VI
^V.(VK).(ue)=///p(UF.)..= ^
Cette équation exprime la loi d'énergie : l'accroissement d'énergie W de l'électron est égal au travail de la force extérieure.
Si les intégrales superficielles sont supprimées dans les équal^onsf(Vrt), (V6), ces relations expriment la force intérieure, au '"oyen de la quantité de mouvement électromagnétique.
En tout point du champ où la densité de la quantité de mou- ^^'nent électromagnétique varie avec le temps, il s'exerce sur le système rigidement lié à l'électron une réaction correspondante,
— r- par unit»' de volume.
c2 àt '^
La somme géométrique de toutes ces forces donne la force intérieure résultante ; la somme de leurs moments donne le couple
intérieur résultant. De la même manière, par suite de la relation (V), le travail virtuel des forces intérieures est égal au travail virtuel qu'effectuent les réactions précédentes dans un déplacement virtuel de l'électron et d'un système rigidement lié à lui.
Si Ton introduit la relation (V) dans Téquation dynamique (III), on obtient
(VU) 8A.-///(8.,J,^)rf. = o.
Cette expression de la loi du mouvement correspond au principe de d'Alembert,
On obtient une autre forme de la loi du mouvement en introduisant les relations (V a), (V h) dans les expressions (III a), (III b) des équations dynamiques. Appelons
(^ c) G = — / / I P dz Timpulsion de l'électron,
('}d) M = — /// [RPjrfx son moment d'impulsion,
par rapport au centre de l'électron. On aura
('je)
(fH
— est le changement que subit, par suite du mouvement de l'électron,
ôt
le rayon vecteur qui va du centre de celui-ci à un point fixe dans IVîHpace. Comme V est la vitesse du centre, on a
ai ~ '
d'où
et
Par combinaison de (5 e), (^5/), (Va), (V6) et (Illa), (III 6), on obtient les équations qui déterminent les variations avec le temps
PRINCIPES DE LA DYNAMIQUE DE l'ÉLECTRON. O^S
de rimpulsion et du moment d4inpulsion, les lois d'impulsion : (VHa) î = *^'
(VII A) ^-^-[VGi = e.
Ces équations du mou i^e ment de /'électron correspondent exactement aux équations différentielles que Ton obtient pour le mouvement d'un corps solide dans un fluide parfait. Cependant, dans le problème mécanique, les composantes de l'impulsion et du moment d'impulsion sont des fonctions linéaires des vitesses actuelles de translation et de rotation. Il en est autrement dans le problème électrodynamique : la relation entre G, M et les composantes de la vitesse n'est nullement linéaire. En réalité, l'impulsion et le moment d'impulsion ne dépendent pas seulement du mouvement actuel de l'électron, mais de toute son histoire antérieure. Car l'impulsion et le moment d'impulsion sont déterminés par des intégrales étendues à tout l'espace occupé par le champ électromagnétique et celui-ci est constitué par la superposition des perturbations émises par l'électron, depuis un temps très reculé jusqu'à l'instant actuel. Cette circonstance crée la grande complication de notre problème, qui ne semble pas rendre possible une solution complète de la dynamique de l'électron. C'est seulement pour des catégories spéciales de mouvements que les impulsions sont des fonctions de la vitesse actuelle, et ces fonctions ne sont linéaires que pour une translation de très faible vitesse.
5. — Transformation des équations du champ par introduction d'un système de coordonnées lié à l'électron.
Nous avons déjà envisagé, au troisième paragraphe, un système d'axes rigidement lié à l'électron. Nous allons calculer les variations avec le temps des champs et du potentiel vecteur pour un point fixe par rapport à ce système qui participe au mouvement de rotation de Téleclron; nous représenterons ces variations par
ât Ot Ot
En introduisant ces quantités dans les équations du champ, nous obtiendrons celles-ci rapportées aux axes mobiles.
-^ se compose de trois parties : la première est la variation — au
26 m%% AMtkABXm.
point corre^|H>ndant de l'espace fixe: la deuxième lient ao déplacement du point lié à l'électrr^n a\ec !a vitesse U, elle donne ( L V)A. Enfin, il faut introduire la portion qui provient de la rotation des axes mobiles: la dvnamique des solides (*) donne, pour ce changement, [Au]. I>e changement total est
(6) ^ = ^ -+-[UV]A-i-[Aû].
De la même manière, on obtient
(««) ^=^^[UV|E + [Ea],
(66) ^ = ^'[UT1H-.[HUJ.
Les vecteurs G et M, Timpulsion et le moment d'impulsion sont toujours rapportés au centre de Télectron et sont définis par des intégrales étendues au volume entier. Pour eux, la seconde cause de variation est absente et Ton a, comme pour un solide invariable,
(6c) ^=^^{GU],
dt dt
/M ^ dt "■ dt
De même que nous avons étendu à tout point lié au système mobile la définition donnée par Téquation (I) pour la vitesse U d'un point, nous pouvons étendre le sens de l'expression (i a) qui définissait la force F agissant sur un point de l'électron,
En dehors de l'électron, ce vecteur F donne la force qui agit sur une charge électrique* unité liée aux axes mobiles. Son correspondant magnétique, le vecteur
H'= H- -[UKl,
représente la force exert^ée par le champ sur un pôle daimant unité lié aux axes mobiles.
