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« H\ec une erreur possible de ± 0,02 », tandis que 1 ; a la valeur
o,438 pour la lumière D.
» D'après noire théorie s devrait être égal à
I I -.dit
H considérant n comme fonction de la longueur d'onde X dans
*-o qui donne pour la raie D de Fraunhofer
SUR LA THÉOmE DES ÉLECTRONS. 4?^
» La formule (.*)-{) s'écarle donc un peu plus des observations que l'égalité plus simple
(55) W'=irhp(i--LV
mais ces observations n'ont pas pu être faites d'une façon si exacte que Ton puisse attacher quelque importance à ce détail.
» Si l'on arrivait CTpérimentalement à déterminer quelle est des expressions (54) et (55) celle qui est exacte (ce qui semble difficile, mais pourtant pas impossible), et si la première devait être adoptée, on pourrait dire qu'on avait observé, pour une vitesse créée artificiellement, la variation de la durée de vibration exigée par le principe de Doppler. Enefiet, ce n'est qu'en ayant égard à celte variation que nous avons déduit l'expression (54).
» § 73. Il est à peine besoin de rappeler le rôle important que joue la formule {i^) dans la théorie de l'aberration et des phénomènes qui s'y rattachent. Fresnel basa sur la valeur i — vt ^" coefficient d'entraînement son explication de l'expérience d'Arago sur la déviation par un prisme. D'autres physiciens ont depuis repris celte théorie de Fresnel; ils en ont déduit que, dans la plupart des expériences avec des sources de lumière terrestres, le mouvement de la Terre est sans influence et que des expériences faites avec la lumière d'un astre doivent donner le même résultat que si la direction modifiée par l'aberration était la direction véritable de la lumière. A l'exemple de Vellmann ('), j'ai mis en évidence, dans mon Mémoire de l'année 1887 (^), la grande simplification qu'on apporte aux considérations théoriques, en envisageant non plus la direction des ondes, mais le trajet des rayons lumineux. Je m'étais borné à ce moment aux corps isotropes, car j'ignorais encore de quelle manière la loi de Fresnel pouvait être étendue aux corps cristallisés. Maintenant qu'il est démontré que les \itesses de propagation des rayons lumineux dans ces corps obéissent à la loi simple exprimée par la formule (5i), il est facile de démontrer que la double réfraction des rayons lumineux est, elle aussi, indépendante du mouvement de la Terre {^).
(*) Veltmann, Pogg. Ann., t. CL, 1873, p. 497- (') I^RENTZ, Arc/i. néerl., t. XXI.
(^) M. Lorentz a public une démonstration dv celte proposition tirée de la formule (5i) {Amsterdam Zittingsi^erst^ Akad. r. Wet., t. I, 189H, p. i^f)).
. 4m» cekM. #■■« fuyumîuoo stmplo dciluilr in
pc je sv fKMwl4 4r citer ici bri^vemem :
■ Smiam» A «* B ^kvr ^«Mtt ^metemmtpirs Mt/inh par exfmpir
de fmt «t ^m^rr A !■ mm^arr 4e wéparation <tt deux milùuj.
£m f^mér^f. M me p^tm ^Êtr dt fmM ù i'autit^ t/u'nn iiombif
iimiâf 4k ^iw— I hammtmcr. Si fv* /vrmr rintégrate
^i*r «■ ^ ofs /Tjy^— y- a «Bsu ^ocr 4'aitirea chemins peu diffrremà» mO^Mt ^ % « K, I. rtfrâeUmit Lt vU^sf pour »n mrtm Immumem^ fmirami Crle'mt»! 4e U^me dt. l'intégrale a une itiUur mtmimmm pome te rmjmm tmmtîmeMr.
B le se M'éltaJra» rty iIbbI pa> tiiiaaUge ni sur ces consi'l'Vj- Ûamt mi wir é'mvUvy appfcrMJoa^ df* fonnules ({())et(5i), csr. pour C3i. iHMti «!■«« 4^ irail^ d'uue muiiiaVre plus siiniilr ia 4c l"iiifc L 11. da saa««nnti ilr U Tvirr. »
PHÉNOMÈNES ÉLECTROMAGNÉTIQUES
DAVS l\ SYSTÈIIE QUI SE MIT AVEC IJKE VITESSE QVELCOi\QLE
inferieure a celle de la lumière,
Par H.-A. LOHENTZ.
Traduit de l'anglais par Paul LANGEVIN.
Amsterdam Proceedings, igo3-i()o'|, p. 809.
1. L'influence exercée sur les phénomènes électriques et optiques par une translation, telle que celle résultant du mouvement annuel (le la Terre, peut être prévue par la théorie électromagnétique de manière relativement simple tant qu'on fait intervenir uniquement les termes du premier ordre en fonction du rapport de la vitesse de translation w à la vitesse de la lumière c. Les cas dans lesquels les
quantités du second ordre — deviennent perceptibles présentent plus
de difficultés. Le premier exemple de ce genre est fourni par l'expérience interférentielle bien connue de Michelson, dont le résultat négatif a conduit Fitzgerald et moi-même à cette conclusion que les dimensions de tous les corps sont légèrement modifiées par leur mouvement à travers l'éther.
