SD(T

44B II. -A. LORKNTZ.

» Si Tespace extérieur aux conducteurs était occupé non pas par le diélectrique considéré, mais par l'éther, le facteur i -h 4''^9^ ^^^^ Téquation (22) devrait être remplacé par Funité, la formule (2.3) restant encore applicable. On voit donc que, dans un système de conducteurs maintenus à des potentiels donnés, la substitution du diélectrique pondérable à l'éther augmentera les charges dans le rapport de I à I H- 47^9 V, et que ce qu'on appelle le poui'oir inducteur spécifique K d'un isolateur n'est autre chose que cette expression I -}- 47ty V. Il s'ensuit que

)) En supposant que

et en admettant que, dans un changement de densité du diélectrique ou du nombre N, les propriétés de chaque molécule et le coefficient f qui en dépend ne sont pas modifiés, on trouve que l'expression

doit être proportionnelle à N, c'est-à-dire à la densité. »

Je ne reproduirai pas ici les Chapitres du Mémoire qui traitent de la propagation de la lumière dans un diélectrique pondérable se trouvant, soit en repos, soit en mouvement. La méthode qui a été eniployre et qui consiste à regarder chaque molécule qui a été frappée par les ondes lumineuses comme un centre d'ébranlement, a été remplacée plus tard par un procédé plus simple. Disons seulement qu'en désignant par i' Findice de réfraction, j'ai trouvé pour le coefficient

dentraîiiemeul

ce qui s'accorde avec la valeur donnée par Fresnel et que l'indice i^ est donné par la formule

jTT-X 1 Q

SUR LA THÉOniK DES ÉLECTRONS. 449

dans laquelle & représente la période des vibrations el x la masse effective (') de l'électron mobile.

Extrait 8.

« § 131. Ce résultat donne lieu aux conclusions suivantes : » a. Si la masse x est si grande, que le terme

tout en restant inférieur à l'unité, ait une valeur sensible, l'indice de réfraction sera d'autant plus élevé que la durée des vibrations est plus petite. On sait que, dans la théorie moderne de la dispersion de la lumière, la masse des particules pondérables qui sont supposées prendre part aux vibrations lumineuses, joue un rôle important. J'ai fait remarquer, il y a déjà bien des années {Wied, Ann., t. IX, i88o, p. 640, 4"^ '^ théorie électromagnétique permet une semblable explication.

» b. Si la durée d'une oscillation est suffisamment longue, on aura

à peu près

i*= I -h 47rV<7.

Or, le second membre n'est autre chose que le pouvoir inducteur spécifique K et l'on revient à la relation établie par Maxwell

» c. En supposant que le facteur s qui entre dans q peut être négligé, on trouve que, quelles que soient les valeurs de 27 et de x, Texpression

doitétre proportionnelle à la densité du diélectrique. C'est la loi que j'ai fait connaître auparavant et qui a été établie aussi par M. Lorenz, de Copenhague. Elle ne s'accorde pas parfaitement avec les expériences, mais il n'y a en cela rien qui doive nous étonner. Non seulement la quantité s peut être diflerente de o, mais il est très probable que les propriétés des molécules elles-mêmes sont modifiées par une dilatation ou une compression. Ce sont précisément ces changements sur

(•) C'esl-à-clire la somme de lu masse vraie el de la masse électromagnélique dont il a déjà élé question dans ce recueil.