Nous associenms à récpiation ^6» une relation quon obtient en
i t Cf. B.-E.-J. RoUTM. Bigid fhmimifCt.
PRINCIPES DE L\ DYNAMIQUE DE L ELECTRON. 'l'J
exprimant le vecteur F en fonction des potentiels au moyen des équations du champ (11^') et (Il A),
F = grad.* — h - [ U curl. A I.
c ut c
La règle 5 donne
— g^ad.(UA) = [Ucu^I.Aj-h[Acu^l.U]-4-(UV)A-^(AV)U;
comme Téquation cinématique (I) donne
curI.U=2Û et (AV)U= — [Au], on a
[Ucurl.A]=— grad.(UA) — (UV)A — [Au].
D^où
F = grad.j*-i(UA)j-i|^H-(UV)A-^[Aû]j.
En tenant compte de l'équation (6) et en posant pour abréger
on obtient
iyb) F = grad.<p- - — .
Il est évidemment indifférent pour le calcul du gradient, du curl. ou de la divergence que les points soient rapportés aux axes fixes ou aux axes mobiles : car on considère uniquement la position actuelle des axes et non leur mouvement dans les dérivées par rapport aux coordonnées, et l'on obtient des quantités vectorielles ou scalaires indépendantes de l'orientation des axes, qui sont des invariants d'une transformation de coordonnées. La notation vectorielle que nous employons nous dispense de transformer les quantités vectorielles et scalaires qui dépendent seulement de la répartition en volume du champ.
Par conséquent, l'équation (HA) H = curl. A. conserve la même forme dans le nouveau système. L'équation (76) donne alors
(70 — - -IT = curl. F,
qui représente la transformée dans le nouveau système de l'équation du champ (H^); on peut l'obtenir aussi à partir de l'équation (66)
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PRINCIPES DE LA DYNAMIQUE DE l'ÉLEGTRON. '29
il vient
dont l'introduction dans Téquation de l'énergie (VI) donne
dt
Cette relation déduite de la loi d'énergie et de la loi d'impulsion est importante pour la suite; car elle établit une propriété du champ produit par l'électron indépendante de la nature des forces extérieures.
Nous obtenons une autre forme de cette relation en remarquant ijue pour une quantité scalaire comme W, (VG) et (ÛM) la variation *vec le temps est indépendante du mouvement de rotation des axes; par suite,
Il vient donc M) 7J(VG) + (UM)-W| = (g^) + (m^).
Ceci est la relation entre l'énergie et l'impulsion qui nous conduira lux équations de Lagrange (§ 10). Donnons encore quelques relaions qui seront utiles dans ce but.
De la définition des vecteurs F, H' résultent les identités
///,EP,^ = W,.i///,.,,UH„i.
On a d'ailleurs, par les règles a, p, y,
-(E,[UH]; = (H,[UE]) = (U,[EHJ)=iî(UP).
l'o«, par application de (I), (5c), (5rf),
3o MAX ABRAHAM.
On en déduit
(9a) Jff(m\^^p^=^\',„-i^\G)-\(^i^).
Par addition et soustraction on obtient (<,,, (VG)^(aM)-W=-///(KF,g-///(HH')^.
(ç,c) W„.-W,= -///(EF)^ .-///OIH',3^.
Une autre expression pour la différence des énergies magnétique el électrique résulte des équations du champ (11); d'après (HA) on a
La règle Ç donne
W„,= /;/;/'(Acurl.H)g-./;/(AHJ.^,
si nous supposons le champ limité par une surface 21. L'équation du champ (Ha) donne
«-=./:/;A<"MS*^.///(.f)**//iAH,.ti.
d'autre part on a, d'après (H^), et par la règle s
Si la surface S s'éloigne indéfiniment, les deux intégrales de surface tendent \ers zéro dans le cas des deux problèmes envisagés au paragrapiie i. Dans la première hypothèse sur l'état initial, A et H sont nuls sur la surface: 4>Kvest, comme en Liée Iros ta tique, inversement proportionnel à la troisième puissance du rayon, et l'intégrale de surface tend vers zéro comme l'inverse du rayon. lien est de même pour tous les mouvements stationnaires, en particulier pour les mou- \emenls remarquables du paragraphe 10, où <ï>, A varient comme la
PRINCIPES DB LA DYNAMIQUE DE L'ÉLBCTRON. 3i
puissance — i et E, H comme la puissance — 2 du rayon. Les intégrales de surface s^annulent donc comme la puissance — i du rayon. On en déduit, d'après (7a),
Relation qui n'a de sens que si la seconde intégrale possède une valeur finie quand on Télend à tout Tespace; ceci a lieu pour les moii\einents remarquables, ainsi que nous le démontrerons au paragraphe 10.