De nouvelles expériences relatives à des elfets du second ordre ont été récemment tentées. Rajleigh (*) et Brace (^) ont cherché si le mouvement de la Terre peut rendre les corps biréfringents : conséquence qui, au moins à première vue, pourrait résulter du changement de dimensions dont je viens de parler. Tous deux sont arrivés cependant à un résultat négatif.
En second lieu, Trouton et Noble (^) ont cherché à mettre en évidence un couple exercé par suite de la translation sur un condensa-
('•) Rayleigh, PhiL Mag., 6" série, t. IV, 1902, p. 678.
(*) Brace, PhiL Mag., 6« série, t. VIT, 1904, p. 317.
(*) Trouton el Noble, PhiL Trans,, A., i. CCII, igoS, p. i65.
utrvT pian t'kw» 4cm k» ffalrr sont inclinés par rapport h bm- «•»«f«:bi. La titriMK- 4» ckctroK. à moins qu'elle ne soil modiiée pir ^vcifM' wMvcffle h^pnikèsc. nëcessile l'existence d'un scaïUiUe €4^flt. 11 ^mSÈt pbvr «*ca readre compte de considérer on condfasiiii«^ YtiiÊtT fomr diclectriqne.
On p#^t moatrerqwe. daa» tout sjstèuie électrostatique en mcNneil a%ec une litcsè^ V < * >. il t a une certaine quaniUé de aïoalemeni éleciroma^mêiéqme^ Si nous la représentons par V, le couple C'Ii^Ttfac e«i représenté par le produit Tectoriel (^)
Si Taxe de» 2 est choisi perpendiculaire aux plateaux du condensateur, la «itesse W avant une direction quelconque, et si L représente l'énergie du condensateur calculée à la manière ordinaire, les compo- !»anle» de C sont données \^) par les formules suivantes exactes a« premier ordre
En substituant ces valeurs dans (i), nous obtenons pour les cooi- (Kisantes du couple, au second ordre d'approximation :
(^es expressions montrenl que Taxe du couple est dans le plan de> plateaux, perpendiculairement à la Lranslalion. Si a est Tanj^le entre la \ilesse et la normale aux plateaux, le moment du couple est
il tend à orienter le condensateur de manière que ses plateaux deviennent parallèles au mouvement.
Dans l'appareil de Trouton et Noble, le condensateur était fixe au le\i(»r d'une balance de torsion suffisamment sensible pour être déviée
(•) Un vecteur est représenté par une lettre gotliique, sa grandeur par la lettre latine correspondante.
(-) r/. mon article, Weiterbildung der Afaxwett'schen Théorie, Electronenthvnrie duiis VKnryclopédie des Sciences mathématiques, l. V, p. i4, § 21, a (article rilô ici piir M. E.).
PHÉNOMÈNES ÊLECTROMAGNÉTlQt'ES DANS UN SYSTÈME. 479
par un couple de Tordre de grandeur précédent. Aucun effet n'a cependant été observé.
2. Les expériences dont je viens de parler ne sont pas seules à nécessiter un nouvel examen des problèmes reliés au mouvement de la Terre. Poinoaré ( * ) a objecté à la théorie actuelle des phénomènes électriques et optiques, dans les corps en mouvement, qu'une hypothèse nouvelle a été nécessaire pour expliquer le résultat négatif de Michelson, et qu'il en sera de même chaque fois que l'expérience apportera des faits nouveaux. Il y a certainement quelque chose d'artificiel dans cette manière de procéder, et il serait plus satisfaisant de montrer, grâce à certaines hypothèses fondamentales, et sans négliger de termes d'aucun ordre, que beaucoup d'actions électromagnétiques sont complètement indépendantes d'un mouvement du système. J'ai essayé ('^), il y a quelques années, d'édifier une semblable théorie, mais je crois pouvoir aujourd'hui revenir sur ce sujet avec un meilleur succès. La seule restriction relative à la vitesse est qu'elle soit inférieure à celle de la lumière.
3. Je prendrai pour point de départ les équations fondamentales de
la théorie des électrons ('). Soient î> le déplacement diélectrique dans
Téther, ïf la force magnétique, p la densité en volume de la charge
d'un électron, V la vitesse en un point d'une telle particule, et f la
force électrique, c'est-à-dire la force exercée par l'élher sur l'unité
de charge d'un électron. On a, par rapport à un système fixe de
coordonnées :
div ï = p, div ^> = o,
T0i\9 = -(ï -i-pu),
^ ^ ' roi ï = ^>,
Je vais supposer maintenant que l'ensemble du système se meut dans la direction de l'axe des x avec la vitesse constante (V et je représenterai par U la vitesse qu'un point d'un électron peut avoir en plus
(*) PoixcARÉ, Jiapports du Congrès de Physique de 1900. Paris, t. I, p. 22. (') LoRKNTZ, Amsterdam Proceedings, 1898-1899, p. 427. (^) M. £•., §2.