45o H. -A. LORKNTZ.

lesquels on pourra apprendre quelque chose en étudiant les variations de l'expression

C'est ici le moment de remarquer que pour de petites valeurs de N (corps gazeux), Téquation (21) peut être remplacée par

NVe«

et Féquation ('.44) par

NV«g«

irx i'S = I H

011 2^0 = ^^1/7 est la période des vibrations propres de l'électron. Des valeurs mesurées de i^ on peut donc déduire * et en combinant ce résultat avec la valeur de -* tirée d'autres phénomènes (par

exemple du phénomène de Zeeman) on peut déterminer Ne. Or, la densité du gaz étant connue, on peut indiquer la valeur de Ne', si l'on désigne par e' la charge d'un ion électrolytique, d'un ion d'hydrogène par exemple. 11 est donc possible de comparer entre eux Ne et Ne' y ou biene et e'. C'est ainsi que, plusieurs années plus lard ('), je suis arrivé à la conclusion que la charge des électrons mobiles est du même ordre de grandeur que celle d'un ion électrolytique. M. J.-J. Thomson a obtenu le même résultat par des recherches d'une nature entièrement dillércnte.

Les questions que j'avais traitées dans le Mémoire que je viens d'analyser ont été reprises avec plus de développements dans le Mémoire Versuch einer Théorie der eleclrischen und optischen Erscheinungen in bewegten Korpern. Dans cette nouvelle publication je me suis constamment servi des notations de la théorie des vecteurs, ce qui permet d'abréger considérablement les calculs mathématiques. Les vecteurs ont été représentes par des lettres allemandes

(*) II. -A. LoRENTZ, Opiische vevschijnselen die met de lading en de massa der ionen in verband staan {Amsterdam Zilttngsversl. Akad. v. Wet., i. VI, 1898. p. 5o6 et 555).

SUR LA THKCRIE DKS ÉLECTRONS. 4^1

[H vitesse d'un électron, p vitesse de translation de la matière pondérable, ï déplacement diélectrique dans Tétlier, & déplacement diélectrique dans la matière pondérable, nt moment électrique d'une molécule, Jtl moment électrique par unité de volume, C force électrique, ^ force magnétique (*)]; les trois composantes d'un vecteur 51 ont été désignées par 3ix, 3^y> 2^z {^h signifiant, en général, la projcclion du vecteur sur une ligne de direction h) et j'ai écrit divJ^ {dUergence de J3t) pour l'expression

dx ôy Oz

rot/31 {rotation de /SI) pour le vecteur aux composantes

â:^^ d%y (>5l:r ^>5l3 à%y dX

à y Oz dz àx Ox dy

et [.3t. JD] pour le produit vecteur des deux vecteurs 51 et JB, c'està-dire pour le vecteur ayant pour composantes

Si l'on choisit des axes de coordonnées immobiles par rapport à l'éther et que Ton désigne par un point superposé la dilTérenciation par rapport au temps dans un point ayant une position fixe par rapport à ces axes, les équations fondamentales prennent maintenant la forme suivante :

(I) c]ivï = p,

(II) diviJ = o,

(III) rotjg = iT:(?u— i), <IVj — 47rV2rotl> = 4,

OÙ l'on reconnaîtra immédiatement les formules (5), (8), ("j^) et (9). Quant à la force électrique (S, c'est-à-dire le vecteur qu'on obtient en divisant la force exercée par l'éther sur un élément de volume d'un électron par la charge de cet élément, elle est donnée par

Tandis que, dans le Mémoire Ae^ .Archives néerlandaises y j'avais

(*) Comme j'ai constamment fait abstraction des propriétés magnétiques des corps, il n'y a pas lieu de distinguer la force et l'induction magnétiques.

4Sa ÎI--A. LOUENiï.

îssajé de donner une flédiiclion de quelques-unes de ces formules au oyvn dti considérations sur le mécanisme des ptiénamr-nes, je ne suis borné, cette Tois-ci, A faire ressortir que les équations «ont les plus simples qu'on puisse admettre, si l'on veut rendre compte île ccrtflins pliénumèncs fondamrnluux bien ^taillis.

