Énergie électromagnétique et quantité de mouYement

électromagDétiqne.

Nous allons, dans ce paragraphe, déduire deux résultats qui correspondent aux principes de la conservation de l'énergie et de la quantité de mouvement. L'énergétique du champ électromagnétique a été développée par Maxwell, Poynting et Hertz ; les expressions de l'énergie électromagnétique et de l'énergie rayonnée auxquelles conduisait la théorie de Maxwell-Hertz restent valables dans la théorie des électrons, ainsi que M, Lorenlz (*) Ta montré. 11 est facile d'en donner la démonstration.

ha puissance fournie par /es forces intérieures est

dt

=JJf9{VF)d'=JfJp{VE)d^.

Cette expression peut, grâce à Téquation (Ha), être amenée à la

forme

dAi

dt

(M H. -A. LoRKNTZ, Versuch einer Théorie der elektr. u. opt. Erscheinungen in J>en'egten Kôrpern, p. 22. Leiden, 1895.

PRINCIPES DE LA DYNAMIQUE DE l'ÉLECTRON. i5

puis, d'après la règle Si

^///<Ecurl.H,rf. = ^///(Hcu,I.E,rfc-^//[IÎHKe/,.

d'où il résulte, si Ton lient compte de Téqualion (116),

ou

(i, P = £^[KH]

représente le vecteur de Pojnting, de sorte que le second terme du premier membre mesure Ténergie rayonnée vers Textérieur à travers la surface qui limite le champ.

L'équation (IV) signifie par suite que In puissance fournie par les forces intérieures el le rayonnement est empruntée à la grantieur

quon appelle /'énergie électromagnétique du champ.

Comme Fexislence d'une énergie électromagnétique, celle d'une quantité de mouvement électromagnétique peut se déduire des équations du champ. M. Poincaré ( ' ) Ta montré en s'appuyant sur une transformation donnée par M. Lorentz (^) de l'expression (i/*) pour la force intérieure; il énonce un résultat équivalent, sans donner de démonstration, pour l'expression (i^) du couple intérieur.

Sous allons obtenir à la fois les deux démonstrations en transformant l'expression (ic) du travail virtuel des forces intérieur es.

Le vecteur ^s de déplacement virtuel n'a été défini que pour un point de l'électron. Nous allons étendre cette définition de la manière suivante : Imaginons un système d'axes liés à Uélectron et participant à tous les mouvements de celui-ci, réels ou virtuels. Nous représentons maintenant par 8* le déplacement virtuel d'un point lié à ce svstème d'axes, intérieur ou extérieur à l'électron. Grâce à cette

(') H. Poincaré, Arch. néerl., a* sérient. V, 1900, p. aSa. (*) H. -A. Lorentz, toc. cit., p. 26.

àr.

àr.

ôx

ày'

àx

l6 MAX ABRAHAM.

extension, les composantes i, 7), !^ du déplacement virtuel sont des fonctions continues des coordonnées, et, dans tout l'espace, les équations différentielles

(3) o = # = ^ = 'iî = *l-

OX oy Oz ôz

sont valables et expriment que l'électron et les points liés aux axes fixes par rapport à lui peuvent subir une translation ou une rotation virtuelle, mais aucune déformation.

Nous pouvons également considérer l'expression (i c) pour le travail virtuel comme une intégrale étendue à tout le volume du champ électromagnétique, limitée par la surface S, les éléments de volume extérieurs à l'électron fournissant des éléments différentiels nuls, puisque la densité py est nulle. Nous pouvons transformer cette intégrale en opérant par parties, en obtenant d'abord, grâce à l'équation de définition {\a) du vecteur F, aux équations du champ (Hoc) et à la règle de calcul (y),

Posons

(3a) 5A| = oA.<.-i- 8A,;,,

(36) àX^ = -^ f f C{Eos)d\\,Edz,

(3c) 8A,,= -Lyi'y (^cu.l.II-i^, [H85])rfT,

ù\e et oA„t sont les portions électrique et magnétique du travail \irtuel ôA,, et les composantes des vecteurs E, H, 8* doivent y être considérées comme des fonctions continues et dérivables du temps et des coordonnées. Par application de la règle (e) on obtient

{'Jd) oA,= -T^ f l*{E^s)E^citj-^^ fff{E,grsiâ.{E8s))dz',

si l'on exprime le produit intérieur du vecteur E et du gradient de(E5,ç) en fonction des couiposanles de E et 8.v, on remarque que les dérivées de 5, r,, ÎJ, par rapport aux coordonnées, interviennent