>î I*-- •*^jij^li'»n§ > ?".»nl rapp"rlre> d de> axe> mobiles avec la
— -I ti — |>, IB,.
oz or c *yt ujt - c *
oj- OY C \ol ojr ' ' c*
OY oz C Ot OJT '
fJ^r </>; ^ I ^ ^ \
OZ OX C . Ot OJT / • '
OJ- oz c ^ fft OX
i. Nous niions <*ontiniier la Iransformalioii au iiioven (11111 cliai ;^ciii<'nl (le \iinn\)\i'<. Po^aiil
< ; » ^^ rr^ .
i'[ (Ir-si^naiil par / un aulrc nonihre à drlerniiner j)lus loin, j(* pnin coninu! nouN elles \arial)les ind<'p('n(lanles
(i) .r' =//./■, y-0', z'^-lz,
( n / - l - kl - X,
el je <l«'linis deux n()u\<*aux vecteurs ^' el 1)^ par les formules
PHKKOllèNES KLECTROMAGNÉTIQDES DANS VN STSTÉME. 48 1
pour lesquelles, en tenant compte de (3), on peut aussi écrire'
Le coefficient / doit être considéré comme une fonction de «v dont
if
la valeur est i pour ^v= o et qui, pour de petites valeurs de — > ne
diflere de l'unité que par une quantité du second ordre.
La variable /' peut être appelée le temps local; en fait, pour k = i et /== 1, elle se confond avec la quantité que j'ai autrefois désignée par ce nom.
Si nous posons enfin
(8) X:»u.c=Ux, kuy=Uy, Xtt-=îul,
ces dernières quantités étant considérées comme les composantes d'un nouveau vecteur u', les équations prennent la forme suivante :
dip't' = (i- ^) p'. div'ïi'= o,
c Ot 1 w
0= /'>i+ i* -(u;i»'.-u;i);.)+ /» "i(u;.>;.-i-ui>',),
La signification des symboles roi' et rfâ'' dans (9) est analogue à celle de rfû' et rot dans (2); seulement les différentiations par rapport à xyz doivent être remplacées parles diiïerentiations correspondantes par rapport à x'y' z\
o. Les équations (y) conduisent à cette conclusion que les vecteurs V et I)' peuvent être représentées au moyen d'un potentiel scalaire o' et d'un potentiel vecteur û'. Ces potentiels satisfont aux équa-
-r — ir
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I I 1/ / s I I I II) il// s ' • I Hl
PIIKNOMÈNKS ÉLECTROMAGNÉTIQUES DANS UN SYSTÈME. 4^^
même. On doit se souvenir que / ne représente pas la dislance de rélément riS au point P pour lequel le calcul est fait. Au contraire, si réléuîcnt se trouve au point (X|,yi, -G|), il faut prendre
11 faut aussi remarquer que, si nous voulons déterminer '^' et il' à l'instant pour ic([uel le temps local en V est /', nous devons prendre
pour p et pli' les \aleurs de ces quantités <lans l'élément rfS à l'instant
»• ])our le(juel le temps local dans cet élément est /'
(î. 11 suffira, pour le but que nous nous proposons, de considérer deux cas particuliers. Le premier est celui d'un système électrostatique, c'est-à-dire d'un système n'ayant pas d'autre mouxemenl que la translation «*. Dans ce cas, ll'= o et, par suite, d'après (12), û'=: o. De plus, '^' est indépendant de /', de sorte que les équations (1 1), ( 1 3 ) et ( i.i) se réduisent à
Après avoir déterminé le vecteur V au moyen de ces équations, nous pouvons calculer la force électrique agissant sur les électrons du système. La formule (10) devient, puisque U'=o,
< '^.o ) f , = /«i»^, fv = -^ u;. h=j ^^.
(le, résultat peut être énoncé sous une forme simple si nous comparons le système 2 que nous considérons avec un autre système éleclrostati(|ue il' supposé immobile et dans lequel ï se transforme si nous multiplions les dimensions parallèles à Taxe des x par A7 et par / les <limensions parallèles aux autres axes; le symbole (A7, /, /) représentera cette déformation. Dans le système -', (jue nous pouvons supposer placé dans l'espace S' (§ 5), nous donnerons à la densité électrique la valeur p' déterminée par (-), de sorte que les charges des éléments de volume correspondants et des électrons correspondants sont les mêmes dans i) et dans 2'.
Nous obtiendrons alors, d'après (y.oi, les forces agissant sur les électrons du système mobile S si nous déterminons d'abord les forces correspondantes dans 5' et si nous multiplions leurs composantes dans la direction de l'axe des x par /'- et les composantes perpendicu-
• Ceci
[tcul Pire rcpr^senlé par le symbole
On peulcncurc remarquer que, iiprèsa*oîrdéleruiîiiéVd'a[irês(i9), nous pouvons facilement calruler lu quantité ih* ntomeineDt éleclruinagnélique du syslèine mobile, ou pluliH sa eoinposMnIe dans Ih itircclion du mouvemeni, car la furmiile
e = ; /*|Ml-*s
M.onlreque
don., d>vs{(;), puisque l)'=o.
7. Notre second cas particulier est celui d'une parlîciilc ajniiil (lu moment électrique, c'est-à-dire d'un petit espace S avee une charge (nlale nulle / p c/S ^ o, mais avec une distribution de densiti^^ telle qi:e les inté^ales /pj-c/S, j^rdS, fpzdS ont des valeurs diiFércntes de zém.