J'ai continué en faisHnt deux applications des équations fondamentales au syntëme d'électrons qui se trouvent dans l'espaee t à Tinté- -ifur d'une surface fermée v (dont. la normale n est dirigée versTcxléicur). Dans In première application, il s'agit de l'énergie, dans U seconde de la force totale, exercée par l'éllier, par exemple duus la direction Gx. On trouve d'aliord

(»5J (/A = (/(L-T-Ui-^V'.// |'[l..«|„<^i,

représente l'énerjjie électromagnétique du système limité par ff, L l'énergie qui se trouve dans ee hvstènie, indépendamment des actions élcctromnjçnéliques, iIV et n/L les accroissements de ces énergies pendant l'intenallc rfï, cl e/\ le ti-avail des forces eiercées sar les électrons eu tant qu'elles ne proviennent pas dn ctiamp électromuga^tiquc. Ccdi- (équation fait) nous montre que chaque élémentde la surface <j peut élte regnrdi- eomine l'Iant lra\crsé |)ar une quanliu!

ergu-

;spres&ion bien connue de l'oynling

Quant à la force totale S qui agit dans la direction des x, elle esl donnée par

« étant le cosinus de l'ang^le que la normale forme avec l'axe des x. I.es deux premiers termes de cette expression ne sont autre chose

SUR LA TllKORlE DES ÉLECTRONS. 4^3

que la force qui serait produite par les tensions et pressions de Maxwell agissant à la surface t. 11 résulte donc de l'équation (26) qu'en général la force S est dillerente de celle qu'on calculerait au moyen de ces pressions. 11 peut même arriver (jue ces dernières disparaissent et que pourtant il y ait une force S. Ce cas se présente dans tout système électromagnétique à dimensions finies, si Ton fait reculer les points de la surface t qui l'entoure à des distances infinies. On peut démontrer que les premiers termes de l'expression ('>.6) sont alors zéro^ de sorte que

ce (|ui peut fort Lien avoir une valeur différente de o. L'intégrale, bien entendu, doit être étendue à l'espace infini.

Le résultat exprimé par la formule (27) mérite d'être signalé, parce qu'il est en contradiction avec le théorème que la quantité de mouvement d'un système de corps reste invariable tant qu'il est soustrait à rinlluence de toute autre matière pondérable. En eU'et, en vertu de la force (2^), la quantité de mouvement du système considéré, prise dans la direction Ojc, subirait par unité de temps Taccroissement

Plus tnrd, M. Max Vbraham a eu l'heureuse idée d'introduire le vecteur

et de l'appeler la quantité de mouvement électromagnétique du système. On peut alors dire que la somme de la quantité de mouvement, ]>rise dans le sens ordinaire de ces mots, et de la quantité de mouvement électromagnétique reste invariable.

Ajoutons que pour moi, tant qu'il s'agit de Tétlier, les tensions de Maxwell n'existent pas en réalité. En effet :

Extrait 9.

« Puisque nous avons une fois supposé que l'éther ne se mouvait pas, pourquoi devrions-nous parler d'une force s'exerçant sur ce milieu? Le plus simple serait de supposer que sur un élément de volume de l'éther, considéré comme un ensemble, il ne s'exerce ja-

iU 11.

uis une forrc, nu in^ine de laisser enùèrement de cût^ l'idér de

*cc lorstgu'il s'agit d'un lel élément qui ne change jamais ae place. 11 est vrai que celte manière de voir est conlinirc au principe dr l'action et de la rénclion (puisque nous avons admis que Têllipr exerce des forces sur la maliiVre pondérable); mais, à mon ati^. rien ne nous force à élever ce principe au rang d'une toi romlamcntalc inviolable.

rt Si nous nous décidons à adopter le point de v uo que nous \enons d'indiquer, nous devrons renoncer à considi'rer les iictions pnndi^romolriccs délenninées par la formule (V) comme provenant d'un s»sli'me de tensions qui existent dans l'éthcr. En efl'et, ces lensiuii.s seraient des forces agissant sur l'élher; nous n'en pourrons donc plus parler.

M Malgré cela noua jioiirrons employer l'équation (aG) pour simplifier les calculs et. pour abréger, nous pourrons nous exprimer comme si les fïlénients des deux premières intégrales représentuieal des tensions réelles dans i'étlier.