PRINCIPES DB LA DYNAMIQUE DK l'ÉLECTRON. I7

seulement par les combinaisons qui sont nulles d'après (3). 11 reste

L'équation du champ (116) permet de ramener le facteur de ^ à la forme

, àE^ dE^ dE, ^i àE' ,^ dH. OHy )

les équations analogues pour les facteurs de 7| et Ç conduisent à l'expression

(E, grad.(E 85))= i (85, grad.E»)— (ô5. i[ E^l V Comme d'ailleurs on a, d'après les relations (3),

ax dy âz on obtient, par la règle de calcul (e),

- ( 65, grad. E» ) = - - di V. E» 8*,

de sorte que l'expression (3^) prend finalement la forme

(3.) 8A,= gL//[.(E8„Ev-E.8.,]rf,-±//(8,,l[E^])./.;

0v5 représente la composante normale du déplacement virtuel, pour un point de la surface 5] qui limite le champ; l'intégrale superficielle dépend seulement du champ électrique et pas du champ magnétique. Une intégrale correspondante dépendant seulement du champ magnétique peut se séparer de l'expression (3c').

L'emploi des règles de calcul (y) et (a) permet d'écrire

j 8A«= 7^ yyy(curl. H, [H 85] )e/T

des deux intensités des champs électrique et magnétique. De même que la relation (IV ) a permis de définir une énergie éleclromagné^ tique y les relations (Va) et (V 6) conduisent à la définition d'une quantité de mouvement électromagnétique.

Il nous faut d'abord examiner de plus près la signification de l'équation (IV). Dans ce but. supposons que la surface 2 limitant le champ soit celle d'un corps quelconque : la théorie électromagnétique et l'expérience s'accordent pour démontrer que le vecteur de Poynting P détermine l'énergie rayonnée vers ce corps. La relation (IV) semble tout d'abord contredire le principe de conservation de l'énergie, en ce sens que la somme des énergies fournie |)ar le champ aux forces qu'il exerce sur l'électron et rayonnée vers la surface S n'est pas nulle ; mais nous pouvons retrouver le principe en introduisant une

énergie répartie dans le champ avec la densité -^-^ * dont la diminution représente la somme précédente.

Les équations (V a) et (V 6) se laissent interpréter d'une manière tout à fait semblable. Les expériences sur la pression de radiation et la théorie qui déduit de celle-ci l'intensité du rayonnement noir en fonction de la température s'accordent pour démontrer que les pressions de Maxwell représentent réellement les forces exercées par le champ sur la surface 2 des corps qui le limitent. Mais alors les relations (Va) et (y h) semblent en contradiction avec le principe d'égalité de l'action et de la réacti-on : les forces exercées par le champ sur l'électron d'une part et sur la surface S d'autre part ne se font pas équilibre. Mais nous pouvons retrouver le principe en introduisant une quantité de mouvement électromagnétique répartie dans

, P le champ avec la densité — • En tout point du champ où le vecteur

de Poynting varie avec le temps intervient l'équivalent d'une force

j — par unité de volume; en composant toutes ces forces par les

procédés de la statique des solides, on obtient la force et le couple résultants du champ qui trouvent leurs équivalents en partie sur l'électron, en partie sur la surface S. La forme des relations (Va), (V6) suffit à elle seule pour. impliquer l'existence d'une quantité de mouvement électromagnétique.

A. — Les équations da mouYement de rélectron.

Nous avons supposé, dans la discussion précédente, la surface limite du cliainp 2 dclenninée par des corps matériels.

En réalité, de semblables corps sont toujours présents el une solution correcte du problème de mouvement des électrons doit tenir compte de celte présence. Dans les recherches sur les rayons cathodiques et les rayons de Becquerel, ces corps sont les parois du tube partiellement vide où se produit la déviation magnétique ou les plateaux du condensateur entre lesquels a lieu la déviation électrostatique. Dans ces corps, les équations du champ électromagnétique établies pour l'éther ne sont plus valables; comme nous avons pris ces équations pour base, il nous faut limiter le champ de manière que ces corps soient exclus. Il est vrai, qu'au strict point de vue de la théorie des électrons, la modification des équations dans les milieux matériels tient simplement à ce que les électrons qui constituent ceux-ci sont mis en mouvement et produisent aussi un champ électromagnétique. Si cette hypothèse se confirme, elle permettra de faire intervenir dans le vecteur F/i la réaction des corps extérieurs sur le mouvement de Télectron. On n'est pas encore parvenu jusqu'ici à interpréter, de manière satisfaisante, les actions exercées par la matière sur les rayons cathodiques ou de Becquerel en partant de l'hypothèse précédente. Les problèmes dans lesquels ces actions jouent un rôle essentiel, par exemple ceux de la réflexion des rayons cathodiques, l'émission des rayons de Becquerel, ne sont donc pas atteints par la théorie actuelle.