Soient ^ii^*!! '■ 1^* coot^ioïknées prises par rapport à un point fi\r ,\ de la parliriile ('le centre de la piirtiride') el d<5(îni*s<iiii le moment électrique comme le vecteur p ayant pour composanteii
Alors
Na Lu Tellement, si x,, j,, z, sonl considérés comme inliniment petits, il doit en être de même de Itj-, Uj-, Uj. Nous néjjligerons les carrés et les produits de ces six quantités.
Nous allons maintenant appliquer l'équation (■-) à la détermination du potentiel scalaire «'pour un point extérieur P^j-, v. :K à distance finie de la particule polarisée, et à l'instant pour lequel le temps local de ce point P a une valeur déterminée t. Pour reci, nous allons donner au symbole [p] qui dans (r^) correspond à l'inslant où
Vr =Jfy'' ''S-
-dT-j^
Ui/S,
= f?s,dS.
le temps local dans dS est /' -> une signification légcTeinent difTé-
renle. Désignant par r^ la valeur de /•' pour le centre A, nous entendrons par [p]la densilé existant dans l'élément rfS au point Xij Vi^ 5|
r' d l'instant Iq pour lequel le Icmps local en A est /' -» Il résulte
de (5 ) que cet instant précède celui auquel doit correspondre le numérateur de (17) de la quantité
AI iv k ri — r' A» w k \ / dr' di' dr' \
/ c c* l c\ dx "^ dy ^ ôz J
Dans cette expression nous pouvons donner aux dérivées leurs valeurs au point A.
Dans (1-) nous devons maintenant remplacer [p] par
où .^ est de nouveau relatif au temps Iq, Si la valeur de /' pour
laquelle le calcul sera fait a été choisie, ce temps /„ est une fonction des coordonnées x, j ^ z du point extérieur P. La valeur de [p ] dépend donc de ces coordonnées de telle manière que
Ox L c Ox \ Ot y
ce qui permet de remplacer (^5) par
'' ' c* \.0t \ \ ôx '^ Oy ôz J
De plus, si nous désignons maintenant par /•' la quantité désignée précédemment par r'^^ le fadeur -^ doit être remplacé par
T^—^'Tx (7) "•>'» iy (?) - '-' Tz (?)'
de sorte qu'au total, dans l'intégrale (17), Télément dS est multiplié par
liJ ^ x-î ^ ^ [î^l i- ^'l'^l ^ rtlpj __ ± z,\z\
r' r* /•' \0t \ Ox /•' ôy /•' Oz r'
Ceci est plus simple que la forme primitive parce que ni /•', ni le temps pour lequel les quantités entre crochets doivent être prises, ne
ndt-nl :
: J'i,.r,, 3,. Kn Nlili^aul (il) et en remarquant que
1 \ieiit
mule dans laquelle Iniilps te.s qiiimtités eiiti-i> rrocliels iliitvetil (^Irc
les à i'iiisLinl pour IcqiiL-l le k'inps local iiii centre de la particule
Nous terminerons ces calculs par linlroiluclii.n dim nmi\.Mu icc-
p' dont les comiiosaiilps sont
) p'^ = ^Vp,r. P.;=/P., P': = /P:.
mt>in(: temps nous prendrons x',,j-'. s', (' pour variables iiiclrpciintes. Le résultat fmnl est
Pour la formule (i8) du potentiel vectenr, sa Iransformijlinn r^sl
oins coinpliquf^e parée qu'elle coiitienl le \petpur inimimeni îlilU'. D'fiprf'S (8), (24), (a6) el(5), il vii'iii
4«e/-' df
Le eliainp produit par la partieule polarisée est maintenant coiupti'*tcnienl .léleiininé. La formule (i.î) donne
Le vcrteur I)' est donné par {i4)- Nous pouvons de plus ntiliser les ëqualicm-i y>.<\) au lieu des équations (lo) pour trouver les force? exercées pur une particule polarisée snr une aulre placée à quelque distance, piij.'>qiie pour celte seconde particule, comme pour la première, les vitesses U peuvent ^tre considérées comme infinimeni petites.
H est utile de remarquer que les formules, pour un système sans translation d'ensemble, sont contenues dans les précédentes. Pour un tel système 11 suffit de supprimer les accents et de faire /- = / 1= 1 .
Le
force électrique exercée par une particule polarisée sur une autre.
tnposantes de (27) deviennent (
11 ps celles de ta
8. Nous avons jusqu'ici utilisé seulement les équations fondamentales sans aucune hypothèse nouvelle. Je vais supposer maintenant que les électrons considérés au repos comme des sphères de rayon R ont leurs dimensions modifiées par suite de la translation, les dimensions devenant kl fois plus petites dans la direction du mouvement^ et l fois dans la direction perpendiculaire.
Dans celte déformation, qu'on peut représenter P^^* ( 77» y 7 )»
chaque élément de volume est supposé conserver sa charge.
Cette hypothèse revient à admettre que dans un système électrostatique S se mouvant avec la vitesse iv, tous les électrons sont des ellipsoïdes aplatis avec leur petit axe dans la direction du mouvement. Si maintenant, pour appliquer le théorème du paragraphe 6, nous soumettons le système à la déformation (A7, /, /) nous retrouvons des électrons sphériques de rayon R.