11 L'action réciproque de àeu\ corps cliargés et les elTeis électrod^namiques urdianïres pourront se déduire immédiatenienl de res tensions qui maintenant sont purement rictives. Il est également utile de les introduire quand les phénomènes sont périodiques et qu'où désire conuai'lre sciilemeni. la valeur moyenne des forces pondérnmotrices pendant une période entière; le dernier terme de (a6) ne contribue, en effet, eu rien à cette videur,

» On arrive facilement de celle façon à l'énoncé de Maxwell sur la pression produite par an mouvement lumineux. »

A. partir du deuxième Chapitre du Mémoire, j'ai supposé que les corps pondérables qui sont le siège des phénomènes éleclromagnéliqucs sont animés d'un inouvenient de translation à vitesse constante p, l'éther restant toujours en repos. Pourobtenir des équations propres à ce cas et qui pourront servir dans la discussion des problèmes de l'aberration (dans lesquels on entendra par p la vitesse de hi Terre dans son mouvement annuel), j'ai introduit, au lieu des axes de coordonnées immobiles, des axes qui prennent part à la transtalion p, et j'ai écrit tl pour la vitesse des électrons par rapport à ces axes, de sorte que leur vitesse par rapport à l'éther devient p-î-Ol'In inti'oduisant deux nouveaux vecteurs jÇ' et S, et en représentant |Mr ^ et J^ les changements que 11 et JQ subissent par unité de temps dans un point qui est lié d'une façon fixe aux nouveaux axes, j'ai

ëtabli les équations

(h) divU = p,

(Uô) divj5=o,

(Illft) rotJ9'= 47rpt>-i-4iti, (IVa) rôti =-4,

(V6) i = 47rVîl» + [p.«],

(VIa) j9'=^-4^fp.H.

(VIU) € = i-+-[t>.jÇ],

qui, du reste, sont entièrement équivalentes aux formules (!)-( V).

En me basant sur les équations (U)-(Vll3), j'ai examiné dans les parties suivantes du Mémoire l'influence qu'un mouvement de translation, celui de la Terre par exemple, pourrait avoir sur les phénomènes électriques et optiques.

Les résultats auxquels je suis parvenu, et dont plusieurs ont été obtenus également par d'autres physiciens, notamment par Wiechert et Larmor, se retrouvent dans un article par lequel j'ai récemment contribué à V Encyclopédie des Sciences malhénialiques (*). Je donnerai ici un court aperçu de ces résultats.

En ce qui concerne les phénomènes électromagnétiques proprement dits, j'ai trouvé que le mouvement de la Terre ne peut avoir une influence qui soit proportionnelle à ^* ni sur les actions électrostatiques, ni sur les forces électrodjnamiques, ni sur l'intensité des courants induits (-). Dans tous ces cas, il n'y a qu'une influence du se-

cond ordre de grandeur, c'est-à-dire de l'ordre ^; or, cette fraction

est tellement petite que les eflets qui en dépendent sont, en général, inaccessibles à l'observation. Du reste, ce n'est que pour les systèmes électrostatiques que j'ai calculé d'une manière rigoureuse, c'est-à-dire pour toute valeur de p, inférieure à la vitesse de la lumière, l'influence d'une translation. Le résultat peut s'énoncer sous la forme du théorème suivant :

Soient S| un système de corps chargés, ayant un mouvement de

(*) Dans cet article, j'ai simplifié les formules par l'introduction de nouvelles unités.

(^) Il y a une seule exception sur laquelle M. Liénard a appelé l'attention [La théorie de Lorenlz et celle de Larmor {Éclairage électrique^ t. XVI, 1898, § 7)]. Cependant, il s'agit ici d'un cITet trop faible pour i^tro observé.

456 H. -A. LOREXTZ.

translation dans la direction de l'axe des x. et S^ un système ininiobile, dont les dinoensions dans cette direction sont plus grandes que

celles de S, dans le rapport de y/V- — p- à V, et dont chaque élément a la même charge que l'élément correspondant de S|. Alors la force électrique C dans le système S| et la force électrique C' dans le système S2 sont liées entre elles par les relations

e.= ci, c,.= ^,-^€;, e, = ^/7I^€i.