Nous nous limitons aux mouvements (t'électrons qui ne sont pas influencés directement par la matière et où interviennent seules des actions purement électriques el magnétiques^ déterminées par le calcul des intensités E>i, H/i des champs extérieurs. A ce groupe d'actions appartiennent celles exercées sur les électrons en mouvement dans les rayons cathodiques ou de Becquerel par ceux qui les accompagnent; la manière la plus simple d'en tenir compte serait d'ajouter aux champs électrique et magnétique produits par une batterie d'accumulateurs ou par un aimant, les champs de même nature dus au courant stationnaire de convection que les rayons représentent. L'erreur commise en négligeant cette dernière action est d'autant plus faible que les derniers champs sont plus petits par rapport aux premiers.

Si nous supposons que toutes les actions électromagnétiques eiercées sur l'électron sont comprises dans la force et le couple extérieurs et si nous négligeons les autres influences provenant de la matière, il n'est pas nécessaire de tracer une surface pour limiter le champ produit par l'électron et nous pouvons le supposer étendu à l'espace tout entier, pour lequel les équations de Hertz-Maxwell s'appliquent. Nous rejetons ainsi à V infini les limites du champ et nous calculons l'énergie et la quantité de mouK^ement électromagnétiques de ce champ comme si r électron existait seul dans C espace. C'est sous cette forme simplifiée que nous allons maintenant envisage^' le problème du mouvement de l'électron.

On démontre facilement que les intégrales de surface des équ»^ — ' tions (IV), (V), (Ver), (V//) s'annulent quand 2 s'éloigne à l'infini - On peut s'en rendre compte de la manière suivante, si l'on veii ^ développer la dynamique d'un électron qui se trouve en repos jus qu'à l'instant / = o où commencent à agir les forces extérieures, perturbation du champ produite par le.'mouvement que prend l'électron se propage, à partir de celui-ci, avec une vitesse finie qui est celle de la lumière et n'atteint un point de la surface limite qu'au bout d'un temps infini. Pour toute valeur finie du temps, le champ sur cette surface est le champ électrostatique initial; par suite, le vecteur de Poyuting P s'y annule en tout point comme l'intégrale superficielle de la relation (IV); la partie magnétique de la pression II de Maxwell s'annule aussi, tandis que la partie électrique diminue suivant l'inverse de la quatrième puissance de la distance. Si la surface limite est voisine d'une sphère, dont le centre coïncide avec la position initiale de l'électron, les intégrales de surface contenues dans (V), (Va), (V 6) tendent vers zéro quand le rayon de cette sphère augmente indéfiniment, l'intégrale de (V), (V6) au moins comme l'inverse du rayon, et celle de (Va) au moins comme l'inverse du carré du rayon. Nous pouvons donc supprimer ces intégrales dans la solution du premier problème considéré.

Il est encore utile d'examiner une autre question : comment se meut un électron qui, entre les insUints t = — oo et / = o, possédait une vitesse constante et sur lequel les forces extérieures commencent ensuite à agir. On considérera encore la sphère ayant pour centre la position de l'électron pour ^ = o et l'on choisira son rayon assez grand, pour que les perturbations émises par l'électron aux instants ultérieurs ne l'aient pas encore atteinte. Sur cette sphère se trouve donc à tout instant le champ qui correspond au mouvement initial

uniforme. Nous d(îmonlrerons, au paragraphe 6, que dans un semblable mouvemenl les champs diminuent en raison inverse du carré de la distance au centre de l'électron. Il en résulte que, si le rayon de la sphère augmente indéfiniment, les intégrales superficielles dans (IV) el (V b) tendent vers zéro comme l'inverse du carré du rayon et celle de (V), (V h) comme l'inverse du rayon. Dans le cas de ce second problème, les intégrales de surface disparaissent aussi et les relations prennent une forme plus simple.

Nous appellerons l'intégrale de volume étendue à tout l'espace :

( 5 ) W = r r A E*-h H» ; ^ V énergie de l* électron,

en distinguant les deux parties :

(^a) We = / / \ ^ Q~ V énergie électrique y

(5 6) W,„= / / /H*— V énergie magnétique,

La relation (IV) peut s'écrire

dt

En transformant cette expression au moyen de l'équation cinématique (1) et des équations dynamiques (III n) et (III é), on obtient