Si donc nous changeons la position relative des centres des électrons dans S en appliquant la déformation (A*/, /, /) et si, aux points ainsi obtenus, noUs plaçons les centres d'électrons supposés en repos, nous obtiendrons un système identique au système imaginaire S' dont j'ai parlé au paragraphe G. Les forces dans ce système et dans Sauront entre elles la relation exprimée par (21).
Je supposerai en second lieu que les forces en tj^e particules non élect risées, ou entre ces particules et les électrons, sont modifiées par la translation de la même manière que les forces électrique^ dans un système électrostatique. En d'autres termes, quelle que soit la nature des particules composant un système pondérable, tant qu'elles ne se déplacent pas les unes par rapport aux autres, nous aurons entre les forces, exercées dans le système (S') immobile, et le système correspondant (]£) en mouvement de translation, la relation indiquée par (21), si, en ce qui regarde la position relative des particules, (2') se déduit de (S) par la déformation (Ar/, /, /) ou (S) de (S')
par la déformation (77» j» 7 )•
Nous déduisons de là que, si la force résultante est o pour une particule dans (S'), il doit en être de même pour la particule correspondante dans (S). Par suite, si nous négligeons les eflets du mouvement moléculaire, en supposant chaque particule d'un corps solide en équilibre sous l'action des attractions et des répulsions exercées par ses voisines, et si nous admettons qu'il n'y a qu'une seule configuration d'équilibre, nous pouvons conclure que le système 2', si la vitesse iv lui est communiquée, prendra de lui-même la coniiguralion S. En
il'aiitrc« lerinfS, la ma*\»iioa pUMtmîra Im dt^ormalioii i fî' T'Tf IjB cas du mouvcmenl molccuUirv s«« «tn^idèré au para^rraphc B. On voit facilemeat que llirpoiJif-ï^ aauvftiîs t-'iuise à prop«» A rexpérîence de MichtlMia <*«( impliqnrr tUns ce qni vient d'être A. Cependant Ph^polhèse actnelle «^ pla^ çcuvnJe parce que U «4 restriction imposée au mouvement «st que sa vitesse suit liiti relie de la li
9, NoiiH poiMons maintenitTil ralculer la «juaalit^ de muuveaot (^lertroinagD^ tique J'uu iflectron iioîque. Cour simplilîcr je ytisxmf' pO!<er lii charge e uuifiiriiiément r^j>art)e sur U surface tant que l'âeetron est en repos. Une réporlilitm de relie nature existera dans k système ï' auquel se rapporte la dernière iolégrale de (aa). D'où
A.V^.i.,rfs-î/v.^ = ri r
Il fiiut reniHrqiirr que le produit Al est une ronriitm de tt- et que. par raison de symétrie, le vecteur 49 a la direciioii de la traDt^latioB- Ou aura, en ^t^in^riil, eu désïgnaul par ID la ^ile^e de trau<^lalifin.
ehnngruicnt dans le mouvement de l'éleolron produit un channl dans sa quantité de inouveinen! électromagnétique et nécessite erlaiue forée donnée en grandeur et direction |»ar
dt
Kn tonte rij;iieiir, la formule (28) ne peut être appliquée que dan* le liis d'une translation uniforme; par suite de cette circonstance, bien que ^a^|^ suit toujours exacte, la théorie des mouvements à «arialion très rapide est très compliquée, d'autant plus que l'hvpolhêse du parafîraplie 8 inq>lique que la direction et la grandeur de la défonnation subie par IVIectron ebangent eoutinuellement. Il est luème |>eu probable que la forme de l'électron sera déterminée uniquement par s» vitesse aetuelle.
Néanmoins, si le changement de vitesse est sunisanimenl lent. ao«>
PIIKXOMKNKS KLKCTROMAGNÉTIQUES DANS UN SYSTKUE. 4^9
aurons une approicimation suffisante en em[)loyant la relation (28) à tout instant. L'application de Téqualion (29) à un semblable mouvement qtiasl-stationnairCy comme Ta appelé M. Max Abraham (* ), esl très facile. Soit ù un instant donné ji Taccélération dans la direction du mouvement et ja l'accélération normale. La force S se décompose en deux ayant les directions de ces accélérations et l'on a :
avec
Dans les phénomènes où l'accélération est parallèle à la vitesse Télec- Iron se comporte comme ayant une masse /?i, et dans ceux où l'accélération est normale, comme ayant une masse mj. Ces quantités nit et nii peuvent être appelées les masses électromagnétiques longitndinale et transversale de l'électron. Je supposerai qv!il n^y a pas de masses d^ autre nature.