Quant aux expériences sur les courants, il faut mentionner qu'un fîl conducteur, parcouru par un courant électrique, prend une certaine charge, positive dans une partie et négative dans l'autre partie, par le fait même de sa translation à travers l'éther. L'absence d'effets du premier ordre est due à cette charge que j'ai appelée charge dt' compensation.

Dès qu'il s'agit d'un état électromagnétique variable avec le temps, il con\ient d'introduire, au lieu du temps ^, une nouvelle variable indépendante

Cela donne lieu à une nouvelle transformation des formules. En même temps on peut éliminer un certain nombre des variables "bj, etc. C'rst ainsi qu'on trouve par exemple pour la détermination du vertciii' x)' les trois équations

Dans CCS fonuules on a négligé b^s Icrniesdc Tordre --• Les aocrnU

qu on a ajoutés aux signes «le dilléroiu iation servent à indi<pier qu»^ les \arial)l('s iiKh'pendanles sont .r, >'. z (les coordonnées parra]>|)Oit aux axes niohiles) et /'.

l'ATRVIT 10.

u ()n [XMil donner facilement une solution de ces équations, bnaginons trois fondions 6^, «iy, 'l- (|ui satisfont aux conditions

(il) V2 A' -:.,. ^^ =4-V^siir, ...;

<fLR LA TIIKORIE DES ÉLECTRONS. 4^7

nous aurons alors

» Ayanl ainsi trouvé J^'î nous tirerons de Féqiialion (HI^) la valeur

de 1> et aussi, en faisant abstraetion de constantes additives, celle de "b. La valeur de JQ résulte ensuite de (Vl^) et celles de S et CS de (V^^) et (VII^). On pourrait démontrer que de cette façon Tensenible des équations est satisfait^ mais nous ne le ferons pas pour ne pas trop nous étendre sur ce sujet.

» Quant à la valeur de ^j-, nous la donnerons au paragi'aphe suivant; ensuite, au paragraphe 33, on trouvera la solution complète des équations pour un cas particulier.

» Remarquons auparavant que l'on peut considérer /' comme le temps compté à partir d'un moment dépendant de la position du point considéré. On peut donc appeler celte variable le temps local de ce point par o])position au temps général t. L'équation (29) permet de passer d'un de ces temps à l'autre.

i) § 32. Le produit ptîj., dans la première des équations (3 1), est une fonction connue de x, j>', z et t' lorsqu'on connaît la distribution et le mouvement àv.% charges électriques. Posons donc

pu.,.=:/(.r, ^r, 3, /'); alors

(33) ^- = -/ ifi}^ '- î' ''- v) ^-

est une solution de (3i). On a à se représenter ici deux points; premièrement le ^o'inl fixe {x^ y y z) pour lequel nous voulons calculer ^^ et que nous appellerons P, et deuxièmement un point mobile Q qui doit parcourir tout res[)ace où pUj. est différent de Z(îro. La distance QP est représentée par /• et t' est le temps local de P au moment pour lequel nous voulons calculer 'i/j.; on a écrit 5, 7,, JJ pour les coordonnées de Q et ch pour un élément de l'espace indiqué. La

fonction y(S, v;, !J, /' — y j est la valeur de plïjr dans cet élément, au moment où le temps local y a la valeur /' — -rj-

Une molécule lumineuse unique.

