la fixer assez approximativement.

— Infinie. Ou « indéterminée »..

— Une ligne droite que suivent et projettent les rayons solaires.

— D'un point de plus en plus haut. À mesure que le soleil s'élève au-dessus de l'horizon.

— Soit le gnomon AB. La figure est très facile à tracer. Le gnomon est au centre d'une demi-circonférence. Le soleil, placé à gauche, monte successivement jusqu'à midi; son rayon passe par le sommet du gnomon, et l'ombre est portée sur le diamètre. La droite suivie par le rayon tend à se rapprocher du pied du gnomon,

jusqu'à midi ; et quand le soleil passe à droite, l'ombre s'éloigne de plus en plus du pied. — Quand le soleil sera le plus haut. C'est-à-dire à midi. — Sera au plus bas. C'est-à-dire, quand il se couchera ; et l'ombre alors passera à la gauche du gnomon. — Au-dessus de notre tête. Dans nos latitudes, le soleil ne peut jamais être absolument au-dessus de notre tête ; ce phénomène ne peut se produire que sous l’équateur.

8 10. Quand elles sont abaissées de la méme perpendiculaire.

Septali remarque avec raison que cette condition est indispensable, sans quoi la question ne saurait être posée. La perpen-

N'est-ce pas parce que le soleil est plus haut que la lune ? Dès lors, 1l y a nécessité que le rayon abaissé de plus haut tombe plus en dedans. Soit le gnomon AD ; la lune B ; le soleil C. Soit aussi le rayon venant de la lune ΒΖ. L'ombre sera DZ, et celle qui vient du soleil sera CE. Donc nécessairement l’ombre du soleil

sera plus courte, puisqu'elle sera DE.