Puisque k et / diffèrent de l'unité par des cpiantilés de Tordre —>
nous avons pour de faibles vitesses :
Cette masse est celle (pii intervient s'il y a de petits mouvements >ihratoiresdes électrons dans unsvstème sans translation d'ensemble. Dans le cas contraire, si des mouveuients de ce genre se produisent dans un corps se mouvant avec la vit<;sse \v dans la direction de l'axe des j:, nous devrons employer la masse ni^ pour les vibrations parallèles à Ox et la masse /W2 pour les vibrations parallèles à Oy ou Oz, En d'autres termes, si le symbole S est relatif à un système mobile, et 2' à un système fixe :
10. Nous pouvons maintenant examiner rinlluence du mouvement de la Terre sur les phénomènes optiques dans un système de corps transparents. En discuUint ce problème, nous fixerons notre attention sur les moments électriques variables des particules ou atomes du système. Nous pouvons appliquer à ces moments ce qui a été dit au
(') M. Abraham, Ann. der Pliys., t. X, igoS, p. io5.
paragraphe 7. Nous supposerons, pour simplifier, que daas chaque atome la charge est concentrée dans des électrons séparés et que les forces élastiques agissant sur l'un dr ren\-ci et déterminant son mouvement en même temps que les forces électriques, ont leur origine à l'intérieur de ce même atome.
Je vais montrer que, si nous partons d'un état de mouvement dans le svstùnie sans translati(m, nous en pouvons déduire un état correspondant dans le svstème après qu'une translation lui a été communiquée, la correspondance s'établissant de la manière suivante :
a. Soient A',, A.., A,, ... les rentres des particules dans le svstème sans translation S'; négligeant les mouvements moléculaires, nous considérons ces points comme en repos.
Le svstème des points A|, A^, A,, ... pour les centres des particules dans le système en mou\ement s'obtient à partir des points A,,
Aj, A'.,, . . . par la déformation ( -r^» y > , )• Conformément à ce qui a
été dit au paragraphe 8 les centres prendront d'eux-mêmes ces positions Aj, Aa, A3, ..., si primitivement, avant la translation, ils avaient les positions A'^, A!,, A,, ....
Nous j)Ouvons considérer un point P' dans Tespace du système -' comme déplacé par la déformation précédente qui l'amène au poinJ correspondant P de il. Pour deux points correspondants P' et P, nous définirons des instants correspondants, le premier pour P\ l'autre pour P en convenant que le temps vrai pour P' est égal au temps local dr'terininé par (5) pour P. Par temps correspondants pour deux parliciiles correspondantes, nous entendrons les temps correspondanls pour les C(*nlrcs A el A' de ces particules.
/y. Pour l'élal intérieur des atomes, nous admettrons que la configuration de la particule A dans S à un certain insl^int peut se déduire
au moyen de la Iraiisforniation ( Ty» /' /) ^^^ ^** configuration de la
particule! ('orres[)(»ndante dans S' à l'instant correspondant. En tant que celle livpothèsc s'ap[)lique aux électrons eux-mêmes, elle est iniplicpiée dans la première hypothèse du paragraphe 8.
Si nous [iartons d'un état existant réellement dans le système S', nous avons ainsi complèlcinont défini un état du système S. Il reste à savoir si ce dernier éiat est possible.
Pour nous en rendre compte, nous devons remarquer d'abord que les nioineiils électri([ues existant dans le système mobile et que noii> représenterons par p seront des fonctions déterminées des coordonnées .t*, j', z des centres des particules, ou, comme nous dirons, de>
coordonnées des particules, et du temps /.Les équations qui expriment les relations entre p d'un coté et x^ y, 5, / de l'autre, peuvent être remplacées par d'autres équations contenant les vecteurs p' délînis par (26) et les quantités .r, r\ c', /' définies par (4) et (5). D'ailleurs, par les hypothèses a et />, si dans une particule A du système mobile «iont les coordonnées sont x, \\ z, nous trouvons un moment électrique p à l'instant /, ou au temps local t\ \o vecteur p' donné par (26) sera le moment existant dans l'autre système au temps vrai l' dans une particuh» dont les coordonnées sont x\ y\ z' , Il en résulte que les relations entre p', x\ y\ z\ l' sont les mêmes pour les deux systèmes, la dillérence consistant seuhîment en ceci, que pour le système immobile 2' ces symboles représentent le moment électrique, les coordonnées et le temps \rai, tandis que leur si<;nirication est dillérente pour le s\stème mobile, p', x' ^ j) ', z\ t' étant ici reliés au moment p, aux coordonnées :r, y^ z et au tenq)s t |)ar les égalités (26), (4)el(5).
On a déjà au que Téquation (v-7) s'applique aux deux systèmes. Le vecteur V sera donc le même dans S et S' pour\ u que nous comparions toujours des points et des temps correspondants. Cependant ce vecteur n'a pas la même signification dans les deux cas. Dans 1" il représente la force électrique, dans S il est relié à cette force par les formules (20). Nous en pouvons conclure que les forces électromagnétiques agissant dans S et )l! à des instants correspondants sur des particules correspondantes, sont reliées par (21). En vertu de riiypothèsf; 6, jointe à la seconde hypothèse du paragraphe 8, la même relation existe entre les forces élastiques et, par suite, la formule (21) peut être considérée comme donnant la relation entre les forces totales agissant à des instants correspondants sur des électrons correspondants.
Il est clair que Tétat supposé dans le syslèuie mobile sera réellement possible si, dans S et dans S', les produits de la masse m et de l'accélération d\in électron sont entre eux dans le même rapport que les forces, c'est-à-dire si
Nous avons d'ailleurs pour les accélérations
ainsi qu'on peut le déduire de (4) et (5). Combinant ceci avec (32),
19^ H. -A. LORBNTZ.
nous trouvons pour les niasses
Par comparaison avec (3i) il résulte que cette condition est toujours remplie si nous considérons des vibrations perpendiculaires à la direction du mouvement. La seule condition que nous devons imposer à / est donc
Mais il résulte de (3)
aw
de sorte que nous devons poser
di ,
--— = o, / = const.
aw
I^a valeur de cette constante doit être l'unité, car nous savons déjà que /=! pour iv =o.