» t^ 33. Supposons que des vibrations électriques soient pn par une seule molécule contenant des électrons oscillants. Soit point fixe arbitraire dans celle-ci (pour abréger nous diron*^ molécule se trouve en Qo) el choisissons pour P un endroil < distance de Qo soit beaucoup plus grande que les dimension molécule. Posons QpP = /'o*

» Nous allons maînlenant remplacer par r© toutes les disti enlranl dans la formule (33) et faire de plus abstraction de^ renées du temps local pour les différents points de la rooléci celle façon '}j. devient

toutes les valeurs de pU^: correspondant maintenant au mé-me à savoir au moment où le temps local de Qo est

» Puisque \Sx est le même pour tous les points d'un êlectr»»n, nière intégrale devient

vv\ ii])pelant c la char<;e d une telle particule. La >oninie r"«^'ten Unis lo éleclroiis de hi moléculr.

'• Si niaintenanl l on désigne par (\ le déplaceni»*nl d un r le^' partir de sa position d é(|uilll)re, on a

'Al r

Ceci a uut» sii;nili( ation bien simple. On peut appeler ni^m*:r,

trique de la inoléeule le vecteur ^^«l et le d/signer par Dl. aK»rs

/\. dl dl /

SLR LA THÉORIE DKS ÉLECTRONS. 4^9"

•'après ce qui a été dit, il faut prendre la valeur de cette dérivée au

loment où le temps local est en Qo égal à /' — ^- On peut évidem- 'lent écrire aussi

Mg étant la première composante du moment électrique à l'instant que nous venons d'indiquer.

» Après (|ue l'on a trouvé par cette équation et deux autres analogues ixî 'i/^ '}r pour le point (x, y, z) et pour le temps local de ce point /', la recherche des vihralions émises est très simple. Les équations (3'^) donnent

et (lllô) devient, puisque nous cherchons la valeur de ï en dehors de la molécule,

.\T.i = rotjÇ',

» En portant les deux derniers termes dans le premier membre, on

obtient, comme cela résulte de (V^), précisément y^ J'j., ou y- --r-f;

en effet, puisque ^ et J^' ne diflerent que par une grandeur d'ordre p, on peut remplacer par [p.j^'] le produit vecteur de ( V^). » On pourra ensuite, par intégration, tirer S' des formules

dans ce calcul, nous laisserons de coté les constantes d'intégration puisque nous voulons étudier des vibrations. >) En substituant les valeurs (34) et posant

on obtient

IHor, VXy ^t IHx se rapportant ici encore au moment déterminé plus haut.

-» Le vecteur ^«-tanl ainsi Irouvi^', la d^lerminatinn îles autres gtwk- ■S(|ni . rem dans les équations (Ij) l'i (VU*) ne prëscnU* aucune

niiiCulU:.

» § 33. Oii iiliticnl .le, f<.rmiiU^s (]m repiV-^enlcni une prfnnig»lii

vibratiims en prenant pour m,, nij-, m^dHiis les .-iiualions (34) cH3i)

es fonittons irigonométriques du temps. Si, par (!s«iitp!e,on»iipfM»

ie tHinps IochI /

I /' II' If m])* local propre ù la position de 1i r ftilui! à la distance r, el pour

» Si liuliiiuous voulons coi nous n'jivoiis qu'h laisser-'" '• iticnt alors s'accordent

. oKrilh.rio.>.

•ppii"

DirecliiiH de la i

l<frer une source di; lumii-re en repo».

Ions Isa accents. Les formules ((«'on

;i i-ssions par lesquelles Herti(')

à l'onde.

n % :î6. Nous allons maintenant considérer les oscillations à des distances de la moliienle lumineuse qui soient considérablement plu* grandes que la lonfçiicur d'onde. Remarquons ici que, dans les équation-ii îj) <t (.15), m,, lUj-, lllj sont des fonctions tri(;onoinétriquesde

nous éci'irons en l'Hel. désormais, /■ au lieu de i^.

.1 l.ii supposiiiou faite sur la lonj^ucur de cette ligne nous pcrmeUle ne consiiiérer dans toutes les dili'érenliations par rapport a x. y. ipie les variations des argument* de ces fonctions trigonomélriques, en regardant comme des constantes les faeteurs tels que -» cos(r, j"l, par Icsipiels sont multipliées ces fonctions.