Nous sommes donc conduits à admettre que rin/luence dUine translation sur les dimensions {des électrons eux-mêmes comme de l* ensemble dUin corps pondérable) est réduite à celles qui ont la direction du mouvement, et qui deviennent k /ois p/us petites qu'au repos.
Si nous ajoutons cette hypothèse à celles déjà faites, nous pouvons être certains que deux états, Tun da système en mouvement, Tautre du même système au re[)os, et se correspondant de la manière indiquée, sont simultanément possibles. De plus, cette correspondance n'est pas limitée aux moments électricpies des particules. En des points correspondants situés dans Téther, soit entre les particules, soit à l'extérieur des corps pondérables, nous trouvons à des instants correspondants le même vecteur b' et, comme on le voit farilemcnt, le même vecteur I)'. Nous pouvons conclure en disant : si, dans le système sans translation d'ensemble, il existe un état de mouvement pour l<»quel, en un certain point, les composantes de p, î» et 1) sont des fonctions déterminées du temps, le même système après sa mise en mouvcnienl (rensenil)le (et, pur suite, après déformation) peut être le siège d\in état de mou\ement dans lecpiel, au point correspondant, l(»s composantes de p', V, I)' sont les mêmes fonctions du temps local.
lui point demande à être examiné de plus près. Les valeurs des
PIlÉNOaiÈNES ÉLECTROMAGNKTIQUES DANS UN SYSTÈME. 49^
masses /?i| el m^ onl vie drcliiitcs de Ja théorie du mouvemenl qiiasistatîonnaire, et la question se pose de savoir si nous avons le droit de les employer dans le cas des vibrations lumineuses rapides. Or, il est facile de se convaincre que le mouvement d'un électron peut être considéré comme quasi-stationnaire si sa vitesse change peu pendant le temps que met la lumière à parcourir une distance égale à son diamètre.
Cette condition est remplie pour les phénomènes optiques où la longueur d'onde est extrêmement grande par rapport au diamètre d'un électron.
H. On voit facilement que la théorie précédente peut rendre compte d'un grand nombre de faits.
Prenons d'abord le cas d'un système sans translation, dans certaines parties duquel nous avons constamment p = o, î> = o, l) = o. Dans l'état correspondant du système en mouvement, nous aurons dans les parties correspondantes (ou, comme nous pouvons le dire, dans les mêmes parties du système déformé) p'= o, V = o, !)'= o. Ces équations impliquant p = o, î> = o, I) = o comme cela résulte de (a6) et (6), il en résulte que les régions obscures dans le système en repos resteront obscures après la mise en mouvement, fl sera donc impossible de constater une influence du mouvement de la Terre dans les expériences d'optique faites avec une source terrestre de lumière et où l'on étudie la distribution de lumière et d'obscurité. Beaucoup d'expériences d'interférence ou de dillVaclion appartiennent à cette catégorie.
En second lieu, si, en deux points d'un syslènu» des rayons de lumière dans le même état de polarisation se propagent dans la même direction, on peut montrer que le rapport des intensités n'est pas modifié par la translation. Cette dernière remarque s'applique aux cas où l'on compare les intensités luuiineuses de portions adjacentes du champ de vision.
Les conclusions précédentes confirment celles que j'avais déduites de raisonnements analogues, mais où les termes du second ordre étaient négligés. Elles fournissent en outre une explication du résultai négatif de Michelson, plus générale que celle que j'ai autrefois proposée, et elles montrent pourquoi Rayleigh et Brace n'ont pu constater aucune trace de double réfraction produite par le mouvement de la Terre.
Quant aux expériences de Trouton et Noble, leur résultat négatif
49 i II. -A. LOilENTZ.
se coin|)ren(l immédiatement si nous admettons les hypothèses du paragraphe 8. On peut en «léduire, en y joignant Li dernière supposition du paragraphe 10, que le seul eflfet de la translation doit être une conlrarlion de tout le système d'électrons et d'autres particules constituant le condensateur chargé, le fil de suspension el le levier de la balance de torsion. Une telle contraction ne donne lieu à aucun changement de direction sensible.
11 est à peine nécessaire d'ajouter que la théorie précédente esl proj)osée sous toutes réserves. Bien qu'elle me paraisse en mesure de représenter tous les faits connus, elle conduit à certaines conséquences qui ne peuvent pas, dans l'état actuel des choses, être soumises au contrôle de l'expérience; l'une de celles-ci étant que le résultat de Tcxpérience de Michelson doit rester négatif si les rayons lumineux intcrférents se propagent à travers un milieu pondérable transparent.
Considérée par elle-même, notre hypothèse relative à la contraction •des électrons ne peut être ni considérée comme plausible, ni rejetée comme inadmissible. Nous savons fort peu de chose sur la nature des •électrons et notre seul moyen d'inform-ition est de contrôler les consé- (|uences d'hypothèses semblables à celle (|ue j'ai faite. Il est certain que des difficultés se présenteront, par exemple si nous voulons considérer la rotation des électrons. Pout-être aurons-nous à supposer que, si dans le système sans translation des électrons sphériques tournent autour d'un diamètre, les points correspondants dans le système en mouvement décriront des orbites elliptiques déduites des trajectoires -circulaires de la manière indiquée au paragraphe 10.
12. Il nous reste à dire quelques mots du mouvement moléculaire. jNous pouvons imaginer que les corps dans lesquels il joue un rôle important ou prédominant, subissent la même déformation que les systèmes de p^irlicules en équiiil)re relatif dont nous avons seulement parlé jusqu'ici. En ellel, dans deux systèmes de molécules S et S', le j)remier en mouvement et Tau Ire en repos crensemble, nous pouvons imaginer des mouvements moléculaires qui se correspondent de telle manière que, si une particule de S' a une certaine position à un mojncnt donné, une particule dans X occupe la position correspondante à l'instant correspondant. Ceci étant admis, nous pouvons employer la relation (33) entre les accélérations dans tous les cas où la vitesse du mouvement moléculaire esl très faible par rapporta iv. Dans ces jcas les forces moléculaires peuvent être supposées déterminées parles
PHÉNOMÈNKS KLECTROMAGNKTIQUKS DANS UN SYSTEME. 49^
positions relatives, indépendamment des vitesses du mouvement moléculaire. Si enfin nous supposons ces forces n'agissant qu'à des distances assez faibles pour (pfon puisse né*,diger la différence des temps locaux pour deux particules agissant l'une sur l'autre, une particule quelconqu<\ prise avec celles (jui se trouvent dans sa sphère ^faction constitue un système qui a subi la déformation souvent indiquée. En vertu de la deuxième hypothèse du paragraphe 8 nous pouvons donc appliquer à la force moléculaire résultante agissant sur une particule l'écpiation (21). Par conséquent, la relation qui doit exister entre les forces et les accélérations aura lieu dans les deux systèmes si nous supposons que les masses de toutes les particules sont injluencées par une translation de la même manière que les masses électromai^nétiques des électrons,
13. Les \aleurs (.'5o) (avec / = i ) que j'ai obtenues pour les masses longitudinale et transversale d'un électron, exprimées en fonction de sa vitesse, diffèrent de celles obtenues antérieurement par M. Abraham. L'origine de cette divergence doit être cherchée dans ce fait qu'il considère les électrons comme des sphères invariables. Or ses résultats, en ce qui concerne la masse transversale, ont été confirmés d'une manière remarquable par les expériences de Kaufmann sur la <léviation des rayons [3 du radium dans des champs électrique et magnétique. Pour qu'il n'y ait pas là une objection sérieuse à la théorie 4|ue j'ai proposée, il me faut montrer que ces résultats expérimentaux s'accordent aussi bien avec mes formules qu'avec celles d'Abraham.
Je vais discuter d'abord deux séries de mesures publiées par Kaufmann (*) en 1902. De chaque série il a déduit deux quantités r^ et u, les déviations électrique et uiagnétique réduites cpii sont reliées de
la manière suivante au ra()port [i =
il*
OÙ '^O) est une fonction telle que la masse transversale est donnée par
Dans chaque série Aj et /{^ sont des constantes.
Il résulte de la seconde des formules (3o) que ma théorie conduit
(') Kaufmann, Physik. Zeitschvijt, l. IV, 1902, p. .)5.
49^ H. -A. LOHENTZ.
il une équation de la forme (35) où la fonction 'i(^) d'Abraham doit être remplacée par
Ma théorie nécessite donc que, si nous substituons cette fonction dans les équations (34), celles-ci resteront vérifiées. J'aurai naturellement le droit, pour obtenir cet accord, d'attribuer à A| et Â^ d'autres valeurs que celles employées par Kaufmann et de prendre pour chaque mesure une valeur convenable de w ou de ^3. En écrivant sk^^
jÀ'^ ^^ ?' pour les nouvelles valeurs, nous pouvons mettre (34) sous
la forme
(36) ?'='At7
et
Kaufmann a vérifié ses formules en choisissant pour ki une valeur telle que, calculant ^ et k^ au moyen de (34), il obtienne pour celte dernière quantité des valeurs aussi constantes que possible. Cette constante était la preuve d'un accord suffisant.
J'ai suivi une méthode analogue dans laquelle j'ai employé quelquesuns des nombres donnés par Kaufmann. J'ai calculé pour chaque mesure la \aleur de l'expression
qu'on obtient eu combinant (3^) avec la seconde des équations (34). Les valeurs de •}( p) et k» ont été prises dans les Tableaux donnés par Kaufmann, et j)our jï' j'ai substitué les valeurs qu'il a données pour !î multipliées par s, ce dernier coefficient étant choisi de manière à obtenir une bonne constance de l'expression (38). Les résuluits sont contenus dans les Tableaux suivants correspondant aux Tableaux 111 et IV du ^lémoire de Kaufmann.
ni. s = o,()33.
OjGGi j
PHÉXOMÈNBS ÉLECTROMAGNÉTIQUES DANS UN SYSTÈME. 497
